Ecuaciones de Dos Pasos y Propiedades de Igualdad

En esta sección aprenderás a resolver ecuaciones de dos pasos.

¿Has ido alguna vez a un juego de los Red Sox?

Marc cumplirá su deseo. Luego de mucho pedir, su abuelo logró mover algunas influencias y obtener entradas para el juego de los Red Sox. Marc apenas puede esperar para el partido del sábado.

“Espero que sea tan bueno como creo que será”, dijo Marc.

“Bueno por $535 espero que no se suspenda por lluvia”

“¡¿Quinientos treinta y cinco dólares?!” “¡Eso es mucho dinero!” Exclamó Marc.

“Si, pero el valor incluye un cargo por servicio de $15. Puede conseguir cuatro boletos y eso es todo lo que importa. No te preocupes Marc, realizar tu sueño vale el dinero”.

“Gracias abuelo”, dijo Marc sonriendo.

Luego, Marc comenzó a preguntarse cuanto habrá costado realmente cada boleto. Sabía tienen asientos a nivel de cancha y estos son bastante caros, dado el costo final. ¿Cómo puede descifrar el precio de cada boleto?

En este caso una ecuación de dos pasos ayudaría a Marc. Esta Sección te enseñará cómo escribir y resolver ecuaciones de dos pasos. Al final, sabrás como descifrar el precio de cada boleto con Marc.

Orientación

Anteriormente, trabajamos escribir ecuaciones de una variable con dos pasos. Ahora debemos resolverlas. Al resolver la ecuación, encontraremos el valor de la variable en la ecuación.

En algunos casos, podrás resolver ecuaciones de dos pasos usando cálculo mental. Si los números son enteros, pequeños y positivos, serás capaz de resolverlos mentalmente. Este es el primer método que utilizaremos.

$3x+3=9$

Usaremos números pequeños. Probablemente puedas observar esta ecuación y preguntarte “¿qué número tres veces más tres es nueve?” La respuesta más lógica es 2.

Puedes revisar reemplazando $x$ por 2 para comprobar que la igualdad se cumple. Si se cumple, podemos decir que la ecuación está en balance y que el trabajo realizado es correcto.

$3(2)+3 &= 9\\\ 6+3 &= 9\\\ 9 &= 9$

La respuesta es correcta. El valor de $x$ es 2.

¡Esa es una excelente pregunta! En estos casos debemos recurrir a una segunda estrategia.

Cuando tengas una ecuación de dos pasos y no puedas resolverla mentalmente, debes usar la estrategia de aislar la variable.

$2+3n=11$ .

Hay dos términos en el lado izquierdo de la ecuación, 2 y $3n$ . El primer paso es usar operaciones inversas para aislar el término con la variable, $3n$ , a un lado del singo igual (=).

En la ecuación, se suma 2 a $3n$ . Por lo que podemos usar la inversa de la suma, la resta, y restar 2 de ambos lados de la ecuación. Debemos restar 2 en ambos lados de la ecuación para conservar la Propiedad de Igualdad de la Resta. La propiedad establece que para mantener la igualdad en la ecuación, lo que se reste de un lado se debe restar también del otro.

Veamos qué pasa cuando restamos 2 en ambos lados de la ecuación.

$2 + 3n &= 11\\\2 - 2+3n &= 11-2\\\0+3n &= 9\\\3n &= 9$

Ahora, el término que tiene la variable, $3n$ , se encuentra solo en un lado de la ecuación.

Ahora podemos usar la operación inversa para separar $n$ . Ya que $3n$ es lo mismo que $3 \times n$ , podemos usar la inversa de la multiplicación, la división. Debemos dividir ambos lados de la ecuación por 3 para conservar la Propiedad de Igualdad de la División. Esta propiedad establece que si un lado de la ecuación se divide por un número, el otro lado debe ser dividido por el mismo número para conservar la igualdad.

Veamos qué pasa cuando dividimos ambos lados de la ecuación por 3.

$3n &= 9\\\\frac{3n}{3} &= \frac{9}{3}\\\1n &= 3\\\n &= 3$

El valor de $n$ es 3.

$2x-5=11$

Primero, hay dos términos en el lado izquierdo de la ecuación. Para resolver esta ecuación, debemos aislar la variable y dejar $x$ solo. Comencemos con el término que no está unido a $x$ . Ese es el menos cinco.

Usamos la Propiedad de Igualdad de la Suma para eliminar el -5. Debemos usar la operación inversa y sumar 5 a ambos lados de la ecuación. Recuerda que las propiedades establecen que lo que se haga en un lado de la ecuación se debe hacer en el otro.

$2x-5+5 &= 11+5\\\2x+0 &= 16\\\2x &= 16$

Ahora nos queda un problema de multiplicación. Podemos usar la Propiedad de Igualdad de la División para resolver para $x$ al dividir ambos lados de la ecuación por 2. Ya que nuestro objetivo es descifrar que número dos veces es dieciséis, podemos dividir dieciséis en dos.

$\frac{2x}{2} &= \frac{16}{2}\\\x &= 8$

El valor de $x$ es 8.

$\frac{x}{5}-8=17$ .

Hay dos términos en el lado izquierdo de la ecuación, $\frac{x}{5}$ y 8. El primer paso es usar operaciones inversas para aislar el término con la variable, $\frac{x}{5}$ , a un lado del singo igual (=).

En la ecuación, 8 se resta de $\frac{x}{5}$ . Por lo que podemos usar la inversa de la resta, la suma, y sumar 8 en ambos lados de la ecuación. Debemos sumar 8 en ambos lados de la ecuación para mantener la Propiedad de Igualdad de la Suma La propiedad establece que para mantener la igualdad en la ecuación, lo que se sume de un lado se debe sumar también del otro.

Veamos qué pasa cuando sumamos 8 en ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{5}-8 &= 17\\\\frac{x}{5}-8+8 &= 17+8\\\\frac{x}{5}+(-8+8) &= 25\\\\frac{x}{5}+0 &= 25\\\\frac{x}{5} &= 25$

Ahora, el término que tiene la variable, $\frac{x}{5}$ , se encuentra solo en un lado de la ecuación.

Ahora podemos usar la operación inversa para separar $x$ . Ya que $\frac{x}{5}$ es igual a $x \div 5$ , podemos usar la inversa de la división, la multiplicación. Debemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 5 para conservar la Propiedad de Igualdad de la Multiplicación. Esta propiedad establece que si un lado de la ecuación se multiplica por un número, el otro lado debe ser multiplicado por el mismo número para conservar la igualdad.

Veamos qué pasa cuando multiplicamos ambos lados de la ecuación por 5.

$\frac{x}{5} &= 25\\\\frac{x}{5} \times 5 &= 25 \times 5\\\\frac{x}{\cancel{5}} \times \frac{\cancel{5}}{1} &= 125\\\\frac{x}{1} &= 125\\\x &= 125$

El valor de $x$ es 125.

Al resolver ecuaciones de un paso se hace uso de las propiedades, lo mismo pasa con las ecuaciones de dos pasos.

Revisemos las propiedades y cuando usarlas.

Propiedad de Igualdad de la Resta se usa en ecuaciones con suma. Establece que puedes resta la misma cantidad en ambos lados de una ecuación y mantener la igualdad.

Propiedad de Igualdad de la Suma se usa en ecuaciones con restas. Establece que puedes sumar la misma cantidad en ambos lados de una ecuación y mantener la igualdad.

Propiedad de Igualdad de la División se usa en ecuaciones con multiplicación. Establece que puedes dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad y mantener la igualdad.

Propiedad de Igualdad de la Multiplicación se usa en ecuaciones con divisiones. Establece que puedes multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad y mantener la igualdad.

A medida que avancemos recuerda tener en cuenta estas propiedades. Serán de ayuda para recordar que operaciones resuelven ecuaciones.

Ahora, intenta por tu cuenta.

Ejemplo A

$5x+7=32$

Solución: $x = 5$

Ejemplo B

$3a+9=39$

Solución: $a = 10$

Ejemplo C

$\frac{y}{4}-8=4$

Solución: $y = 3$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Marc cumplirá su deseo. Luego de mucho pedir, su abuelo logró mover algunas influencias y obtener entradas para el juego de los Red Sox. Marc apenas puede esperar para el partido del sábado.

“Espero que sea tan bueno como creo que será”, dijo Marc.

“Bueno por $535 espero que no se suspenda por lluvia”

“¡¿Quinientos treinta y cinco dólares?!” “¡Eso es mucho dinero!” Exclamó Marc.

“Si, pero el valor incluye un cargo por servicio de $15. Puede conseguir cuatro boletos y eso es todo lo que importa. No te preocupes Marc, realizar tu sueño vale el dinero”.

“Gracias abuelo”, dijo Marc sonriendo.

Para descifrar el valor de cada boleto necesitamos escribir y resolver una ecuación de dos pasos. Veamos lo que sabemos.

4 boletos a $x$ precio

+$15.00 por cargo de servicio

= $535.00

Ahora escribamos la ecuación.

$4x+15=535$

Comencemos por restar 15 de ambos lados.

$4x+15-15 &= 535-15\\\4x &= 520\\\\frac{4x}{4} &= \frac{520}{4}\\\x &= \$130.00$

Cada boleto costó $130.00.

Vocabulario

Operación Inversa: La operación contraria.

Ecuación de Un Paso: Una ecuación con una operación.

Ecuación de Dos Pasos: Una ecuación con dos operaciones.

Aislar la variable: Separar la variable a un lado de la ecuación.

Propiedad de Igualdad de la Resta: Propiedad de Igualdad de la Suma se usa en ecuaciones con restas. Establece que puedes resta la misma cantidad en ambos lados de una ecuación y mantener la igualdad.

Propiedad de Igualdad de la Suma.: Propiedad de Igualdad de la Suma se usa en ecuaciones con restas. Establece que puedes sumar la misma cantidad en ambos lados de una ecuación y mantener la igualdad.

Propiedad de Igualdad de la División.: Se usa en ecuaciones con multiplicaciones. Establece que puedes dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad y mantener la igualdad.

Propiedad de Igualdad de la Multiplicación: Se usa en ecuaciones con divisiones. Establece que puedes multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad y mantener la igualdad.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Una paisajista cobra $35 por cada trabajo más $20 por cada hora trabajada. En su último trabajo cobró $95.

a. Escribe una ecuación algebraica que represente a $h$ , el número de horas que trabajo.

b. ¿Cuántas horas trabajo?

Respuesta

Comencemos con $a$ .

Usa un número, un signo de operación o una variable para representar cada parte del problema. La paisajista ganó $20 por cada hora trabajada; puedes multiplicar $20 por $h$ , el número de horas trabajadas, para descubrir cuanto cobró.

$& \underline{\$35} \ for \ each \ landscaping \ job \ \underline{plus} \ \underline{\$20 \ for \ each \ hour} \ worked \ldots \underline{charged} \ \underline{\$95} \ for \ one \ldots job.\\\& \ \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow \qquad \qquad \ \downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \downarrow \qquad \downarrow\\\& \ 35 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad \ + \qquad \quad \ \ 20 h \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ = \quad \ 95$

Por lo que, esta ecuación, $35+20h=95$ , representa a $h$ , el número de horas que trabajó en su último trabajo.

Ahora, sigamos con $b$ .

Resuelve la ecuación.

Primero, resta 35 en cada lado.

$35+20h &= 95\\\35-35+20h &= 95-35\\\0+20h &= 60\\\20h &= 60$

Luego, divide ambos lados por 20.

$20h &= 60\\\\frac{20h}{20} &= \frac{60}{20}\\\1h &= 3\\\h &= 3$

La paisajista trabajó 3 horas en su último trabajo.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a James Sousa video on solving two-step equations.

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada ecuación.

1. $3x+2=14$

2. $6y+5=29$

3. $7x+3=24$

4. $5x+7=42$

5. $6y+1=43$

6. $9a+7=88$

7. $11b+12=56$

8. $12x-3=21$

9. $4y-5=19$

10. $3a-9=21$

11. $5b-8=37$

12. $7x-10=39$

13. $6x-12=30$

Instrucciones: Escribe una expresión y resuelve cada problema.

14. Augusta vender poleras en la tienda del colegio. El martes, Augusta vendió 7 poleras menos que el doble de poleras que vendió el lunes. El martes vendió 3 poleras. Escribe una ecuación algebraica que represente a $m$ , el número de poleras vendidas el lunes.

15. Hay 19 bolitas verdes en una caja. El número de bolitas verdes en la caja es 6 veces mayor que la mitad del número de bolitas rojas en la caja. Escribe una ecuación algebraica que represente a $r$ , el número de bolitas rojas en la caja.

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