Figuras Congruentes

En esta sección aprenderás a reconocer la congruencia y a encontrar medidas desconocidas.

La Sra. Gilman llevó a un grupo pequeño de estudiantes al pasillo del museo a ver las baldosas del piso.

"Ven, incluso en el piso hay matemática", dijo sonriendo. La Sra. Gilman es una de esas profesoras que ama señalar los lugares en los que pueda haber matemática.

"Tiene razón", dijo Jesse. "Puedo ver cuadrados".

"Hay mucho más que solo cuadrados", dijo la Sra. Gilman mientras caminaba con una gran sonrisa en su rostro.

"A veces me desespera", susurró Kara mientras miraba el piso. "¿Que más hay aparte de cuadrados?"

"Creo que se refiere al tamaño de los cuadrados", dijo Hannah. "Veo dos tamaños distintos."

"En realidad, hay tres tamaños distintos y podrían haber más", dijo Jesse.

"Recuerden lo que aprendimos sobre comparar las formas que son iguales y las que no; tiene relación con las proporciones o algo por el estilo", comentó Hannah.

Las tres alumnas dejaron de hablar y comenzaron a mirar el piso nuevamente.

"Ya veo, figuras congruentes y similares, pero ¿Cuál es cual?", preguntó Kara.

"Comencemos con las congruentes", dijo Hannah.

¿Cuáles son las figuras congruentes? Esta Sección te enseñara todo lo que necesitas saber sobre figuras congruentes. Al terminar la sección, tendrás la oportunidad de analizar el piso nuevamente y ver si encuentras figuras congruentes.

Orientación

La palabra congruente significa exactamente igual. A veces, verás este símbolo $\cong$ .

En esta Sección, usaremos la palabra congruente para comparar figuras.

Las figuras congruentes tienen el mismo porte y forma. Tiene lados y ángulos congruentes. Veamos algunos pares de figuras congruentes.

Compara cada par entre sí. ¡Son exactamente iguales! Si no estás seguro, imagina que cortas una figura y la posicionas sobre la otra. Si coinciden, son congruentes.

¿Cómo podemos reconocer la congruencia?

Comprobamos la congruencia al comparar cada lado y ángulo de dos figuras para ver si coinciden. Si los lados y los ángulos miden lo mismo, las figuras son congruentes. Cada lado y ángulo de una figura corresponde al lado o ángulo de la otra. Estos ángulos y lados se llaman partes correspondientes u homólogas. Por ejemplo, la punta superior de un triángulo coincide con la punta superior del otro triángulo en un par congruente.

No siempre es fácil ver la congruencia en dos figuras. Una figura puede tener una rotación diferente que la hace ver distinta a su parte correspondiente. Si no estás seguro, dibuja una figura y sobreponla en la otra para ver si coinciden. Veamos si podemos reconocer algunas figuras congruentes.

¿Qué par es congruente?

Analicemos de a uno para encontrar los ángulos o lados congruentes.

Las figuras del primer par parecen ser iguales. Rotemos una para que ambas apunten hacia abajo. Ahora podemos ver las partes correspondientes, como el ángulo inferior y los dos lados largos a la derecha e izquierda. Sin embargo, esto no es suficiente. Necesitamos comparar las medidas de los ángulos y los lados. Si un par de partes correspondientes no coincide, las figuras no pueden ser congruentes.

Solo sabemos la medida de un ángulo en ambas figuras. Podemos comparar estos ángulos para ser si con correspondientes. Si rotamos la imagen ambos ángulos quedan hacia debajo de cada figura. Sin embargo, el ángulo de la primera figura mide $45^\circ$ . y el de la segunda figura mide $55^\circ$ . Debido a que los ángulos son diferentes, estas figuras no son congruentes. Analicemos el siguiente par.

Solo nos queda un par. ¿Puedes encontrar las partes correspondientes? Si rotamos la figura, ambas figuras se parecen a la letra $110^\circ$ en ambos triángulos. Estas figuras podrías ser congruentes, pero necesitamos comprobar si los lados son congruentes (como mencionamos antes, las figuras similares también tienen ángulos congruentes, pero no lados). Sabemos que la medida de la base de cada triángulo es 2 y 4 pulgadas. Estos lados no son congruentes, por lo que los triángulos no son congruentes. Recuerda, para que dos figuras sean congruentes, cada lado y ángulo debe ser igual.

Solo nos queda un par. ¿Puedes encontrar las partes correspondientes? Si rotamos la figura, ambas figuras se parecen a la letra $L$ . Ahora compara sus lados correspondientes. El lado inferior de cada una mide 8 cm, el lado largo izquierdo de cada una mide 8 cm, los otros dos lados de cada una miden 6 cm y el lado superior de cada una mide 2 cm. Todos los ángulos de ambas figuras miden $90^\circ$ . Debido a que cada lado y ángulo de una figura corresponde a un lado o ángulo congruente en la segunda, estas dos figuras son congruentes.

¿Qué pasa con las medidas de los ángulos de las figuras congruentes?

Sabemos que las figuras congruentes tienen exactamente los mismos ángulos y lados. Eso significa que podemos usar la información que sabemos de una figura en un par de figuras congruentes para encontrar las medidas de los ángulos o lados de la otra figura del par. Veamos cómo funciona. Observa las siguientes figuras congruentes.

Estos dos paralelogramos son congruentes.

¿Puedes encontrar las partes correspondientes?

Si no puedes, dibuja un paralelogramo y ponlo sobre el otro. Rótalo hasta que las partes correspondan.

¿Qué lados y ángulos corresponden?

Podemos ver que el lado $AB$ corresponde con el lado $PQ$ . Ya que son congruentes podemos escribir.

$AB \cong PQ.$

¿Qué otros lados son congruentes? Escríbelos

$AB &\cong PQ\\\BC &\cong QR\\\AD &\cong PS\\\DC &\cong SR$

También podemos escribir los ángulos correspondientes. Estos son congruentes porque las figuras son congruentes.

$\angle A &\cong \angle P && \angle D \cong \angle S\\\\angle B &\cong \angle Q && \angle C \cong \angle R$

Ahora que conoces las relaciones de correspondencia de dos figuras, puedes encontrar la medida de un lado o ángulo de una figura con información de la otra.

No conocemos el largo de $AB$ ?

No conocemos el largo de $AB$ . Sin embargo, sabemos que es congruente con $PQ$ , y $PQ$ mide 7 centímetros. Por lo tanto $AB$ también mide 7 centímetros.

Veamos sus ángulos. ¿Podemos encontrar la medida del ángulo $\angle C$ ?

El ángulo se corresponde con $\angle R$ , pero tampoco sabemos la medida de $\angle R$ Conocemos las medidas de dos ángulos del primer paralelogramo: $70^\circ$ y $110^\circ$ . Si tuviéramos tres ángulos podríamos restarlos de $360^\circ$ para encontrar el ultimo ángulo. No sabemos la medida del $\angle B$ , pero sabemos la medida de su ángulo correspondiente $\angle Q$ . Estos dos ángulos con congruentes, así que $\angle B$ debe medir $70^\circ$ . Ahora que sabemos la medida de tres ángulos en la primera figura, podemos restar para encontrar el último ángulo.

$360 - (70 + 110 + 70) &= \angle C\\\360 - 250 &= \angle C\\\110^\circ &= \angle C$

Pudimos combinar la información de ambas figuras porque sabemos que son congruentes.

Sí y mientras más rompecabezas resuelvas más fácil será.

Ahora, intenta por tu cuenta.

Ejemplo A

Verdadero o Falso. Las figuras congruentes tienen el mismo número de lados y ángulos.

Solución: Verdadero

Ejemplo B

Verdadero o Falso. Las figuras congruentes pueden tener un par de ángulos iguales, pero no todos los ángulos miden lo mismo.

Solución: Falso

Ejemplo C

Verdadero o Falso. Las figuras congruentes pueden tener distinto tamaño, siempre y cuando los ángulos sean iguales

Solución: Falso

Volvamos a las figuras congruentes del museo de arte.

La Sra. Gilman llevó a un grupo pequeño de estudiantes al pasillo del museo a ver las baldosas del piso.

"Ven, incluso en el piso hay matemática", dijo sonriendo. La Sra. Gilman es una de esas profesoras que ama señalar los lugares en los que pueda haber matemática.

"Tiene razón", dijo Jesse. "Puedo ver cuadrados".

"Hay mucho más que solo cuadrados", dijo la Sra. Gilman mientras caminaba con una gran sonrisa en su rostro.

"A veces me desespera", susurró Kara mientras miraba el piso. "¿Que más hay aparte de cuadrados?"

"Creo que se refiere al tamaño de los cuadrados", dijo Hannah. "Veo dos tamaños distintos."

"En realidad, hay tres tamaños distintos y podrían haber más", dijo Jesse.

"Recuerden lo que aprendimos sobre comparar las formas que son iguales y las que no; tiene relación con las proporciones o algo por el estilo", comentó Hannah.

Las tres alumnas dejaron de hablar y comenzaron a mirar el piso nuevamente.

"Ya veo, figuras congruentes y similares, pero ¿Cuál es cual?", preguntó Kara.

"Comencemos con las congruentes", dijo Hannah.

Las figuras congruentes son exactamente iguales. Podemos decir que los cuadros café pequeños son congruentes porque se ven iguales. Tienen lados iguales. ¿Qué otros pares de cuadros congruentes hay?

Anota las figuras congruentes que puedas encontrar y comparte con un compañero. Comparen respuestas y sigan con la Sección.

Vocabulario

Congruente: Tener exactamente la misma forma y tamaño. Todos los lados y ángulos miden lo mismo.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

¿Cuál es la medida del $\angle M$ ?

Respuesta

Podemos usar el razonamiento lógico para descifrar este problema. Primero, sabemos que ambos triángulos son congruentes. También conocemos dos de los tres ángulos de los triángulos.

Escribamos una ecuación.

$95 + 35 + x = 180$

Ahora resolvamos la ecuación.

$130 + x = 180$

$x = 50$

La medida del ángulo es $50^\circ$ .

Video de Repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on similar and congruent triangles.

*Este video solo se encuentra disponible en inglés.

Práctica

Instrucciones: Identifica las partes correspondientes de las siguiente figuras.

1. $\angle R$

2. $MN$

3. $\angle O$

Instrucciones: Usa las relaciones entre figuras congruentes para encontrar la medida de $g$ . Comparte tu trabajo.

Instrucciones: Usa las relaciones entre figuras congruentes para encontrar la medida del $\angle T$ . Comparte tu trabajo.

Instrucciones: Responde verdadero o falso.

6. Los triángulos $ABC$ y $DEF$ son congruentes. Si la medida del ángulo $A$ es $58^{\circ}$ , ¿Cuál es la medida del ángulo $D$ de ser correspondiente con $A$ ?

7. Verdadero o Falso. Las figuras congruentes son exactamente iguales.

Instrucciones: Identifica los siguientes triángulos como visualmente congruentes o no.

10.

11.

12.

Instrucciones: Responde cada pregunta.

13. Los triángulos $ABC$ y $DEF$ son congruentes. ¿Significa esto que sus ángulos miden lo mismo? ¿Por qué?

14. Define Congruente.

15. Verdadero o Falso. Si dos figuras son congruentes, entonces tienen los mismos lados, pero distintos ángulos.

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