Pares de Ángulos Complementarios y Suplementarios

En esta sección aprenderás a inferir la medida de los ángulos

¿Has intentado adivinar la medida de un ángulo? Veamos que pasó en el museo de arte.

Justin estaba mirando una pintura con dos rectas intersecantes. Una de las rectas formaba una línea recta y la otra la intersecaba.

"¿Cuánto crees que mide el ángulo más pequeño?" Le pregunto a Susan.

"Creo que es $30^\circ$ ," dijo Susan.

"Eso es lo que estaba pensado", respondió Justin.

Si Susan y Justin tienen razón, ¿puedes calcular el valor del otro ángulo?

Esta Sección te enseñará a inferir la medida de los ángulos restantes.

Orientación

Como aprendimos en la Sección anterior, podemos identificar ángulos complementarios y suplementarios al sumarlos. Esto quiere decir que podemos encontrar la medida de un ángulo de un par si conocemos la medida del otro. Por ejemplo, sabemos que los ángulos complementarios siempre suman $90^\circ$ , por lo que podemos calcular la medida de un ángulo en un par de ángulos complementarios. Veamos cómo funciona.

$C$ y $D$ forman un ángulo recto. Por lo tanto son complementarios y suman $90^\circ$ . Sabemos que $C$ mide $44^\circ$ . ¿Cómo podemos encontrar la medida del ángulo ? $D$ ?

Para encontrar la medida del ángulo $D$ , solo debemos restar la medida del ángulo $C$ de 90.

$\angle{C}+ \angle{D} & = 90^\circ\\\44^\circ + \angle{D} & = 90^\circ\\\\angle {D} & = 90-44\\\\angle {D} & = 46^\circ$

Para que estos ángulos sean complementarios deben sumar $90^\circ$ . Por lo que el ángulo $D$ mide $46^\circ$ . Podemos comprobar sumando los ángulos $C$ y $D$ . La suma debe ser igual a $90^\circ$ .

$44^\circ + 46^\circ = 90^\circ$

Podemos usar el mismo proceso para encontrar ángulos en un par suplementario. Al igual que los ángulos complementarios, si conocemos la medida de un ángulo del par, podemos encontrar la medida del otro.

Los ángulos $P$ y $Q$ son ángulos suplementarios. Su el ángulo $P$ mide $112^\circ$ , ¿Cuánto mide el ángulo $Q$ ?

Sabemos que los ángulos suplementarios suman $180^\circ$ Por lo tanto podemos restar la medida que conocemos, ángulo $P$ , a $180^\circ$ para encontrar la medida del ángulo $Q$ .

$\angle{P} + \angle{Q} & = 180^\circ\\\112^\circ + \angle {Q} & = 180^\circ\\\\angle{Q} & = 180-112\\\\angle{Q} & = 68^\circ$

El Ángulo $Q$ es $68^\circ$ . Podemos comprobar sumando los ángulos $P$ y $Q$ . Recuerda, para que los ángulos sean suplementarios deben sumar $180^\circ$ .

$68^\circ + 112^\circ = 180^\circ$

A esto se le puede llamar el complemento o suplemento.

Con todo lo que sabemos sobre ángulos complementarios y suplementarios, podemos encontrar el valor de ángulos desconocidos. Podemos usar el razonamiento lógico para interpretar la información que se provee y encontrar la medida desconocida. Observa el siguiente diagrama.

¿Cómo podemos encontrar la medida del ángulo $X$ ? Sí podemos, si aplicamos todo lo aprendido sobre ángulos suplementarios. Sabemos que los ángulos suplementarios suman $180^\circ$ , y que $180^\circ$ es una línea recta. Mira el diagrama. El ángulo de $80^\circ$ y ángulo $X$ forman una línea recta; por ende, podemos deducir que son suplementarios. Esta significa que podemos crear una ecuación para resolver para $X$ .

$80 + x = 180$

La ecuación muestra lo que ya sabemos: La suma de los ángulos complementarios es $180^\circ$ . Podemos encontrar la medida de $X$ al resolver la ecuación.

$80 + x & = 180\\\x & = 180 - 80\\\x & = 100^\circ$

La medida del ángulo desconocido es $100^\circ$ .

Podemos reemplazar $X$ por $100^\circ$

en la ecuación para comprobar.

$80 + 100 = 180$

Ahora es tu turno de aplicar lo que has aprendido hasta ahora. Encuentra el complemento y suplemento en cada ejemplo.

Ejemplo A

Los ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $33^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

Solución: $57^\circ$

Ejemplo B

Los ángulos $C$ y $D$ son suplementarios. El ángulo $C$ mide $59^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $D$ .

Solución: $121^\circ$

Ejemplo C

Los ángulos $A$ y $B$ son suplementarios. El ángulo $A$ mide $169^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

Solución: $11^\circ$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Justin estaba mirando una pintura con dos rectas intersecantes. Una de las rectas formaba una línea recta y la otra la intersecaba.

"¿Cuánto crees que mide el ángulo más pequeño?" Le pregunto a Susan.

"Creo que es $30^\circ$ ," dijo Susan.

"Eso es lo que estaba pensado", respondió Justin.

Si Susan y Justin tienen razón, ¿puedes calcular el valor del otro ángulo?

Para descifrar este problema podemos usar el razonamiento lógico para encontrar pistas. Primero, la pintura tiene una línea recta. Sabemos que la medida de una línea recta es $180^circ$ . Con esta información podemos escribir una ecuación.

$x + 30 = 180$

30 es la medida del ángulo que Justin y Susan supusieron.

Ahora podemos resolver la variable desconocida.

$x = 150^\circ$

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Ángulo agudo: Un ángulo que mide menos de $90^\circ$ .

Ángulo obtuso: Un ángulo que mide más de $90^\circ$ .

Ángulo Recto: Un ángulo que mide exactamente $90^\circ$ .

Ángulo extendido: Un ángulo que mide exactamente $180^\circ$ .

Grados: Medida de un ángulo.

Pares de Ángulos: Dos ángulos cuyas medidas sumadas forman una relación especial.

Ángulos Suplementarios: Pares de ángulos cuyas medidas suman $180^\circ$ .

Ángulos Complementarios: Pares de ángulos cuyas medidas suman $90^\circ$ .

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

¿Cuál es la medida del ángulo $R$ ?

Respuesta

¿Cómo podemos encontrar la medida del ángulo $R$ ? ¿Podemos determinar si existe una relación entre los dos ángulos? Juntos forman un ángulo recto. Por lo que deben ser un par de ángulos complementarios, es decir, deben sumar $90^\circ$ . Nuevamente, podemos escribir una ecuación para $R$ , el ángulo desconocido.

$R + 22 = 90$

Esta ecuación representa lo que sabemos, que la suma de estos ángulos complementarios es $90^\circ$ . Ahora debemos resolver para $R$ .

$R + 22 & = 90\\\R & = 90 - 22\\\R & = 68^\circ$

La medida del ángulo faltante es $68^\circ$ . Podemos reemplazar $R$ en la ecuación.

$68 + 22 = 90^\circ$

Video de Repaso

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

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This is a James Sousa video on complementary and supplementary angles.

Práctica

Instrucciones: Encuentra la medida del ángulo faltante para cada par de ángulos complementarios o suplementarios.

1. Ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $63^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

2. Ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $83^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

3. Ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $3^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

4. Ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $23^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

5. Ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $70^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

6. Ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $29^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

7. Ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $66^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

8. Ángulos $A$ y $B$ son complementarios. El ángulo $A$ mide $87^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

9. Ángulos $A$ y $B$ son suplementarios. El ángulo $A$ mide $33^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

10. Ángulos $A$ y $B$ son suplementarios. El ángulo $A$ mide $103^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

11. Ángulos $A$ y $B$ son suplementarios. El ángulo $A$ mide $73^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

12. Ángulos $A$ y $B$ son suplementarios. El ángulo $A$ mide $78^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

13. Ángulos $A$ y $B$ son suplementarios. El ángulo $A$ mide $99^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

14. Ángulos $A$ y $B$ son suplementarios. El ángulo $A$ mide $110^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

15. Ángulos $A$ y $B$ son suplementarios. El ángulo $A$ mide $127^\circ$ . Encuentra la medida del ángulo $B$ .

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