Ecuaciones de Multiplicación con Una Variable

En esta sección aprenderás a resolver ecuaciones de multiplicación con una variable.

Durante su visita a sus abuelos, Kara ha estado manejando el dinero para sus viajes en metro. Los últimos dos días, Marc la ha visto calcular y manejar el dinero. Cuando volvían del mal, Marc vio un cartel sobre un pase del metro diario y un pase del metro mensual.

“¿Cuánto dinero tenemos guardado para el metro?” Le preguntó a Kara al día siguiente.

“Tenemos $45 para cada uno”, le respondió Kara.

“Bueno, un pase diario cuesta $9 y un pase mensual cuesta $20, creo que es mejor el mensual”, le dijo Marc.

“Veamos cuantos días podemos pagar por $9 diarios”.

Kara escribió la siguiente ecuación.

$9x=45$

Resolver ecuaciones se ha vuelto algo cotidiano para Kara y Marc. Luego de resolver esta ecuación sabrán si el mejor comprar pases diarios o uno mensual.

Tú también puedes resolver esta ecuación. Usa todos tus conocimientos y aplícalos en este problema. Al final de esta Sección, sabrás cual es la mejor opción.

Orientación

Anteriormente resolvimos ecuaciones con sumas y restas. También podemos resolver ecuaciones con multiplicaciones y divisiones. Estas ecuaciones de una variable pueden ser resueltas para el valor de la variable, Podemos resolver la ecuación y descifrar a que es igual la variable.

¿Cómo podemos hacer esto?

En la ecuación algebraica que se muestra a continuación, la variable $z$ representa solo un número.

$z \times 2=8$

¿Qué número representa $z$ ? Podemos encontrar la respuesta haciendo la siguiente pregunta. ¿Qué número multiplicado por 2 es igual a 8?

Ya que $4 \times 2=8, z$ debe ser igual a 4. Resolvimos esta ecuación usando cálculo mental.

Determinar el valor de un variable en una ecuación es resolver dicha ecuación . Si la ecuación está conformada por factores numéricos sencillos, como $4 \times 2=8$ , podemos resolverla fácilmente sin la necesidad de cálculos complejos.

¿Qué pasa si nos encontramos con una ecuación más compleja de resolver?

Algunas ecuaciones son más difíciles de resolver. El cálculo mental no sirve de mucho en estos casos. Para resolver ecuaciones más complejas, como $z \times 7=105$ , necesitamos una estrategia diferente. Revisemos una estrategia para resolver ecuaciones.

Una estrategia para resolver una ecuación es usar operaciones inversas para aislar la variable. Aislar la variables implica separarla de los otros términos a un lado del signo igual (=).

Para resolver una ecuación en la una variable este multiplicada por un número, podemos usar la operación inversa de la multiplicación, la división. Podemos dividir ambos lados de la ecuación por el número para encontrar el valor de la variable.

Debemos dividir el número en ambos lados de la ecuación, ya que la Propiedad de Igualdad de la División , establece que:

Si $a=b$ y $c \neq 0$ , entonces $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$ .

Eso es muy sencillo. Si divides un lado de la ecuación por cualquier número distinto de cero, $c$ , debes dividir el otro lado de la ecuación por el mismo número, $c$ , de esta forma los valores se mantienen iguales en ambos lados.

Apliquemos esta información con el siguiente ejemplo.

$z \times 7=105$ .

En la ecuación, $z$ está multiplicado por 7. Si dividimos ambos lados de la ecuación por 7, obtendremos el valor de $z$ .

$z \times 7 &= 105\\\\frac{z \times 7}{7} &= \frac{105}{7}\\\z \times \frac{7}{7} &= 15\\\z \times 1 &= 15\\\z &= 15$

Puede ser útil separar los factores como lo hicimos anteriormente.

Al dividir ambos lados por 7, podemos ver que el valor de $z$ es 15.

Intentemos con este otro.

$-8r=128$

En la ecuación, -8 es multiplicado por $r$ . Así, podemos dividir ambos lados de la ecuación por -8 y resolver para $r$ .

$-8r &= 128\\\\frac{-8r}{-8} &= \frac{128}{-8}$

Debemos usar nuestros conocimientos en división para ayudarnos a resolver este problema.

$\frac{-8r}{-8} &= \frac{128}{-8}\\\1r &= -16\\\r &= -16$

El valor de $r$ es -16.

¿Recuerdas las reglas para dividir números positivos y negativos? Repasemos.

Recuerda que una propiedad es una regla para realizar operaciones matemáticas que simplifican nuestras vidas Estas propiedad no son la excepción. Si puedes ver una ecuación, identificar que es una ecuación de multiplicación y saber que para resolverla hay que dividir, entonces estás haciendo uso de la Propiedad de Igualdad de la División .

Ahora practica por tu cuenta. Resuelve cada problema.

Ejemplo A

$-4x=12$

Solución: $x = -3$

Ejemplo B

$8a=64$

Solución: $a = 8$

Ejemplo C

$9b=81$

Solución: $b = 9$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

“¿Cuánto dinero tenemos guardado para el metro?” Le preguntó a Kara al día siguiente.

“Tenemos $45 para cada uno”, le respondió Kara.

“Bueno, un pase diario cuesta $9 y un pase mensual cuesta $20, creo que es mejor el mensual”, le dijo Marc.

“Veamos cuantos días podemos pagar por $9 diarios”.

Kara escribió la siguiente ecuación.

$\underline{9x=45}$

Resolver ecuaciones se ha vuelto algo cotidiano para Kara y Marc. Luego de resolver esta ecuación sabrán si el mejor comprar pases diarios o uno mensual.

Primero, resolvamos la ecuación para descifrar cuantos días durará su dinero si compran pases diarios.

$9x &= 45\\\\frac{9x}{9} &= \frac{45}{9}\\\x &= 5$

Según esta ecuación, solo podrán comprar pases diarios por cinco días.

Un pase mensual cuesta $20 cada uno. Esta es la mejor opción.

$20(2) = \$40.00$

El gasto total en metro será de $40 en vez de más de $45.

Al día siguiente, Kara y Marc van a comprar los pases mensuales T.

Vocabulario

Aislar la variable: Separar la variable de los otros términos de la ecuación.

Operación Inversa: La operación contraria.

Propiedad de Igualdad de la División.: Establece que se puede resolver una ecuación al multiplicar ambos lados de esta por el mismo valor.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Sarvenaz gana $8 por cada hora que trabaja. Ganó un total de $168 la semana pasada.

a. Escribe una ecuación que represente a $h$ , el número de horas que trabajó la semana pasada.

b. Determina cuantas horas trabajó Sarvenaz la semana pasada.

Respuesta

Comencemos con $a$ .

Usa un número, un signo de operación o una variable para representar cada parte del problema. Sabemos que gana $8 por cada hora que trabaja. Así, puedes multiplicar el número de horas que trabaja por $8 para encontrar cuanto ganó en total. Escribe una ecuación de multiplicación.

$& \underline{\$8 \ for \ each \ hour}\ldots She \ \underline{earned} \ a \ \underline{total \ of \ \$168} \ last \ week.\\\& \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \ \downarrow\\\& \qquad 8h \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ = \qquad \quad \ 168$

Por lo que, esta ecuación, $8h=168$ , representa a $h$ , el número de horas que trabajó la semana pasada.

Ahora, sigamos con $b$ .

Resuelve la ecuación para $h$ , el número de horas que trabajó la semana pasada.

$8h &= 168\\\\frac{8h}{8} &= \frac{168}{8}\\\1h &= 21\\\h &= 21$

Sarvenaz trabajó 21 horas la semana pasada.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo está disponible en inglés.

This is a James Sousa video on solving single variable multiplication equations.

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada ecuación.

1. $4x=16$

2. $6x=72$

3. $-6x=72$

4. $-3y=24$

5. $-3y=-24$

6. $-5x=-45$

7. $-1.4x=2.8$

8. $3.5a=7$

9. $7a=-49$

10. $14b=-42$

11. $24b=-48$

12. $-24b=-48$

13. $34b=-72$

14. $84x=252$

15. $-84x=-252$

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