Patrones Lineales y No Lineales de Cambio

En esta sección aprenderás a modelar y resolver problemas reales relacionados con patrones lineales y no lineales de cambio.

¿Te has subido alguna vez a una montaña rusa? A Marc le encantan.

Marc ama las montañas rusas. No puede esperar para subirse a una en el parque de diversiones de New Hampshire. Marc cree que la velocidad de la montaña rusa es función de su altura.

Luego de investigar, este es lo que descubre Marc.

La Montaña Rusa Timber Terror

Altura $= 85 \ ft$

Velocidad $= 55 \ mph$

Montaña Rusa Kingda Ka

Altura $= 456 \ feet$

Velocidad $= 128 \ mph$

Montaña Rusa Top Thrill Dragster

Altura $= 420 \ ft.$

Velocidad $= 120 \ mph$

Crea una tabla y comprueba si los datos recopilados por Marc son lineales o no lineales.

Esta Sección te enseñara como resolver problemas reales que impliquen patrones de cambio.

Orientación

Las funciones lineales nos permiten representar situaciones reales. Específicamente, las funciones lineales nos ayudan a entender situaciones en las que dos pares de valores se relacionan por una regla.

Podemos representar el problema con una tabla, una ecuación o un gráfico. Representar un problema de más de una manera nos puede ayudar, algunas veces, a entender mejor el problema para solucionarlo.

Esta tabla muestra cómo el costo total de comprar tomates en el mercado de agricultores cambia según la cantidad de libras de tomate que compres.

Cantidad de Libras Compradas $(x)$	Costo Total en Dólares $(y)$
1	2
2	4
3	6
4	?
5	?

a. Escribe una ecuación que describa la relación entre los pares de valores de la tabla.

b. Crea un grafico que represente la relación entre la cantidad comprada, $x$ , y el costo total, $y$ .

c. Determina si el costo de comprar 5 libras de tomates.

Empecemos con $a$ .

Adivina y verifica para determinar la relación entre los valores.

Por ejemplo, nota cómo cada valor de $y-$ es mayor que su valor de $x-$ correspondiente. Así, la regla debe ser de suma o multiplicación.

Ya que cada valor de $y-$ de la tabla es igual a 2 más el valor anterior $y-$ la regla puede ser multiplicar por 2.

Busca una regla de dos pasos que implique multiplicar por 2.

Tomemos el par ordenado (1, 2).

$1 \times 2=2$ , la regla podría ser sumar 2 a cada valor de $x-$ para encontrar su valor de $y-$ correspondiente. Verifica que esta regla funcione con los otros pares de valores de la tabla.

Tomemos el par ordenado (2, 4).

$2 \times 2=4$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

Tomemos el par ordenado (3, 6).

$3 \times 2=6$ , la regla sí se aplica a este par ordenado.

Así, la regla para la tabla es: Multiplica cada valor de $x-$ por 2 para su valor de $y-$ correspondiente.

Ahora, escribamos la regla como una ecuación. Recuerda, para encontrar el valor de $y-$ , debes multiplicar cada valor de $x-$ por 2. Así, la ecuación sería $y=2x$

Ahora, sigamos con $b$ .

Primero, pensemos en cómo se vería el gráfico de esta función. Usemos el eje horizontal para las libras, $x$ .

Usemos el eje vertical para el costo total en dólares, $y$ .

Veamos ahora cómo enumerar los ejes. Los valores de $x-$ representan la cantidad de libras de tomate compradas. Ya que nadie puede comprar una cantidad negativa de algo, el gráfico solo debe incluir valores de $x-$ mayores o iguales a 0. Así, podemos enumerar el eje desde 0. El valor más grande de $x-$ es 3. El valor más grande de $y-$ es 6. Así los números del eje vertical deben llegar a 6. Ampliemos un poco el gráfico y enumeremos de 0 a 10 cada eje.

Ahora, podemos dibujar los pares ordenados (1, 2), (2, 4) y (3, 6) y unirlos con una línea. Estos son valores que conocemos de la tabla.

El grafico de arriba represente la relación entre la cantidad comprada, $x$ , y el costo total, $y$ .

Por último $c$ .

Una estrategia para determinar el costo total, $y$ , de comprar 5 libras de tomates es usar una ecuación. Podemos reemplazar $x$ por 5 y resolver para $y$ .

$y &= 2x\\\y &= 2 \times 5\\\y &= 10$

Por lo que sí $x = 5, y = 10$ . Así, el costo de 5 libras de tomates es 10 dólares.

Ahora es tu turno. Encuentra el valor de $y$ en la ecuación y $y = 2x$ .

Ejemplo A

Si $x = 4$

Solución: $y = 8$

Ejemplo B

Si $x = 4.5$

Solución: $y = 9$

Ejemplo C

Si $x = 5.5$

Solución: $y = 11$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Marc ama las montañas rusas. No puede esperar para subirse a una en el parque de diversiones de New Hampshire. Marc cree que la velocidad de la montaña rusa es función de su altura.

Luego de investigar, este es lo que descubre Marc.

La Montaña Rusa Timber Terror

Altura $= 85 \ ft$

Velocidad $= 55 \ mph$

Montaña Rusa Kingda Ka

Altura $= 456 \ feet$

Velocidad $= 128 \ mph$

Montaña Rusa Top Thrill Dragster

Altura $= 420 \ ft.$

Velocidad $= 120 \ mph$

Crea una tabla y comprueba si los datos recopilados por Marc son lineales o no lineales.

Primero, creemos la tabla y luego grafiquemos los datos.

Para crear una tabla con los datos recopilados por Marc, debemos usar la altura como una variable y la velocidad como otra. Esta es la tabla.

$H$	$S$
85	55
420	120
456	128

Podemos ver que a medida que la altura aumenta la velocidad también aumenta. Con esta información, Marc puede concluir que la velocidad de una montaña rusa sí es función de su altura.

Creemos un gráfico de la función.

Notas que el gráfico no es lineal. Incluso si la velocidad aumenta con la altura, la relación de aumento no es uniforme. Por lo tanto, el gráfico de esta función es no lineal.

Vocabulario

Función: Un patrón donde un elemento del dominio está relacionado con exactamente un elemento del rango.

Regla de Función: La regla que designa el patrón de una función.

Función Lineal: Una función que forma una línea recta al ser graficada.

Función No Lineal: Una función que no forma una línea recta al ser graficada.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Verdadero o Falso. Para que un gráfico represente un cambio lineal, cada intervalo en los valores de $x$ e $y$ debe aumentar o disminuir en igual valor.

Respuesta

Verdadero. Este gráfico será una línea recta. De lo contrario, sería una función no lineal.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a Khan Academy video on patterns and equations.

Práctica

Instrucciones: Observa cada tabla y determina si el patrón de cambio es lineal o no lineal.

$x$	$y$
0	2
1	3
2	5
4	4

$x$	$y$
1	3
2	5
3	7
4	9

$x$	$y$
2	6
3	9
5	15
6	18

$x$	$y$
2	3
3	4
6	7
8	9

$x$	$y$
8	4
6	12
2	8
0	0

$x$	$y$
0	3
1	4
2	5
6	9

$x$	$y$
5	11
4	9
3	7
2	5

$x$	$y$
1	7
3	4
2	9
5	8

$x$	$y$
1	3
2	6
4	12
6	18

10.

$x$	$y$
4	2
5	3
6	5
7	1

Esta tabla muestra cómo el costo total de comprar gasolina en Gary’s Gas Station cambia según la cantidad de galones que compres.

Cantidad de Galones Comprados $(x)$	Costo Total en Dólares $(y)$
0	0
1	3
2	6
3	?

11. Escribe una ecuación que describa la relación entre los pares de valores de la tabla.

12. Crea un grafico que represente la relación entre la cantidad comprada, $x$ , y el costo total, $y$ . Usa los siguientes ejes en blanco para crear tu gráfico.

13. Determina el costo de comprar 3 galones de gasolina en Gary’s Gas Station.

Franklin tiene una tarjeta de bus de $10. Cada vez que toma el bus, se le restan $2 de su tarjeta. Esta ecuación muestra la relación entre $x$ , las veces que usa la tarjeta e $y$ , los dólares que le quedan en la tarjeta.

$y=10-2x$ .

14. Crea una tabla que demuestre cuántos dólares le quedarán en la tarjeta a Franklin luego de usarla 0, 1, 2 o 3 veces.

15. Crea un gráfico que represente la relación entre las veces que Franklin usa la tarjeta, $x$ , y los dólares restantes, $y$ . Usa los siguientes ejes en blanco para crear tu gráfico.

16. Si Franklin toma el bus 4 veces, ¿cuántos dólares le quedarán?