Plan para Resolución de Problemas, Proporciones

En esta sección aprenderás a desarrollar y usar la estrategia: Escribe una proporción.

Después de un año completo de lectura, los estudiantes de la clase de la señorita Henderson están listos para contar el número de libros que han leído. Los estudiantes leyeron un total de 544 libros. Habían diferentes tipos de libros entre los que se leyeron. Unos pocos estudiantes tomaron las listas de todos y las organizaron en categorías. Luego sumaron el número de libros en cada categoría e hicieron una lista.

Historia: 12 libros.

Aventura: 250 libros.

Romance: 100 libros.

Misterio: 120 libros.

Ciencia/Naturaleza: 62 libros.

Luego los estudiantes comenzaron a comparar el número de libros en cada categoría. Compararon las tres categorías más grandes entre ellas. Compararon romance a aventura, misterio a romance y misterio a aventura.

Con lo que has aprendido sobre razones y proporciones, responde las siguientes preguntas.

¿Cuál es la razón de los libros de romance a los de aventura? Escribe tu respuesta en la forma más simple.

¿Cuál es la razón de los libros de misterio a los de romance? Escribe tu respuesta en la forma más simple.

¿Cuál es la razón de los libros de misterio a los de aventura? Escribe tu respuesta en la forma más simple.

¿Alguna de estas razones forman una proporción? ¿Por qué o por qué no?

Tómate unos minutos para anotar tus respuestas. Ahora continúa con la Sección y comprueba tus respuestas al final.

Orientación

Como ya sabes, algunos tipos de problemas se pueden resolver escribiendo y resolviendo una proporción. Sin embargo, puede variar la forma en la que resuelves la proporción. A veces, es más fácil usar el razonamiento proporcional. Otras veces, puede ser más fácil multiplicar cruzado.

Veamos estas dos situaciones diferentes en donde puedes usar una proporción.

En un mapa, Sonia midió la distancia entre Baltimore, Maryland y Washington D.C. En línea recta, era 2 centímetros. La escala en el mapa muestra que 1 centímetro = 28 kilómetros. ¿Cuál es la distancia real en línea recta entre Baltimore y Washington D.C.?

Este problema involucra un mapa, que es un tipo de dibujo a escala. Tiene sentido usar proporciones para resolverlo. La escala unitaria, 1 centímetro = 28 kilómetros, puede representarse como una razón. También podemos escribir una razón que compare la distancia a escala, 2 centímetros, a la distancia real desconocida, $d$ .

$\frac{centimeters}{kilometers} = \frac{1}{28} \qquad \quad \frac{centimeters}{kilometers} = \frac{2}{d}$

Hay razones equivalentes, por lo que podemos usarlas para escribir una proporción.

$\frac{1}{28} = \frac{2}{d}$

Piensa qué estrategia usar. ¿Deberíamos encontrar $d$ usando el razonamiento proporcional? ¿O deberíamos multiplicar cruzado?

Ambas forman funcionarán, pero mira los términos en el numerador. La relación entre esos términos es fácil de ver (podemos multiplicar 1 por 2 para obtener 2). Así, el cálculo probablemente será más simple si usamos razonamiento proporcional y multiplicamos ambos términos de la primera razón por 2.

$\frac{1}{28} = \frac{1 \times 2}{28 \times 2} = \frac{2}{56} = \frac{2}{d}$

A partir del cálculo anterior, podemos ver que cuando el primer término es 2, el segundo término es 56. Así, $d = 56$ .

La distancia real entre Baltimor y Washington D.C. es 56 kilómetros.

A veces, es más fácil usar la propiedad de las proporciones de los productos cruzados que usar el razonamiento proporcional. Esta es cierto especialmente cuando la relación entre un par de términos en una proporción no es notoria.

Un panadero usa 22 tazas de harina para hacer 4 hogazas de pan. ¿Cuántas tazas de harina necesitará para hacer 31 hogazas de pan?

Escribamos una proporción para resolver este problema. La primera razón puede usar el hecho de que se necesitan 21 tazas de harina para hacer 4 hogazas de pan. La segunda razón puede comparar el número de tazas de harina que se necesita, $c$ , a las 31 hogazas de pan que el panadero quiere hacer.

$\frac{cups}{loaves} = \frac{22}{4} \qquad \quad \frac{cups}{loaves} = \frac{c}{31}$

Hay razones equivalentes, por lo que podemos usarlas para escribir una proporción.

$\frac{22}{4} = \frac{c} {31}$

Piensa qué estrategia usar. ¿Deberíamos encontrar $c$ usando el razonamiento proporcional? ¿O deberíamos multiplicar cruzado?

La relación entre los términos en el denominador, 4 y 31, no es notoria a simple vista, ya que 31 no es un múltiplo de 4. Así, multiplicar cruzado es más fácil.

$\frac{22}{4} &= \frac{c} {31}\\\4 \cdot c &= 22 \cdot 31\\\4c &= 682\\\\frac{4c}{4} &= \frac{682}{4}\\\c &= 170.5$

El panadero necesitará 170,5 o $170 \frac{1}{2}$ , tazas de harina para hornear 31 hogazas de pan.

Ahora es tiempo que intentes algunos por ti mismo. Usa la información del panadero.

Ejemplo A

¿Cuántas tazas para 6 hogazas?

Solución: 33 tazas

Ejemplo B

¿Cuántas hogazas para 55 tazas?

Solución: 10 hogazas

Ejemplo C

Si el panadero hace la mitad de hogazas de las que comenzó, ¿Cuántas tazas necesitaría?

Solución: 11 tazas

Revisemos el problema introductorio nuevamente. Es hora de revisar tus respuestas.

Historia: 12 libros.

Aventura: 250 libros.

Romance: 100 libros.

Misterio: 120 libros.

Ciencia/Naturaleza: 62 libros.

Con lo que has aprendido sobre razones y proporciones, responde las siguientes preguntas.

¿Cuál es la razón de los libros de romance a los de aventura? Escribe tu respuesta en la forma más simple.

$\frac{100}{250} = \frac{2}{5}$

¿Cuál es la razón de los libros de misterio a los de romance? Escribe tu respuesta en la forma más simple.

$\frac{120}{100} = \frac{6}{5}$

¿Cuál es la razón de los libros de misterio a los de aventura? Escribe tu respuesta en la forma más simple.

$\frac{120}{250} = \frac{12}{25}$

¿Alguna de estas razones forman una proporción? ¿Por qué o por qué no?

Ninguna de estas razones forma una proporción, ya que ninguna de ellas es igual.

Toma unos minutos para revisar tus respuestas con un amigo.

Vocabulario

Proporción: Dos razones iguales.

Razón: Una comparación entre dos cantidades.

Práctica Guiada

Aquí hay uno para que lo intentes por ti mismo.

Usa una proporción para resolver los siguientes problemas.

Si una persona puede correr 3 millas en 18 minutos, ¿Cuánto le tomará a la misma persona correr 21 millas si lo hace a la misma tasa?

Respuesta

En este problema, comparamos millas y tiempo. Esta es nuestra razón. Establezcamos esto.

$\frac{miles}{time} = \frac{miles}{time}$

Luego, llenaremos con la información que tenemos.

$\frac{3}{18} = \frac{21}{x}$

Ahora multiplica cruzado y resuelve.

$3x = 378$

$x = 126$

La persona correría 21 millas en 126 minutos, un poco más de dos horas.

Video de repaso

Haz clic en la imagen anterior para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on problem solving with proportions.

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Usa lo que has aprendido para resolver cada problema. Considera más de una estrategia para resolver cada problema. Entonces elige la estrategia que crees funcionará mejor y úsala para resolver este problema.

1. Una jarra contiene solo centavos y céntimos. La razón de los centavos a los céntimos en la jarra es 2 es a 7. Si hay 14 céntimos en la jarra, ¿Cuántos centavos hay en la jarra?

2. Anya cobra $40 por 5 horas como niñera. Lionel cobra $14 por 2 horas como niñero. ¿Cuál de los dos es más barato?

3. En un mapa, Derek midió la distancia en línea recta entre Toronto, Canadá y las Cataratas del Niagara. Esta es de 2 pulgadas. La escala del mapa dice que $\frac{1}{2} \ inch = 11 \ miles$ . ¿Cuál es la distancia real en línea recta entre Toronto y las Cataratas del Niagara?

4. Un escritorio tiene 120 centímetros de largo. ¿Cuál es la longitud del escritorio en metros? Usa esta unidad de conversión: 1 metro = 100 centímetros.

5. En un viaje, la razón de los profesores a los estudiantes es 1:25. 25. Si hay 5 profesores en el viaje, ¿Cuántos estudiantes hay?

6. Kara compró 5 libras de la Marca X de carne por $43. Cameron compró 3 libras de la Marca Y de carne por $27. ¿Qué marca de carne es la más barata?

7. Si dos pulgadas de un mapa son iguales a tres millas, ¿cuántas millas se representan por 4 pulgadas?

8. Si ocho pulgadas en un mapa son iguales a 10 millas, ¿Cuántas millas son 16 pulgadas?

9. Casey dibujó un diseño para su habitación. En el dibujo, usó una pulgada para representar cinco pies. Si la pared de su habitación es de diez pies de largo, ¿Cuántas pulgadas dibujará Casey en su diagrama para representar estas medidas?

10. Si dos pulgadas son iguales a doce pies, ¿Cuántas pulgadas serían iguales a 36 pies?

11. Si cuatro pulgadas son iguales a dieciséis pies, ¿Cuántos pies son iguales a dos pulgadas?

12. El carpintero eligió una escala de 6" por cada doce pies. Con estas medidas, ¿Cuántos pies se representarían con 3"?

13. Si nueve pulgadas son iguales a veintisiete pies, ¿Cuántos pies son iguales a tres pulgadas?

14. Si cuatro pulgadas son iguales a ocho pies, ¿Cuántos pies son iguales a dos pulgadas?

15. Si seis pulgadas son iguales a diez pies, ¿Cuántas pulgadas serían iguales a 5 pies?

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