Reglas para Tablas de Rangos

En esta sección aprenderás a escribir reglas usando una tabla de rangos.

El mes ya está por acabarse. En dos días Marc y Kara volverán a su casa. La pasaron excelente en Boston, están muy felices de volver a casa pero extrañaran el tiempo que pasaron en Boston. Como un último paseo, El Abuelo y la Abuela deciden llevan a los gemelos a un parque de diversiones. Todos están muy emocionados.

En el parque de diversiones, cada atracción tiene un costo en boletos distinto. A Kara y Marc le gustaron 9 de ellas. Esas son sus favoritas y cualquier otra sería un extra. Generalmente, los adolescentes necesitan tres boletos para subir a cada atracción. Cada atracción es función del número de boletos que se necesitan. Marc y Kara van a comprar boletos. Cada uno compró 21 boletos. Si cada uno tiene 21 boletos, ¿a cuántas atracciones se pueden subir?

Debido a que cada atracción es función del número de boletos, necesitas aprender sobre funciones antes de resolver este problema. Presta atención a esta Sección y serás capaz de ayudar con el problema del parque de diversiones.

Orientación

Anteriormente trabajamos con una función, regla o ecuación dada. Ahora, es tiempo de usar nuestras habilidades de detective y descifrar la regla a partir de una tabla.

Piensa que eres un detective en busca de pistas, esto te ayudará a escribir reglas.

Una estrategia que puede ser útil en escribir reglas es adivinar y verificar para descifrar la relación entre los valores del dominio y los del rango. Recuerda que los valores de $x$ son el dominio y los valores de $y$ son el rango.

Identifica la regla para cada tabla. Describe la regla en palabras.

Rango de valores $(x)$	Rango de resultados $(y)$
10	1
20	2
30	3
40	4

Adivina y verifica para determinar la relación entre los valores.

Primero, nota que cada valor de $y-$ es menor que su correspondiente valor de $x-$ . Hay dos operaciones que reducen números. Así, la regla debe tener una resta o una división.

Probemos con una regla de resta primero.

Tomemos el par ordenado (10, 1).

$10-1=9$ , la regla podría ser restar 9 a cada valor de x para encontrar su valor de y correspondiente. Verifica que esta regla funcione con los otros pares de valores de la tabla.

Tomemos el par ordenado (20, 2).

$20-1=19$ , no 2, La regla no se aplica en este par de valores, por ende no es la regla que buscamos.

Probemos con una regla de división.

Tomemos el par ordenado (10, 1) nuevamente.

$10 \div 10=1$ , la regla podría ser dividir cada valor de x por 10 para encontrar su valor de y correspondiente. Verifica que esta regla funcione con los otros pares de valores de la tabla.

Tomemos el par ordenado (20, 2).

$20 \div 10=2$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

Tomemos el par ordenado (30, 3).

$30 \div 10=3$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

Tomemos el par ordenado (40, 4).

$40 \div 10=4$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

La regla para este tabla es dividir cada valor de $x-$ por 10 para encontrar su valor de $y-$ correspondiente.

En este ejemplo, escribimos la regla en palabras. También podemos usar una ecuación para expresar una regla. Tomemos el Ejemplo Anterior.

La regla era “Divide cada valor de $x$ por 10 y encontrar el valor de $y$ .”

Podríamos escribirla como $\frac{x}{10}=y$ .

Así es como se expresa la misma regla como ecuación.

Veamos otra situación en la que podemos escribir una ecuación para representar una regla.

Identifica la regla para esta tabla. Describe la regla en palabras. Luego escribe una ecuación que represente la relación entre los pares de valores de la tabla.

$x$	$y$
1	5
2	10
3	15
4	20

Adivina y verifica para determinar la relación entre los valores.

Nota cómo cada valor de $y-$ es mayor que su valor de $x-$ correspondiente. Así, la regla debe ser de suma o multiplicación.

Probemos una regla de suma primero.

Tomemos el par ordenado (1, 5).

$1+4=5$ , la regla podría ser sumar 4 a cada valor de $x-$ para encontrar su valor de y correspondiente. Verifica que esta regla funcione con los otros pares de valores de la tabla.

Tomemos el par ordenado (2, 10).

$2+5=7$ , la regla no se aplica en este par de valores.

Probemos una regla de multiplicación. Cada valor de $y-$ de la tabla es igual a 5 más el valor anterior $y-$ , por lo que la regla puede ser multiplicar por 5.

Tomemos el par ordenado (1, 5).

$1 \times 5=5$ , la regla podría ser sumar 5 a cada valor de $x-$ para encontrar su valor de $y-$ correspondiente. Verifica que esta regla funcione con los otros pares de valores de la tabla

Tomemos el par ordenado (2, 10).

$2 \times 5=10$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

Tomemos el par ordenado (3, 15).

$3 \times 5=15$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

Tomemos el par ordenado (4, 20).

$4 \times 5=20$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

La regla de esta función es multiplicar cada valor de $x-$ por 5 para encontrar su valor de $y-$ correspondiente.

Ahora, escribamos la regla como una ecuación. Recuerda, para encontrar el valor de $y-$ , debes multiplicar cada valor de $x-$ por 5. La ecuación sería la siguiente:

$y=x \cdot 5$ o $y=5x$ .

Claro que sí. Con el tiempo te volverás cada vez mejor en descifrar reglas.

Hay que tener en cuenta que en algunos casos una regla tendrás más de un paso. En otras palabras, tendrá dos operaciones, no una.

Observa cada tabla y escribe sus reglas correspondientes en forma de ecuación.

Ejemplo A

$x$	$y$
5	10
7	14
9	18

Solución: $2x$

Ejemplo B

$x$	$y$
3	5
4	7
6	11

Solución: $2x - 1$

Ejemplo C

$x$	$y$
2	1
4	2
6	3

Solución: $\frac{x}{2}$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Primero, cada juego es una función del número de boletos que se necesitan. Podemos identificar la atracción como $x$ y el número de boletos como $y$ .

Una de las mejores maneras de trabajar con funciones es usando una tabla. Hagamos una.

*$x$ Atracciones*	*$y$ Boletos*

Podemos decir que 1 atracción es igual a 3 boletos. Escojamos otras cantidades de atracciones hasta llegar a los 21 boletos.

*$x$ Atracciones*	*$y$ Boletos*
1	3
2	6
3	9
	21

Observa el patrón. Podemos escribir una ecuación que represente este patrón.

$y=3x$

Necesitas descifrar a cuantas atracciones se pueden subir con 21 boletos cada uno. 21 es la $y$ en la ecuación. Podemos usar lo que hemos aprendido sobre resolver ecuaciones y resolver para $x$ . De esta manera sabremos la cantidad de atracciones para 21 boletos.

$21 &= 3x\\\ 7 &= x$

*$x$ Atracciones*	*$y$ Boletos*
1	3
2	6
3	9
7	21

Con 21 boletos, los gemelos pueden subirse a 7 atracciones cada uno. Para subirse a las nueve atracciones que quieres, deben tener seis boletos más.

Vocabulario

Función: Un conjunto de pares ordenados en la que un elemento corresponde exactamente con otro elemento. Las funciones pueden ser expresadas como un conjunto de pares ordenados o en una tabla.

Dominio: Los valores de $x$ de un par ordenado o los valores de $x$ en un conjunto de pares ordenados.

Rango: Los valores de $y$ de un par ordenado o los valores de $y$ en un conjunto de pares ordenados.

Tabla de Rangos: Una manera de mostrar una función mediante una tabla $x$ en la que el valor de $y$ esta determinado por el valor de y una regla.

Tabla de Función: Otro nombre para la tabla de rangos.

Regla de Función: Una ecuación escrita que muestra la relación entre el dominio y el rango mediante operaciones.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Identifica la regla para esta tabla. Luego escríbela.

$x$	$y$
1	6
2	11
3	16
4	21

Respuesta

Adivina y verifica para determinar la relación entre los valores.

Nota cómo cada valor de $y-$ es mayor que su valor de $x-$ correspondiente. Así, la regla debe ser de suma o multiplicación.

Ya que cada valor de $y-$ de la tabla es igual a 5 más el valor anterior $y-$ , la regla puede ser multiplicar por 5.

Busca una regla de dos pasos que implique multiplicar por 5.

Tomemos el par ordenado (1, 6).

$1 \times 5=5$ y $5+1=6$ , la regla puede ser multiplicar cada valor de x por 5 y luego sumar 1 $y-$ . Verifica que esta regla funcione con los otros pares de valores de la tabla.

Tomemos el par ordenado (2, 11).

$2 \times 5=10$ y $10+1=11$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

Tomemos el par ordenado (3, 16).

$3 \times 5=15$ y $15+1=16$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

Tomemos el par ordenado (4, 21).

$4 \times 5=20$ y $20+1=21$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

La regla de esta función es multiplicar cada valor de $x-$ por 5 y luego sumar 1 para encontrar su valor de $y-$ correspondiente.

Ahora, escribamos la regla como una ecuación. Recuerda, para encontrar el valor de $y-$ debes multiplicar cada valor de $x-$ por 5 y sumar 1. La ecuación sería la siguiente:

$y=5x+1$

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This James Sousa video is about writing a function rule from an input - output table.

Práctica

Instrucciones : Determina la regla de cada tabla. Completa los otros puntos con la regla creada.

Observa la siguiente tabla

Rango de valores $(x)$	Rango de resultados $(y)$
1	3
2	4
3	5
4	6

1. Identifica la regla.

2. Escribe una ecuación para la regla.

Observa la siguiente tabla.

$x$	$y$
1	2
2	4
3	6
4	8

3. Describe la regla en palabras.

4. Escribe una ecuación para la regla.

Observa la siguiente tabla

$x$	$y$
1	3
2	5
3	7
4	9

5. Describe la regla en palabras.

6. Escribe una ecuación para la regla.

Instrucciones: Resuelve cada problema.

7. El número total de cupcakes que Shakir puede hornear, $y$ , es función de la cantidad de masa que hace, $x$ . Esta tabla muestra el número total de cupcakes que Shakir puede hornear con 1, 2 o 3 masas de cupcake.

Cantidad de Masas de Cupcake $(x)$	Número Total de Cupcakes Horneados $(y)$
1	12
2	24
3	36
4	?
5	?

8. Escribe una regla en palabras que describa la relación entre los pares de valores de la tabla.

9. Escribe una ecuación que describa la relación entre los pares de valores de la tabla.

10. ¿Cuántos cupcakes puede hornear Shakir con 5 masas de cupcake?

Para un concierto en un auditorio, el Sr. Walsh distribuyó 10 sillas en el escenario para los músicos y 20 sillas en cada fila para el público. La siguiente ecuación muestra la relación entre $r$ , la cantidad de filas de sillas y $t$ , la cantidad total de sillas en el auditorio.

$t=10+20r$ .

11. Crea una tabla que muestre el número total de sillas que cabrían en el auditorio con 0, 1, 2, 3 o 4 filas de sillas.

12. Identifica el dominio de los pares ordenados de la tabla.

13. Explica por qué el dominio de la tabla es un dominio razonable para la función y por qué incluir un número menor a 0 es innecesario.

Observa la siguiente tabla

Rango de valores	Rango de resultados
1	4
2	5
3	6
4	7

14. ¿Cuál es la regla?

15. Escribe una ecuación que presente la regla.

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