Inecuaciones de Un Paso

En esta sección aprenderás a resolver inecuaciones y graficar soluciones.

¿Te gusta ir al cine? Observa este problema.

Marc y Kara han hecho varios amigos en la piscina pública de la ciudad. Un día lluvioso, decidieron invitar al grupo a ver una película. Todos están muy emocionados. La Abuela esta tan contenta de que Kara y Marc hayan hecho amigos que les ofreció ayudar a pagar las entradas.

“¿Cuántos son?” Le preguntó a Kara.

“Bueno, somos ocho en total”, respondió Kara.

“Muy bien, déjame revisar”, le dice la Abuela mientras toma su billetera. “Les puedo dar cuarenta y ocho dólares. Tomen.”

“Gracias Abuela”, respondieron los gemelos con una sonrisa.

Más tarde en el cine, Kara saca el dinero. Tienen $48 para pagar las entradas. A último minuto, una de sus amigas invitó a su hermano. Kara no está segura de tener el dinero suficiente para el hermano también. Si cada entrada cuesta $6, ¿cuántas entradas puede comprar sin pasarse de los $48?

Este problema requiere de una inecuación. El total debe ser menos que o igual a $48. La película está por empezar. Presta atención a esta Sección y sabrás como ayudar a Kara.

Orientación

Anteriormente trabajamos resolviendo inecuaciones.

Podemos resolver inecuaciones de manera similar a las ecuaciones. Lo difícil es la respuesta, no el proceso. Al resolver la inecuación, podemos graficar la solución.

Este es un problema con una inecuación.

Resuelve esta inecuación y grafica su solución $n-4 \le 3$ .

Resuelve la inecuación de la misma manera que resolverías una ecuación, usando operaciones inversas. Ya que se está restando 4 de $n$ , suma 4 en ambos lados de la inecuación para resolverla. No necesitas multiplicar o dividir en ambos lados por un número negativo, así que no necesitas revertir el símbolo de la desigualdad. El símbolo debe mantenerse como esta.

$n-4 & \le 3\\\n-4 +4 & \le 3+4\\\n+(-4+4) & \le 7\\\n+0 & \le 7\\\n & \le 7$

Ahora, grafica la solución. La inecuación $n \le 7$ se lee como “ $n$ es menor que o igual a 7.” Así, las soluciones de esta inecuación incluye 7 y todos los números menores que 7.

Dibuja una recta numérica del 0 al 10. Agrega un círculo relleno en el 7 para mostrar que el 7 es una solución para esta inecuación. Luego dibuja una flecha mostrando todos los números menores que 7.

La solución para esta inecuación es $n \le 7$ , su gráfico es el que se muestra arriba.

Resuelve esta inecuación y grafica su solución $-2n<14$ .

Resuelva la inecuación de la misma manera que resolverías una ecuación, usando operaciones inversas. Ya que el -2 esta multiplicado por $n$ , divide ambos lados de la inecuación para resolverla. Esto implica multiplicar ambos lados de la inecuación por un número negativo, el sentido de la inecuación cambiará y deberás invertir el símbolo de la inecuación. Esto implica cambiar el símbolo de la inecuación de “menos que” (<) a “más que” (>).

$-2n & < 14\\\\frac{-2n}{-2} & > \frac{14}{-2}\\\1n & > -7\\\n & > -7$

Ahora, grafica la solución. La inecuación $n>-7$ se lee como “ $n$ es mayor o igual que 7.” Así, las soluciones de esta inecuación incluyen todos los números mayores que 7.

Dibuja una recta numérica del –10 al 0. Agrega un círculo vacio en el -7 para mostrar que no es una solución para esta inecuación. Luego dibuja una flecha mostrando todos los números mayores a -7.

La solución para esta inecuación es $n>-7$ , su gráfico es el que se muestra arriba.

Algunas veces, necesitarás realizar más de una operación para resolver la inecuación. Puedes abordar estos problemas de la misma manera que lo harías con ecuaciones de dos pasos.

$\frac{n}{3}+9 \ge -9$ .

Resuelve esta inecuación de la misma manera que resolverías una ecuación, usando operaciones inversas. Primero, intenta aislar el término con la variable, $\frac{n}{3}$ , en un lado de la inecuación. Ya que se está sumando 9 a $\frac{n}{3}$ , resta 9 en ambos lados de la inecuación para resolverla. No necesitas multiplicar o dividir en ambos lados por un número negativo, así que no necesitas revertir el símbolo de la desigualdad.

$\frac{n}{3}+9 & \ge -9\\\\frac{n}{3}+9-9 & \ge -9-9\\\\frac{n}{3}+0 & \ge (-9+-9)\\\\frac{n}{3} & \ge -18$

Hay un segundo paso que debes realizar para encontrar la solución. Ya que $n$ está dividida por 3, debes multiplicar ambos lados de la inecuación por 3 para encontrar la solución. Esto implica multiplicar por un número positivo, 3, por lo que no necesitas invertir el símbolo de la inecuación. ¡Ten cuidado! Es cierto que necesitas multiplicar el 3 por -18 para encontrar la solución. Sin embargo, ya que no es necesario multiplicar ambos lados de la inecuación por un número negativo, no necesitas invertir el símbolo de la inecuación.

$\frac{n}{3} & \ge -18\\\\frac{n}{3} \times 3 & \ge -18 \times 3\\\\frac{n}{3} \times \frac{3}{1} & \ge -54\\\\frac{n}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{1} & \ge -54\\\\frac{n}{1} & \ge -54\\\n & \ge -54$

La solución para esta inecuación es $n \ge -54$ .

Resuelve cada inecuación.

Ejemplo A

$x-4<10$

Solución: $x<14$

Ejemplo B

$2y+4 \ge 12$

Solución: $y\ge 4$

Ejemplo C

$-4x \le 16$

Solución: $x \le -4$

Revisemos el problema introductorio nuevamente. Usa lo que has aprendido sobre inecuaciones y cómo resolverlas para resolver el problema de las entradas al cine.

“¿Cuántos son?” Le preguntó a Kara.

“Bueno, somos ocho en total”, respondió Kara.

“Muy bien, déjame revisar”, le dice la Abuela mientras toma su billetera. “Les puedo dar cuarenta y ocho dólares Tomen.”

“Gracias Abuela”, respondieron los gemelos con una sonrisa.

Para descifrar este problema, necesitamos escribir una inecuación. El grupo original consiste en 8 niños sin el hermano extra. Cada boleto cuesta $6. Podemos usar eso en nuestra inecuación. Si sobra dinero, podremos saber si pueden pagar un boleto extra o no.

Necesitamos que sea menor que o igual a $48.

Esta es la inecuación.

$6x \le 48$

Ahora podemos resolver la inecuación. La $x$ representa el número de boletos que pueden comprar si estos cuestan $6 cada uno.

$6x & \le 48\\\\frac{6x}{6} & \le 48\\\x & \le 8$

Esto demuestra que pueden comprar menos de 8 o justo 8 boletos con $48. No tienen suficiente dinero para pagar por el hermano también.

Kara le dice al grupo que deberán cooperar para pagar el boleto extra. Todos pudieron ver la película gracias a la generosidad del grupo.

Vocabulario

Ecuación: Oración numérica con un signo igual donde la cantidad de un lado es igual a la del otro lado.

Inecuación: Oración numérica en la que un lado no es necesariamente igual al otro lado. Hay muchas posibles respuestas que satisfacen la inecuación.

Inecuaciones Equivalentes: Dos inecuaciones escritas de diferente manera pero que expresan las mismas relaciones numéricas.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Antonio está comprando leche para un desayuno en grupo. Cada caja de leche cuesta $3. Como máximo, puede gastar $12 en leche.

a. Escribe una inecuación que represente a, $c$ , el número de cajas de leche que puede comprar.

b. ¿Puede Antonio comprar 4 cajas de leche? Explica.

Respuesta

Empecemos con a.

Usa un número, un signo de operación, una variable o un signo de inecuación para representar cada parte del problema. Ya que cada caja cuesta $3, puedes descubrir el costo total, en dólares, de la leche que compra multiplicando por 3 el número de cajas. Las palabras clave “como máximo” indican que debes usar el símbolo $\le$ .

$& \underline{\text{Each container}\ldots \text{costs} \ \$3}. \ \underline{\text{At most}}, \ \text{he can spend} \ \underline{\$12}\ldots\\\ & \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow \qquad \qquad \qquad \downarrow \qquad \qquad \qquad \quad \quad \ \ \downarrow\\\& \qquad \qquad \quad \quad \ c \times 3 \qquad \qquad \quad \le \qquad \qquad \qquad \qquad 12$

También debes considerar que el valor de $c$ debe ser un entero mayor o igual que 0.

La razón por la que $c$ debe ser mayor que o igual a cero se debe a que Antonio no puede comprar un número negativo de cajas, ni mucho menos una fracción de caja. Ninguna de esas situaciones tendría sentido en este caso. Al usar inecuaciones para representar situaciones reales, siempre debes tener el cuenta que valores tienen más sentido para la variable y cuáles no.

Ahora, sigamos con $b$ .

Resuelve la inecuación.

$c \times 3 & \le 12\\\\frac{c \times 3}{3} & \le \frac{12}{3}\\\c \times \frac{3}{3} & \le 4\\\c \times 1 & \le 4\\\c & \le 4$

Según la ecuación, el número de cajas, $c$ , que puede comprar debe ser menor o igual a 4.

Ya que 4 es una solución para esta inecuación y es un entero mayor que 0, Antonio puede comprar 4 cajas de leche.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en español

This is a Khan Academy video on solving and graphing inequalities. It goes into more advanced content too.

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada inecuación.

1. $x+4<10$

2. $x-3 \ge 7$

3. $b+5 \le 15$

4. $a-7 \ge 14$

5. $4y>20$

6. $6x \le 18$

7. $-4y< -12$

8. $-5x< -20$

9. $\frac{x}{2}=10$

10. $\frac{x}{5} \le 6$

11. $2x+5 \ge 7$

12. $3y-2 \le 4$

13. $3a-7>11$

14. $2b+9<39$

Instrucciones: Resuelve cada problema.

15. Emma compró un batido de fruta en una tienda de jugos por $t$ dólares. Emma pagó con un billete de $10. Recibió menos de $5 de vuelto.

a. Escribe una inecuación que represente a $t$ , el número de dólares que Emma pagó por el batido de fruta.

b. Enumera tres posibles valores para $t$ .

16. Kiet tiene 16 cajas de jugo para un picnic familiar y necesita comprar más. Las cajas de jugo se venden en paquetes de 8.

a. Escribe una inecuación que represente a $p$ , el número de paquetes de cajas de jugo que Kiet necesita comprar la tener al menos 40 cajas de jugo en total para el picnic.

b. Si Kiet compra 4 paquetes, ¿será suficiente?

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