Tablas de Rangos para Reglas

En esta sección aprenderás a evaluar funciones usando una tabla de rangos.

¿Recuerdas el lavado de autos de la Sección anterior? Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Kara y Marc decidieron pasar una mañana ayudando en un lavado de autos a beneficio del club de sus abuelos.

El lavado de autos estuvo muy ocupado. Al principio no había muchos autos, pero entre las 9 a.m. y las a.m. se lavaron 5 autos. Entre 10 a 11 a.m., se lavaron 10 autos; entre 11 a.m. y 12 p.m., se lavaron 15 autos y de 12 a 1 p.m. se lavaron 20 autos.

Marc registró todos los autos que se lavaron a la cada hora.

1 Hora – 5 autos

2 Hora – 10 autos

3 Hora – 15 autos

4 Hora – 20 autos

El número de autos lavados está relacionado al número de horas trabajadas. Uno es función del otro.

Observa esta lista y escribe una función.

Luego descifra cuantos autos serán lavados en la quinta hora del lavado de autos.

Esta Sección te enseñará lo que necesitas para resolver este problema.

Orientación

También se puede representar una función con una tabla de rangos , como la que se muestra a continuación. Es por ello que también se le puede llamar tabla de función.

Rango de valores $(x)$	Rango de resultados $(y)$
0	0
1	3
2	6
3	9

Cada par de números en la tabla se relaciona por la misma regla . La regla es: Multiplica cada número del rango de valores (valor en $x-$ ) por 3 para encontrar cada número del rango de resultados (valor en $y-$ ). También puedes usar esta regla para encontrar otros valores para esta función.

¡Trabajar con tablas de rangos y reglas es muy similar a ser un detective! ¡Debes usar las pistas que te da la regla para completar una tabla! Los modelos tienen gran relación con este tipo de problemas.

Veamos cómo podemos usar la regla para completar una tabla.

La regla para tablas de rangos establece que se debe sumar 1,5 a cada número del rango de valores para encontrar sus correspondientes números del rango de resultados. Usa esta regla para encontrar los valores del rango de resultados correspondiente al rango de valores dado en la tabla.

Rango de valores $(x)$	Rango de resultados $(y)$
0
1
2.5
5
10

Para encontrar los valores faltantes se debe sumar 1,5 a cada número del rango de valores. Luego escríbelos en la tabla.

Rango de valores $(x)$	Rango de resultados $(y)$
0	1.5	$\leftarrow 0+1.5=1.5$
1	2.5	$\leftarrow 1.0+1.5=2.5$
2.5	4	$\leftarrow 2.5+1.5=4.0$
5	6.5	$\leftarrow 5.0+1.5=6.5$
10	11.5	$\leftarrow 10.0+1.5=11.5$

La tabla muestra cinco pares ordenados que cumplen con la regla. Escribamos una respuesta en pares ordenados.

La respuesta es (0, 1.5) (1, 2.5) (2.5, 4) (5, 6.5) (10, 11.5).

Ahora, veamos cómo crear una tabla a partir de una regla dada.

La regla para una función es: Multiplica cada valor de $x-$ por 4 y luego resta 2 para encontrar cada valor de $y-$ . Haz una tabla que muestre tres pares ordenados de valores para una función que cumpla con la regla mencionada.

Primero, elige tres valores de $x-$ para la tabla. Puedes elegir cualquier número, pero es mejor comenzar con números pequeños, como 1, 2 y 3. Luego, para encontrar los valores de $y-$ , multiplica cada uno de esos valores por 4 y resta 2 a los productos.

$x$	$y$
1	2	$\leftarrow 1 \times 4=4$ $4-2=2$
2	6	$\leftarrow 2 \times 4=8$ $8-2=6$
3	10	$\leftarrow 3 \times 4=12$ $12-2=10$

$x$

$y$

$\leftarrow 1 \times 4=4$

$4-2=2$

$\leftarrow 2 \times 4=8$

$8-2=6$

$\leftarrow 3 \times 4=12$

$12-2=10$

La tabla muestra cinco pares ordenados que cumplen con la regla.

La respuesta es (1, 2) (2, 6) (3, 10).

También podemos escribir la regla en forma de ecuación. La tabla muestra la relación entre valores de la misma manera que una ecuación lo hace. Veamos la siguiente ecuación.

La ecuación $y=\frac{x}{3}+1$ describe una función. Usa esta regla para encontrar los valores faltantes de la siguiente tabla.

$x$	$y$
0	1
3	2
9
	8

La tabla requiere que encuentres el valor de $y$ cuando $x = 9$ . Para encontrar el valor faltante de $y-$ , debes reemplazar $x-$ por el valor de dado, 9, $x$ en la ecuación. Luego, resuelve para $y$ .

$y &= \frac{x}{3}+1\\\y &= \frac{9}{3}+1\\\y &= 3+1\\\y &= 4$

Así, cuando $x = 9, y = 4$ . Esto significa que (9, 4) es un par ordenado para esta función.

La tabla requiere que encuentres el valor de $x$ cuando $y = 8$ . Para encontrar el valor faltante de $x-$ , debes reemplazar el valor de $y-$ dado, 8, en la ecuación. Luego resuelve para $x$ como lo harías en cualquier ecuación de dos pasos.

$y &= \frac{x}{3}+1\\\8 &= \frac{x}{3}+1\\\8-1 &= \frac{x}{3}+1-1\\\7 &= \frac{x}{3}+0\\\7 &= \frac{x}{3}\\\\\\7 \times 3 &= \frac{x}{3} \times 3\\\21 &= \frac{x}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{1}\\\21 &= \frac{x}{1}=x$

Así, cuando $y = 8, x = 21$ . Esto significa que (21, 8) es un par ordenado para esta función.

La tabla completa se verá así

$x$	$y$
0	1
3	2
9	4
21	8

Se podría decir que una ecuación es otra manera de escribir una función o regla.

Usa lo que has aprendido para completar los siguientes ejemplos.

Ejemplo A

Completa la tabla. La regla es suma 2.

Rango de valores $(x)$	Rango de resultados $(y)$
3
5
6

Solución: Las respuestas son 5, 7 y 8.

Ejemplo B

Escribe la regla para la tabla.

Solución: $y = x + 2$

Ejemplo C

Crea una tabla dada la regla $y = x \div 2 + 3$ . Usa tres valores.

Solución:

Input $(x)$	Output $(y)$
2	4
4	5
6	5

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Kara y Marc decidieron pasar una mañana ayudando en un lavado de autos a beneficio del club de sus abuelos.

Marc registró todos los autos que se lavaron a la cada hora.

1 Hora – 5 autos

2 Hora – 10 autos

3 Hora – 15 autos

4 Hora – 20 autos

El número de autos lavados está relacionado al número de horas trabajadas. Uno es función del otro.

Observa esta lista y escribe una función.

Luego descifra cuantos autos serán lavados en la quinta hora del lavado de autos.

Podemos usar la multiplicación para demostrar esta regla.

$y = 5x$

Esta regla se aplica a todos los valores.

Podemos comprobar usando la 5ta hora.

$5(5) = 25$

Según esta regla, en la quinta hora se lavarán 25 autos.

Vocabulario

Función: Un conjunto de pares ordenados en la que un elemento corresponde exactamente con otro elemento. Las funciones pueden ser expresadas como un conjunto de pares ordenados o en una tabla.

Dominio: Los valores de $x$ de un par ordenado o los valores de $x$ en un conjunto de pares ordenados.

Rango: Los valores de $y$ de un par ordenado o los valores de $y$ en un conjunto de pares ordenados.

Tabla de Rangos: Una manera de mostrar una función mediante una tabla, en la que el valor de $x$ esta determinado por el valor de $y$ y una regla.

Tabla de Función: Otro nombre para la tabla de rangos.

Regla de Función: Una ecuación escrita que muestra la relación entre el dominio y el rango mediante operaciones.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

En un parque de divisiones, Taylor nota que el patrón de la gente que ganaba en tirar dardos es 3. Sentía tanta curiosidad que se quedó mirando a la gente jugar a los dardos por algunas horas. Si jugaban 12 personas, solo seis ganaban. Si jugaban 10 personas, solo cinco ganaban.

Esta tabla representa la información que recolectó Taylor.

Rango de valores	Rango de resultados
12	6
10	5
8	4
6	3
4	2

¿Puedes escribir una regla para estos datos?

Respuesta

Para escribir la regla primero debemos observar la relación entre los valores de $x$ e $y$ .

El valor de $x$ fue dividido en 2.

$\frac{x}{2} = y$

Este es nuestra regla.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This Khan Academy video is an introduction to functions.

*Este video de Khan Academy es una introducción a las funciones.

Práctica

Instrucciones: Usa la regla o ecuación dada para completar la tabla.

1. La regla para la tabla es multiplicar cada número del rango de valores 7 y luego suma 2 para encontrar cada número del rango de resultados. Usa esta regla para encontrar los valores del rango de resultados correspondiente al rango de valores dado en la tabla. Completa la tabla.

Rango de valores $(x)$	Rango de resultados $(y)$
0
1
2
3
4

2. La regla para la tabla es restar 6 de cada valor de $x-$ para encontrar cada valor de $y-$ . Usa esta regla para encontrar los valores faltantes de la siguiente tabla. Completa la tabla.

$x$	$y$
0
6
	7
	16

3. La ecuación $y=\frac{x}{2}-1$ describe una función. Usa esta regla para encontrar los valores faltantes de la siguiente tabla.

$x$	$y$
2	0
4	1
8
	6

Instrucciones : Comprueba cada función o regla.

4. $2x$

Rango de valores	Rango de resultados
1	3
2	5
3	7

5. $3x-1$

Rango de valores	Rango de resultados
1	2
2	5
3	8
4	11

6. $2x+1$

Rango de valores	Rango de resultados
1	3
2	4
3	6
5	10

7. $4x$

Rango de valores	Rango de resultados
0	0
1	4
2	8
3	12

8. $6x-3$

Rango de valores	Rango de resultados
1	3
2	9
3	15

9. $2x$

Rango de valores	Rango de resultados
0	0
1	2
2	4
3	6

10. $3x-3$

Rango de valores	Rango de resultados
1	0
2	3
4	9
5	12

Instrucciones : Crea una tabla para cada regla.

11. $7x$

12. $3x+1$

13. $5x - 3$

14. $4x+3$

15. $4x- 5$

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