Gráficos de Ecuaciones Lineales

En esta sección aprenderás a graficar ecuaciones lineales en un plano cartesiano.

Mar y Kara la han pasado de maravilla en el parque de diversiones. Fue la mejor manera de terminar el mes que pasaron con sus abuelos.

En la Sección anterior usamos tablas. Podemos usar esa información para crear una representación gráfica de la información. Esta información no es necesaria para que Marc y Kara se diviertan en el parque de diversiones, pero digamos que trabajas en el parque de diversiones y estas tratando de organizar paquetes de boletos para que la gente los compre. Si quieres crear un paquete, podrías saber a cuantas atracciones se puede subir alguien por cierta cantidad de boletos.

Si el paquete tiene 6 boletos, la persona que lo compre se puede subir a dos atracciones. Si el paquete tiene 12 boletos, la persona que lo compre se puede subir a cuatro atracciones. El número de atracciones es función del número de boletos. Usar el siguiente cuadro puede ayudar a la gerencia del parque de diversiones a crear paquetes de boletos.

*$x$ Atracciones*	*$y$ Boletos*
1	3
2	6
3	9
4	12
7	21

Podemos crear una representación gráfica de esta información. ¿Cómo hacemos esto?

Con la ayuda de un gráfico. Un gráfico de una función puede mostrar la relación entre los valores de $x$ y los valores de $y$ . En esta Sección, aprenderás lo que necesitas saber sobre los gráficos. Retomaremos este problema al final de esta Sección.

Orientación

¿Recuerdas lo que es una función?

Una función es un conjunto de pares ordenados en el que un elemento del dominio esta emparejado exactamente con un elemento del rango. Existe una relación en cada regla entre los valores del dominio y los valores del rango de una función.

En esta Sección, comenzaremos por un tipo específico de función llamado función lineal . La palabra “recta” hace referencia a la palabra “lineal”. Eso te puede ayudar a recordar que cuando se grafica una función lineal en un plano cartesiano, la gráfica será una línea recta.

Ya aprendiste como representar funciones con un conjunto de pares ordenados y con una tabla. Podemos tomar la información de pares ordenados o tablas y representar una función con un gráfico.

¿Cómo graficamos una función lineal?

Observa la siguiente tabla de valores y piensa en cómo podemos representar la función en un plano cartesiano.

Grafica la función lineal representada por los pares ordenados de la siguiente tabla en un plano cartesiano.

$x$	$y$
-4	5
-2	3
0	1
2	-1
4	-3

Los pares ordenados que se muestran en la tabla son (–4, 5), (–2, 3), (0, 1), (2, –1) and (4, –3).

Dibuja esos cinco puntos en el plano cartesiano. Luego conéctalos como se muestra abajo.

Notas que el gráfico de esta función es una línea recta. Esto se debe a que es una función lineal.

También puedes graficar una función lineal a partir de la ecuación que la representa. Esto tomará unos cuantos pasos más que si usáramos pares ordenados. Cuando tengas una ecuación, puedes usar la ecuación para crear una tabla. Luego, tomas algunos valores de la tabla, los dibujas en el plano y luego los conectas con una línea.

La ecuación $y=2x-1$ representa una función lineal. Grafica la función en un plano cartesiano.

Primero, usa la ecuación para crear una tabla y encontrar algunos pares ordenados de la función. Una buena idea es usar algunos valores de $x-$ negativos, positivos y $x-$ 0. Por ejemplo, puedes crear una tabla para encontrar el valor de $y$ cuando $x$ es igual a –2, –1, 0, 1, y 2. Tendrás que usar tu conocimiento sobre cálculo de números enteros para encontrar los valores de $y-$ .

$x$	$y$
-2	-5	$\leftarrow 2x-1=2(-2)-1=-4-1=-4+(-1)=-5$
-1	-3	$\leftarrow 2x-1=2(-1)-1=-2-1=-2+(-1)=-3$
0	-1	$\leftarrow 2x-1=2(0)-1=0-1=0+(-1)=-1$
1	1	$\leftarrow 2x-1=2(1)-1=2-1=1$
2	3	$\leftarrow 2x-1=2(2)-1=4-1=3$

Los pares ordenados que se muestran en la tabla son (–2, –5), (–1, –3), (0, –1), (1, 1) y (2, 3). Esta es una manera de representar una función usando una tabla.

Dibuja esos cinco puntos en el plano cartesiano. Luego conéctalos como se muestra abajo.

Responde las siguientes preguntas sobre funciones.

Ejemplo A

El grafico anterior, ¿es un gráfico positivo o negativo?

Solución: Positivo

Ejemplo B

En (-3, 4) el valor de $x$ ¿es positivo o negativo?

Solución: Negativo

Ejemplo C

En (-6, -7), ¿Cuál es el valor de $y$ ?

Solución: $-7$

Revisemos el problema introductorio nuevamente. Léelo nuevamente y observa el gráfico al final. Nota cómo la información de la tabla está representada de manera gráfica.

Mar y Kara la han pasado de maravilla en el parque de diversiones. Fue la mejor manera de terminar el mes que pasaron con sus abuelos.

Recuerda la tabla anterior. Podemos usar esa información para crear una representación gráfica de la información. Esta información no es necesaria para que Marc y Kara se diviertan en el parque de diversiones, pero digamos que trabajas en el parque de diversiones y estas tratando de organizar conjuntos de boletos para que la gente los compre. Si quieres crear un paquete, podrías saber a cuantas atracciones se puede subir alguien por cierta cantidad de boletos.

Si el paquete tiene 6 boletos, entonces la persona que lo compre se puede subir a dos atracciones. Si el paquete tiene 12 boletos, la persona que lo compre se puede subir a cuatro atracciones. El número de atracciones es función del número de boletos. Usar el siguiente cuadro puede ayudar a la gerencia del parque de diversiones a crear paquetes de boletos.

*$x$ Atracciones*	*$y$ Boletos*
1	3
2	6
3	9
4	12
7	21

Podemos crear una representación gráfica de esta información. ¿Cómo hacemos esto?

Este gráfico representa la información de la tabla.

Este es un gráfico lineal que muestra la relación entre las atracciones y los boletos.

Vocabulario

Función: Un patrón donde un elemento del dominio está relacionado con exactamente un elemento del rango.

Regla de Función: La regla que designa el patrón de una función.

Función Lineal: Una función que forma una línea recta al ser graficada.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Identifica los pares ordenados de esta función.

$x$	$y$
1	5
2	10
3	15
4	20

¿Es esta una función lineal? ¿Por qué? o ¿por qué no?

Respuesta

Esta es una función lineal porque la misma regla se aplica tanto a los valores de x como a los de y.

La regla de la función es $y = 5x$ .

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a James Sousa video on how to graph a linear function in the coordinate plane.

Práctica

Instrucciones : Grafica cada función en el plano cartesiano. Identifica cada regla. Son dos respuestas por problema.

Rango de valores	Rango de resultados
1	4
2	5
3	6
4	7

Rango de valores	Rango de resultados
2	4
3	6
4	8
5	10

Rango de valores	Rango de resultados
1	3
2	6
4	12
5	15

Rango de valores	Rango de resultados
9	7
7	5
5	3
3	1

Rango de valores	Rango de resultados
8	12
9	13
11	15
20	24

Rango de valores	Rango de resultados
3	21
4	28
6	42
8	56

Rango de valores	Rango de resultados
2	5
3	7
4	9
5	11

Rango de valores	Rango de resultados
4	7
5	9
6	11
8	15

Rango de valores	Rango de resultados
5	14
6	17
7	20
8	23

10.

Rango de valores	Rango de resultados
4	16
5	20
6	24
8	32

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