Simplifica Expresiones Variables con Operaciones Múltiples

En esta sección aprenderás a simplificar expresiones variables con operaciones múltiples.

¿Has calculado alguna vez la tarifa del metro? Observa este problema.

Kara está muy emocionada, debe inventar una expresión para calcular el gasto total en pasajes de metro. Baja las escalas y comparte sus ideas con su abuelo.

$.85x$

“Mira abuelo, si pongo el número que veces que debemos tomar el metro como $x$ , entonces puedo calcular el costo total", explica Kara.

"Buen trabajo Kara, pero ¿y yo? Eso solo servirá para ti y Marc, pero yo tomaré el metro con ustedes hoy. Los adultos mayores deben para 0,60 por viaje.”

¡Vaya! Kara no había considerado a su abuelo. Ahora tiene un nuevo problema con el que lidiar.

“Ya sé”, dice Kara mientras escribe en un papel.

Kara comenzó a escribir una expresión y luego pensó que podía combinar los términos de la expresión.

¿Tienes idea lo que Kara está escribiendo? Piensa en la expresión que escribió para la tarifa de adolescentes y los viajes en metro. Ahora le agregaremos información y simplificaremos. Esta Sección te enseñara todo lo que debes saber sobre este tipo de problemas. Concéntrate en la información de la Sección y revisarás este problema al final

Orientación

Algunas veces, es necesario simplificar las expresiones algebraicas que contienen más de una operación. Usa tus conocimientos sobre simplificación de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas.

Al evaluar expresiones, también es importante tener en cuenta el orden de las operaciones . Revisemos el siguiente orden.

Primero, calcula todo aquello que este agrupado, como los paréntesis.
Segundo, evalúa cualquier exponente.
Tercero, multiplica y divide de izquierda a derecha.
Por último, suma y resta de izquierda a derecha.

¡Qué bien, el orden de las operaciones siempre es útil en las matemáticas!

Revisemos el siguiente ejemplo.

Simplifica esta expresión $7n+8n \cdot 3$

Según el orden de las operaciones, debes multiplicar antes de sumar.

$7n+8n \cdot 3=7n+(8n \cdot 3)$ .

Separa los factores y usa la propiedad conmutativa para multiplicar.

$7n+(8n \cdot 3)=7n+(8 \cdot n \cdot 3)+7n+(8 \cdot 3 \cdot n)=7n+(24 \cdot n)=7n+24n$

Ya que $7n$ y $24n$ son términos similares, súmalos.

$7n+24n=31n$ .

La respuesta es $31n$ .

Simplifica esta expresión $10 p-7p+8p \div 2p$ .

Según el orden de las operaciones, debes dividir antes de sumar o restar.

$10p-7p+8p \div 2p=10p-7p+(8p \div 2p)$ .

Puede ser de ayuda reescribir la división como $\frac{8p}{2p}$ y luego separar los números y las variables de la siguiente manera.

$10p-7p+ \left(\frac{8p}{2p}\right)=10p-7p+\left(\frac{8 \cdot p}{2 \cdot p}\right)=10p-7p+\left(\frac{8}{2} \cdot \frac{p}{p}\right)=10p-7p+(4 \cdot 1)=10p-7p+4$

El orden de las operaciones indica que se debe sumar y restar de izquierda a derecha. Así que, resta los términos similares $10p$ y $7p$ .

$10p-7p+4=3p+4$ .

Ya que $3p$ y 4 no son términos similares, no pueden ser combinados. Por lo que la expresión no se puede simplificar más.

La expresión, luego de ser simplificada, es $3p+4$ . Este es nuestra respuesta final.

Simplifica cada expresión.

Ejemplo A

$4a+9a - 7$

Solución: $13a - 7$

Ejemplo B

$\frac{14x}{2}+9x$

Solución: $16x$

Ejemplo C

$6b-2b+5b-8$

Solución: $9b-8$

Revisemos el problema introductorio una vez más.

Kara está muy emocionada, debe inventar una expresión para calcular el gasto total en pasajes de metro. Baja las escalas y comparte sus ideas con su abuelo.

$.85x$

“Mira abuelo, si pongo el número que veces que debemos tomar el metro como $x$ , entonces puedo calcular el costo total", explica Kara.

"Buen trabajo Kara, pero ¿y yo? Eso solo servirá para ti y Marc, pero yo tomaré el metro con ustedes hoy. Los adultos mayores deben para 0,60 por viaje.”

¡Vaya! Kara no había considerado a su abuelo. Ahora tiene un nuevo problema con el que lidiar.

“Ya sé”, dice Kara mientras escribe en un papel.

Kara comenzó a escribir una expresión y luego pensó que podía combinar los términos de la expresión.

Para escribir una expresión que incluya al abuelo, Kara puede comenzar con la primera expresión que escribió.

$.85x$ esta expresión representa la tarifa para adolescentes y la cantidad de viajes en metro. $x$ .

Ahora, debemos incluir al abuelo. Los adultos mayores deben para 0,60 por viaje. El número de viajes es desconocido, por lo que seguiremos usando $x$ .

$.60x$

Ya que tomaran el metro juntos, podemos sumar ambos términos.

$.85x+.60x$

Luego, podemos simplificar la expresión.

Nuevamente, ya que tomaran el metro juntos el número de viajes será el mismo. Podemos sumar los valores monetarios y mantener $x$ en la expresión simplificada.

$.85 + .60 = 1.45$

Nuestra respuesta es $1.45x$ .

Si Kara multiplica el número de viajes en metro que realizarán por $1,45 obtendrá la suma total de dinero que necesita o que gastará en el metro.

Vocabulario

Expresión: Una frase numérica sin signo de igualdad que combina números, variables y operaciones.

Simplifica: Para hacer más pequeño el ejercicio, mediante la combinación de términos semejantes.

Suma: El resultado a una suma.

Diferencia: El resultado a una resta.

Producto: El resultado de una multiplicación.

Cociente: El resultado de una división.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Samera tiene el doble de mascotas que Amit. Kyra tiene cuatro veces más mascotas que Amit $a$ representará el número de mascotas de Amit.

a. Escribe una expresión que represente el número de mascotas de Samera.

b. Escribe una expresión que represente el número de mascotas de Kyra.

c. Escribe una expresión que represente el número de mascotas de Samera y Kyra juntas.

Respuesta

Comencemos con $a$ .

La frase “el doble de mascotas de Amit” indica la cantidad de mascotas que tiene Samera. Usa un número, un signo de operación o una variable para representar cada parte de la frase.

$& \underline{twice} \ as \ many \ pets \ as \ \underline{Amit}\\\& \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow\\\& 2 \times \qquad \qquad \qquad \quad \qquad a$

Por lo que la expresión $2 \times a$ o $2a$ representa la cantidad de mascotas que Samera tiene.

Ahora, sigamos con $b$ .

La frase “el cuatro veces más mascotas que Amit” indica la cantidad de mascotas que tiene Kyra. Usa un número, un signo de operación o una variable para representar cada parte de la frase.

$& \underline{4} \ \underline{times} \ as \ many \ pets \ as \ Amit\\\& \downarrow \quad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow\\\& 4 \quad \times \qquad \qquad \qquad \quad \ \ a$

Por lo que la expresión $4 \times a$ o $4a$ representa la cantidad de mascotas que Kyra tiene.

Por último $c$ .

Para encontrar la cantidad de mascotas de Samera y Kyra “juntas”, debemos escribir una expresión de suma.

$& (\text{number of pets Samera has}) \ + \ (\text{number of pets Kyra has})\\\& \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \downarrow \qquad \qquad \quad \quad \ \downarrow\\\& \qquad \qquad 2a \qquad \qquad \qquad \quad \ \ + \qquad \qquad \quad \quad 4a$

Simplifica la expresión

$2a+4a=6a$

El número de Samera y Kyra juntas puede ser representado por la expresión $6a$ .

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés.

This is a James Sousa video about combining like terms to simplify an expression.

Práctica

Instrucciones: Simplifica cada expresión.

1. $6a+4a-2b$

2. $16b-4b \cdot 2$

3. $22a \div 2+14a$

4. $19x-5x \cdot 2$

5. $16y-12y \div 2$

6. $16a-4a-12b$

7. $26a+14a+12b+2b$

8. $36a+4a-2b+5b$

9. $18a+4a+12y$

10. $46a+34a-12b+14b$

11. $16y+4y-2x$

12. $6x+4x+2x+4y-19z$

13. $26y-12y \div 2$

14. $36y-12y \div 12$

15. $46y+12y \div 2$

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