Simplificar Productos o Cocientes de Expresiones de una Variable

En esta sección aprenderás a simplificar productos o cocientes de expresiones de una variable.

¿Has tenido alguna vez una colección de estampillas?

Marc tiene el doble de estampillas en su colección que su abuelo. Escribe una expresión que represente a $m$ , el número de estampillas en la colección de su abuela.

Para resolver este problema, necesitarás saber cómo escribir una expresión de una variable. Presta atención a esta Sección y aprenderás todo lo que necesitas saber para resolverlo.

Orientación

Anteriormente aprendimos que cuando sumas o restas términos en una expresión, solo puede combinar términos similares.

Sin embargo, los puedes multiplicar o dividir sin importar si son similares o no.

Por ejemplo, $6a$ y $3a$ son términos similares porque ambos incluyen la variable $a$ . Los podemos multiplicar para simplificar la expresión de la siguiente manera.

$6a \times 3a= 18 \times a \times a=18a^2$ .

Sin embargo, a pesar de que $6a$ y 3 no son términos similares se pueden multiplicar de igual manera.

$6a \times 3=18a$ .

Las Propiedades Conmutativas y Asociativas de la Multiplicación te pueden ayudar a entender cómo multiplicar expresiones con variables. Recuerda, la Propiedad Conmutativa establece que los factores pueden multiplicarse en cualquier orden. La Propiedad Asociativa establece que el agrupamiento de factores no altera el producto.

Apliquemos esta información con el siguiente ejemplo.

$6a(3a)$

Podemos tomar estos dos términos y multiplicarlos.

Primero, multiplicamos las partes numéricas.

$6 \times 3 = 18$

Luego, multiplicamos las variables.

$a \cdot a= a^2$

Nuestra respuesta es $18a^2$ .

Intentemos con este otro.

$5x(8y)$

A pesar de que estos términos son diferentes, los podemos multiplicar de igual manera.

Primero, multiplicamos las partes numéricas.

$5 \times 8 = 40$

Luego, multiplicamos las variables.

$x \cdot y=xy$

Nuestra respuesta es $40xy$ .

Encuentra el producto de $4z \times \frac{1}{2}$ .

$4z$ y $\frac{1}{2}$ no son términos similares, sin embargo, podemos multiplicarlos sin que sean similares.

Usa las propiedades conmutativa y asociativa para reordenar los factores y facilitar la multiplicación.

Según la propiedad conmutativa, el orden de los factores no es relevante.

Así, $4z \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\times 4z$ .

Según la propiedad asociativa, el agrupamiento de factores no altera el producto. Agrupa los factores para multiplicar los números primero.

So, $\frac{1}{2} \times 4z=\frac{1}{2} \times 4 \times z=\left(\frac{1}{2} \times 4\right) \times z$ .

Ahora multiplica:

$\left(\frac{1}{2} \times 4\right) \times z=\left(\frac{1}{2} \times \frac{4}{1}\right) \times z=\frac{4}{2}\times z=2 \times z=2z.$

El producto es $2z$ .

Recuerda que la palabra PRODUCTO significa multiplicación y la palabra CUOCIENTE significa división.

El siguiente ejemplo es una división.

Encuentra el cociente de $42c \div 7$ .

Puede ser de ayuda si reescribes el problema así $\frac{42c}{7}$ . Luego separa los números de la variable de la siguiente manera.

$\frac{42c}{7}=\frac{42 \cdot c}{7}=\frac{42}{7} \cdot c$

Ahora, divide 42 en 7 para encontrar el cociente.

$\frac{42}{7} \cdot c=6 \cdot c=6c$

El cociente es $6c$ .

Intenta hacer el siguiente ejercicio por tu cuenta. Encuentra cada producto o cociente.

Ejemplo A

$6a(9a)$

Solución: $54a^2$

Ejemplo B

$\frac{15b}{5b}$

Solución: $3$

Ejemplo C

$\frac{20c}{4}$

Solución: $5c$

Revisemos el problema introductorio una vez más.

Marc tiene el doble de estampillas en su colección que su abuelo. Escribe una expresión que represente a $m$ , el número de estampillas en la colección de su abuelo.

Para escribir esta expresión, podemos usar la variable y el hecho de que Marc tiene el doble de estampillas.

$2m$

Este término representa las estampillas de Marc.

Vocabulario

Expresión: Una frase numérica sin signo de igualdad que combina números, variables y operaciones.

Simplificar: Reducir expresiones al combinar términos similares.

Producto: El resultado de una multiplicación.

Cociente: El resultado de una división.

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación: Establece que el producto no es afectado por el orden en que se multiplican los factores.

Propiedad Asociativa de la Multiplicación: Establece que el producto no es afectado por el agrupamiento de los números.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Encuentra el cociente de $50 g \div 10 g$ .

Respuesta

Puede ser de ayuda si reescribes el problema así $\frac{50g}{10g}$ . Luego separa los números de las variables de la siguiente manera.

$\frac{50 g}{10 g}=\frac{50 \cdot g}{10 \cdot g}=\frac{50}{10} \cdot \frac{g}{g}$

Ahora, divide 50 en 10 y divide $g$ en $g$ para encontrar el cociente. Ya que cualquier número dividido por sí mismo es igual a 1, sabemos que $\frac{g}{g}=1$ .

$\frac{50}{10} \cdot \frac{g}{g}=5.1=5$

El cociente es 5.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

This is a James Sousa video on combining like terms by multiplying.

Práctica

Instrucciones: Simplifica cada producto o cociente.

1. $6a(4a)$

2. $9x(2)$

3. $14y(2y)$

4. $16a(a)$

5. $22x(2x)$

6. $18b(2)$

7. $\frac{21a}{7}$

8. $\frac{22b}{2b}$

9. $\frac{25x}{x}$

10. $\frac{45a}{5a}$

11. $\frac{15x}{3x}$

12. $\frac{18y}{9}$

13. $\frac{22y}{11y}$

14. $\frac{15x}{3y}$

15. $\frac{82x}{2x}$

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