Teorema de la Suma de un Triángulo

En esta sección aprenderás que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados.

Corrina observó la escultura y quedó cautivada por los triángulos celestes del medio. La escultura se llama "180". Corrina asumió que su nombre se debía a que los ángulos interiores de un triángulo suman $180^\circ$ .

Hay dos ángulos en la base del triángulo. Uno mide $40^\circ$ y el otro mide $75^\circ$ .

¿Cuál es la medida del ángulo superior?

¿Puedes averiguarlo?

En esta Sección aprenderás todo lo que debes saber sobre triángulos y sus ángulos. Al final podrás resolver este problema.

Orientación

Esta Sección es sobre triángulos. Has estado aprendiendo sobre triángulos desde hace mucho. Es un de las primeras figuras que los niños aprenden a reconocer. Matemáticamente hablando, sabemos que el prefijo "tri" significa tres y el resto de la palabra es "ángulo". Por lo tanto, un triángulo es una figura con tres lados y tres ángulos.

En un triángulo hay una relación entre los ángulos internos del triángulo. ¿Qué son los ángulos interiores?

Los ángulos interiores son los ángulos que se encuentran dentro del triángulo. Son tres ángulos y podemos aprender sus relaciones mirando unos cuantos ejemplos.

Los triángulos $a, b, c$ y $d$ son todos diferente, tienes distintos ángulos y lados. Observa con más atención. Si sumas los tres ángulos de cada triángulo, siempre dará como resultado $180^\circ$ !

Escribe esto en tu cuaderno.

Ahora, veamos triángulos un poco diferentes. En geometría, un triángulo puede formarse por la intersección de tres rectas.

Las rectas forman los tres ángulos internos del triángulo. Y como ya sabemos, la suma de esos ángulos es $180^\circ$ .

Si extendemos cualquier lado del triángulo, se extiende más allá del triángulo. Al extender los lados se forma un par de ángulos, un ángulo interno y un ángulo externo.

Un ángulo externo es un ángulo que se forma fuera de la esquina del triángulo.

Mira este ejemplo.

Como puedes ver, el ángulo interior y el ángulo exterior forman una recta. Por lo tanto la suma se esos ángulos debe ser $180^\circ$ .

El ángulo adyacente al ángulo interior es $120^\circ$ . Si el ángulo exterior e interior forman una línea recta, entonces deben sumar $180^\circ$ . Podemos escribir una ecuación y resolver para la medida de $x$ .

$120 + x &= 180\\\x &= 180 - 120\\\x &= 60^\circ$

El ángulo interior faltante mide $60^\circ$ .

También podemos encontrar este valor de otra manera. Observa los otros ángulos interiores. Esto miden $50^\circ$ y $70^\circ$ . La suma de ellos también es de $120^\circ$ !

De hecho, la suma de dos ángulos interiores, cualesquiera, de un triángulo es igual al ángulo exterior de la tercer ángulo.

Podemos usar esta información para encontrar la medida del tercer ángulo interior. Si la suma de dos ángulos interiores es 120, podemos usar la misma ecuación y resolver para el tercer ángulo.

$120 + x &= 180\\\x &= 180 -120\\\x &= 60^\circ$

Ambos métodos te ayudarán a encontrar la medida correcta de un ángulo interior.

¿Cuánto mide el ángulo $S$ de la siguiente figura?

El ángulo $S$ es un ángulo exterior. Sin embargo, no sabemos la medida de su ángulo adyacente. ¿Cómo podemos encontrar la medida del ángulo $S$ ? Si podemos. La sume de los otros dos ángulos interiores es igual a la medida del ángulo exterior adyacente al tercer ángulo interior. Por lo que el ángulo $S$ debe ser igual a la suma de los ángulos dados.

$S &= 30 + 35\\\S &= 65^\circ$

También podemos encontrar la medida del tercer ángulo del triángulo usando el ángulo adyacente exterior. Sabemos que suma del ángulo interior y el ángulo $S$ es $180^\circ$ . Si $S$ mide $65^\circ$ , el ángulo interior debe medir $180 - 65 = 115^\circ$ .

Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es $180^\circ$ , por lo que podemos encontrar la medida faltante al sumar los dos ángulos y restando el resultado de $180^\circ$ .

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 &= 180^\circ\\\30 + 35 + \angle 3 &= 180^\circ\\\65 + \angle 3 &= 180^\circ\\\\angle 3 &= 180 - 65\\\\angle 3 &= 115^\circ$

Responde cada pregunta.

Ejemplo A

Si la suma de dos ángulos de un triángulo es $150^\circ$ , ¿Cuánto mide el tercer ángulo?

Solución: $30^\circ$

Ejemplo B

Si la suma de dos ángulos de un triángulo es $75^\circ$ , ¿Cuánto mide el ángulo exterior del tercer ángulo?

Solución: $105^\circ$

Ejemplo C

Ángulo $A = 33^\circ$ , Ángulo $B = 65^\circ$ , ¿Cuánto mide el ángulo $C$ ?

Solución: $82^\circ$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Corrina observo la escultura y quedo cautivada por los triángulos celestes del medio. La escultura se llama "180". Corrina asumió que su nombre se debía a que los ángulos interiores de un triángulo suman $180^\circ$ .

Hay dos ángulos en la base del triángulo. Uno mide $40^\circ$ y el otro mide $75^\circ$ .

¿Cuál es la medida del ángulo superior?

¿Puedes averiguarlo?

Escribamos una ecuación que nos ayude a resolver este problema $x$ representará al ángulo faltante.

$40 + 75 + x = 180$

$115 + x = 180$

Resolvamos usando la operación inversa.

$x = 180 - 115$

$x = 65$

La medida del ángulo faltante es $65^\circ$ .

Vocabulario

Triángulo: Una figura de tres lados y tres ángulos.

Ángulos Interiores: Los tres ángulos internos de un triángulo.

Ángulos Exteriores: Los ángulos externos de un triángulo formado por rectas intersecantes.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

¿Cuál es la medida del ángulo faltante?

Respuesta

Podemos ver que este es un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos es igual a 90 grados. Para descifrar la medida del ángulo restante, usamos una variable que represente la medida faltante. Esta es nuestra ecuación.

$55 + 90 + x & = 180 \\\145 + x & = 180 \\\180 - 145 & = x \\\x & = 35^\circ .$

Nuestra respuesta es $35^\circ$ .

Video de Repaso

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This Khan Academy video is on angles and parallel lines.

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Práctica

Instrucciones : Encuentra la medida de los ángulos faltantes.

1. $20 + 70 + x = 180^\circ$

2. $60 + 60 + x = 180^\circ$

3. $90 + 15 + x = 180^\circ$

4. $100 + 45 + x = 180^\circ$

5. $10 + 105 + x = 180^\circ$

6. $120 + 45 + x = 180^\circ$

7. $145 + 5 + x = 180^\circ$

8. $160 + 20 + x = 180^\circ$

9. $110 + 45 + x = 180^\circ$

10. $60 + 60 + x = 180^\circ$

11. $70 + 50 + x = 180^\circ$

12. $80 + 45 + x = 180^\circ$

13. $50 + 45 + x = 180^\circ$

14. $30 + 55 + x = 180^\circ$

15. $75 + 55 + x = 180^\circ$

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