Ángulos Verticales

En esta sección aprenderás a identificar ángulos adyacentes y verticales que se forman en las intersecciones de dos o más rectas y a encontrar las medidas de los ángulos faltantes.

Cuando los alumnos llegaron al museo de arte, la Sra. Gilson les mostró algunas de las obras de arte que se encontraban en el patio del museo. Tani y su amiga Yalisha les llamó la atención una pintura en particular, catalogada como "arte callejero". Observaron la pintura por un momento; media cinco pies de altura por cinco pies de ancho y ocupaba una pared entera.

"Esta pintura es realmente genial", comentó Tania. "Me encanta la forma en que las líneas se intersecan. Creo que esta pintura se basa en las líneas."

"Yo también lo creó", agregó Yalisha. "Sin embargo, también tiene ángulos. Si te fijas bien, notaras que cuando las líneas se intersecan se forman diferentes ángulos. Por ejemplo, mira el triángulo pequeño de color morado oscuro y el cuadrilátero morado claro. Los ángulos formados por esas líneas son exactamente iguales. ¿Lo notaste?"

"¿Cómo es eso posible? Una forma es mucho más grande que la otra", Preguntó Tania confundida.

¿Cómo puede ser posible? ¿Cuál será la relación que hace que estas dos líneas formen ángulos iguales o distintos? En esta sección aprenderemos sobre ángulos y pares de ángulos especiales. No olvides la pregunta de Tania a medida que avanzamos en esta Sección. Al final, veremos si eres capaz de descubrir por qué Yalisha dice que los ángulos son los mismos.

Orientación

En esta Sección, trabajaremos con la relación entre ángulos formados por la intersección de rectas. Algunas rectas nunca se intersecan. Hay otra que sí, y cuando lo hacen forman ángulos. Observemos las siguientes rectas.

Los ángulos formados por las dos rectas intersecantes están enumerados de 1 al 4. En esta sección, aprenderás a encontrar la medida de esos ángulos con la medida de uno de ellos.

Las relaciones entre ángulos formados por dos rectas intersecadas son las siguientes:

Ángulos adyacentes estos son ángulos que comparten el mismo vértice y tienen un lado en común. Si se juntan forman una línea recta, por ende miden $180^\circ$ . Los ángulos 1 y 2 son adyacentes. Los ángulos 3 y 4 también son adyacentes. Los ángulos adyacentes pueden ser considerados como "ángulos vecinos". Los ángulos 3 y 4 también son adyacentes. Los ángulos adyacentes pueden ser considerados como "ángulos vecinos".

Cualquiera sea su medida, los ángulos 1 y 2 siempre sumaran $180^\circ$ . Lo mismo sucede con los ángulos 3 y 4, ya que también forman una línea recta. Pero eso no es todo. Los ángulos 1 y 3 también forman una línea recta. También los ángulos 2 y 4. Todos estos son pares de ángulos adyacentes .Veamos que sucede son las medidas de los ángulos.

La suma de cada par de ángulos es $180^\circ$ . Según el vocabulario de la sección anterior, estos pares de ángulos son suplementarios.

Este patrón de ángulos adyacentes se forma cada vez que dos rectas se intersecan. Los dos ángulos que miden $110^\circ$ son diagonales entre si, al igual que los ángulos que miden $70^\circ$ Esta es otra relación especial entre pares de ángulos formados por rectas intersecantes.

¿Cómo se llaman los ángulos en diagonal?

Este par de ángulos de llama ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice siempre miden lo mismo. Los pares de ángulos 1 - 3 y 2 - 4 son opuestos por el vértice.

Estas relaciones se presentan siempre que dos rectas se intersecan. Observa con atención las siguientes figuras. Comprender la relación de los ángulos formados por rectas intersecantes es muy importante en la geometría.

En cada figura, hay pares de ángulos adyacentes que suman $180^\circ$ y pares de ángulos opuestos por el vértice.

Practiquemos.

Identifica todos los pares de ángulos adyacentes y los dos pares de ángulos opuestos por el vértice en la siguiente figura.

¡Esta vez no hay números! ¿Cómo se supone que sepamos cuanto miden? En realidad, no necesitamos sabes la medida de los ángulos para poder responder correctamente. Como mencionamos anteriormente, las relaciones adyacentes y opuestas por el vértice nunca cambian, las medidas de los ángulos no las afectan. Un par de ángulos adyacentes siempre formaran una línea recta y un par de ángulos diagonales siempre serán opuestos.

Con esto en mente, busquemos los ángulos adyacentes. Los ángulos adyacentes comparten un lado y, en caso de rectas intersecantes, forman una línea recta. ¿Qué ángulos adyacentes forman la recta $n$ ? Los ángulos $Q$ y $R$ se encuentran uno al lado del otro y forman un ángulo extendido en la recta $n$ . ¿Qué tal $T$ y $S$ ? Estos ángulos también se encuentran en la recta $n$ . Ambos son pares adyacentes. Revisemos la recta $m$ . ¿Qué pares de ángulos forman un ángulo extendido sobre la recta $m$ ? Los ángulos $Q$ y $T$ al igual que los ángulos $S$ y $R$ . Estos cuatro pares son adyacentes.

Ahora, busquemos los ángulos opuestos por el vértice. Recuerda, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. ¿Qué ángulos son opuestos entre sí? Los ángulos $Q$ y $S$ al igual que los ángulos $T$ y $R$ , Estos son los dos pares de ángulos opuestos por el vértice.

Podemos usar lo que aprendimos sobre ángulos adyacentes y opuestos por el vértice para encontrar la medida que algún ángulo formado por rectas intersecantes. Sabemos que los ángulos adyacentes suman $180^\circ$ y que los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Por lo tanto, si tenemos la medida de un ángulo podemos encontrar el valor de los otros según su relación.

Encuentra la medida del ángulo $B$ .

Sabemos que un ángulo mide 50 y debemos encontrar la medida del ángulo $B$ .

Primero, debemos identificar la relación de estos dos ángulos. El ángulo $B$ ¿es adyacente u opuesto por el vértice? Es opuesto, por lo que estos dos ángulos son opuestos por el vértice. Lo que quiere decir que el ángulo $B$ también mide $50^\circ$ .

Intentemos con este otro.

Encuentra la medida del ángulo $\angle Q$ .

Nuevamente, debemos identificar la relación entre los ángulos. Esta vez $Q$ no es opuesto del otro ángulo. Es adyacente, ya que juntos forman una línea recta. ¿Qué sabemos sobre los ángulos adyacentes? Juntos miden $180^\circ$ . Por lo tanto, podemos usar la medida que nos dan y resolver para el ángulo $Q$ .

$138^\circ + \angle Q &= 180\\\\angle Q &= 180 - 138\\\\angle Q &= 42^\circ$

La medida del ángulo $Q$ debe ser $42^\circ$ .

Responde las siguientes preguntas.

Ejemplo A

¿Qué significa la palabra "adyacente"?

Solución: Al lado de

Ejemplo B

Verdadero o Falso. Los ángulos adyacentes miden lo mismo.

Solución: Falso

Ejemplo C

Verdadero o Falso. Los ángulos opuestos miden lo mismo.

Solución: Verdadero

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

¿Has estado pensando en la pregunta de Tania? Lee nuevamente la situación y escribe tu respuesta a su pregunta. ¿Los ángulos son iguales o diferentes? ¿Por qué? o ¿por qué no?

Cuando los alumnos llegaron al museo de arte, la Sra. Gilson les mostró algunas de las obras de arte que se encontraban en el patio del museo. Tania y su amiga Yalisha les llamó la atención una pintura en particular, catalogada como "arte callejero". Observaron la pintura por un momento; media cinco pies de altura por cinco pies de ancho y ocupaba una pared entera.

"Esta pintura es realmente genial", comentó Tania. "Me encanta la forma en que las líneas se intersecan. Creo que esta pintura se basa en las líneas."

"¿Cómo es eso posible? Una forma es mucho más grande que la otra", Preguntó Tania confundida.

Pensemos un poco. El tamaño de los ángulos no se define por el tamaño de las figuras. Es la intersección de las rectas la que influye. Tania comentó que ella creía que la pintura se basada en líneas. Tenía razón.

Primero, fíjate en que tipos de ángulos se forman en la intersección de las rectas. Hay ángulos opuestos por el vértice. Cada vez que dos rectas intersecan, los ángulos opuestos que se forman por la intersección son considerados ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Por lo tanto, el comentario de Yalisha también es cierto.

Revisemos la pintura nuevamente. ¿Puedes encontrar ángulos adyacentes? ¿Puedes encontrar otro par de ángulos opuestos por el vértice? Toma notas en tu cuaderno.

Vocabulario

Ángulos Adyacentes: Ángulos que se forman en la intersección de dos rectas. Ángulos suplementarios, la suma de sus ángulos es igual a $180^\circ$ .

Ángulos Opuestos por el Vértice: Ángulos que se forman en la diagonal de dos rectas intersecantes. Miden lo mismo.

Suplementario: Suma $180^\circ$ .

Rectas Intersecantes: Rectas que se cruzan en un punto.

Rectas Paralelas: Rectas que nunca se cruzan.

Rectas Perpendiculares: Rectas que se intersecan en un ángulo recto.

Ángulos Correspondientes: Ángulos que se encuentran en el mismo lado de la intersección cuando una recta cruza dos líneas paralelas.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Dos rectas se intersecan. Un ángulo opuesto mide $45^\circ$ ¿Cuánto mide el ángulo adyacente a ese?

Respuesta

Para descifrar la medida del otro ángulo, debemos usar lo que aprendimos con los ángulos verticales y adyacentes.

Dos rectas se intersecan, los grados de una línea recta son $180^\circ$ .

Un ángulo mide $45^\circ$ . Por lo tanto, restamos el valor de este ángulo a 180 y encontraremos la medida del ángulo adyacente.

$180 - 45 = 145$

El ángulo adyacente mide $145^\circ$ .

Video de Repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on complementary and supplementary angles.

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Práctica

Instrucciones : Identifica si las rectas son paralelas, perpendiculares o intersecantes.

5. Rectas que nunca se intersecan.

6. Rectas que se intersecan en un ángulo recto. $90^\circ$ .

7. Rectas que se cruzan en un punto.

Instrucciones : Identifica los ángulos como adyacentes u opuestos por el vértice.

10.

11.

12. Dos ángulos de igual medida.

13. Un ángulo junto a otro ángulo.

14. Un ángulo congruente con otro ángulo.

15. Dos ángulos con diferentes medidas que suman $180^\circ$ .

Instrucciones: Encuentra la medida del ángulo faltante.

16.

17.

18.

19.

20.

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