Similaridad

En esta sección aprenderás a reconocer la similaridad.

¿Recuerdas a las niñas que estaban viendo las figuras congruentes del piso en la sección anterior? Bueno, ahora veremos figuras similares. Este es el problema.

La Sra. Gilman llevó a un grupo pequeño de estudiantes al pasillo del museo a ver las baldosas del piso.

"Ven, incluso en el piso hay matemática", dijo sonriendo. La Sra. Gilman es una de esas profesoras que ama señalar los lugares en los que pueda haber matemática.

"Tiene razón", dijo Jesse. "Puedo ver cuadrados".

"Hay mucho más que solo cuadrados", dijo la Sra. Gilman mientras caminaba con una gran sonrisa en su rostro.

"A veces me desespera", susurró Kara mientras miraba el piso. "¿Que más hay aparte de cuadrados?"

"Creo que se refiere al tamaño de los cuadrados", dijo Hannah. "Veo dos tamaños distintos."

"En realidad, hay tres tamaños distintos y podrían haber más", dijo Jesse.

"Recuerden lo que aprendimos sobre comparar las formas que son iguales y las que no; tiene relación con las proporciones o algo por el estilo", comentó Hannah.

Las tres alumnas dejaron de hablar y comenzaron a mirar el piso nuevamente.

"Ya veo, figuras congruentes y similares, pero ¿Cuál es cual?", preguntó Kara.

¿Cuál es la diferencia entre figuras congruentes y similares? En la Sección anterior aprendimos sobre figuras congruentes, ahora aprenderemos sobre figuras similares. Al final de la Sección, podrás identificar tanto figuras congruentes como figuras similares.

Orientación

Algunas figuras se ven idénticos, pero tienen diferentes tamaños. Los ángulos incluso se ven iguales. Cuando tenemos figuras que son proporcionales entre sí, las llamamos figuras similares . Las figuras similares tienen los mismos ángulos, pero con lados diferentes.

¿Qué figuras serían similares?

Los cuadrados son figuras similares, siempre tiene ángulos de $90^\circ$ y cuatro lados iguales, incluso si el largo de los lados difiere. Otras figuras pueden ser similares también, siempre que sus ángulos sean iguales.

Veamos algunos pares de figuras similares.

Cada par de figuras se ve igual, pero uno es más grande que el otro. Ya no tienen el mismo porte, no son congruentes. Sin embargo, son similares porque tienen los mismos ángulos.

A diferencia de las figuras congruentes, las figuras similares no son exactamente iguales. Tienen características correspondientes, pero solo sus ángulos son congruentes, los lados correspondientes no lo son. Así al trabajar con pares de figuras similares, debemos fijarnos en los ángulos en vez de los lados. En las figuras similares, los ángulos son congruentes, incluso si los lados no lo son.

Un ángulo de una figura del par corresponde a un ángulo de la otra. Tienen la misma forma, pero no el mismo porte. Por lo tanto son similares.

Encontremos los ángulos correspondientes en figuras similares.

Enlista los ángulos correspondientes de las siguientes figuras.

Los ángulos $G$ y $W$ son ángulos rectos, por lo que se corresponden. Imagina que giras las figuras y alineas los ángulos rectos. Incluso puede dibujar una figura pequeña sobre la grande.

¿Se alinean los ángulos?

Los ángulos $H$ y $X$ son correspondientes. Al igual que los ángulos $I$ e $Y$ y los ángulos $J$ y $Z$ . Ahora podemos nombrar a los cuadriláteros: $GHIJ$ es similar a $WXYZ$ .

Como lo mencionamos, los lados de las figuras similares no son congruentes. Sin embargo, son proporcionales. Las proporciones tienen la misma relación. Mira nuevamente las figuras $GHIJ$ y $WXYZ$ Podemos escribir cada par de lados como una proporción.

$\frac{GH}{WX},\frac{HI}{XY},\frac{IJ}{YZ},\frac{GJ}{WZ}$

Los lados de una figura van arriba y los lados proporcionales de la otra, abajo.

Enlista como proporciones todos los pares de lados correspondientes de las figuras.

Intenta alinear las figuras por sus ángulos. Puede ser útil dibujar una figura y rotarla hasta que coincida con la otra.

¿Qué lados son proporcionales?

$OP$ y $RS$ son los lados más cortos de cada figura. Son proporcionales, así que escribe

$\frac{OP}{RS}$

Ahora que identificamos un par, hagamos lo mismo con los otros.

$\frac{NO}{QR}, \frac{MP}{TS}, \frac{MN}{TQ}$

Usemos lo que aprendimos para buscar similaridades entre figuras.

¿Qué par de figuras es similar?

Para que las figuras sean similares, deben tener ángulos congruentes y lados proporcionales. Revisemos cada par.

Solo conocemos algunos ángulos del primer par de triángulos. Ambos tiene un ángulo de $50^{\circ}$ eso es bueno. Los tres ángulos deben ser congruentes, sin embargo, encontramos el ángulo faltante primero. Recuerda la suma de los ángulos de un triángulo siempre es $180^{\circ}$ .

$&\text{Triángulo 1} && \text{Triángulo 2}\\\&50 + 60 + \text{angle} \ 3 = 180 && 50 + 80 + \text{angle} \ 3 = 180\\\&110 + \text{angle} \ 3 = 180 && 130 + \text{angle} \ 3 = 180\\\&\text{angle} \ 3 = 180 - 110 && \text{angle} \ 3 = 180 - 130 \\\&\text{angle} \ 3 = 70^{\circ} && \text{angle} \ 3 = 50^{\circ}$

Los ángulos del primer triángulo son $50^{\circ}$ , $60^{\circ}$ y $70^{\circ}$ . Los ángulos del segundo triángulo son $50^{\circ}$ , $50^{\circ}$ y $80^{\circ}$ . Estos triángulos no son similares porque sus ángulos no miden lo mismo.

Sigamos con el otro par.

En este caso no sabemos los ángulos, pero si los lados. Necesitamos comprobar que los lados correspondientes sean proporcionales. Primero, escribamos los pares de lados correspondientes de manera proporcional.

$\frac{6}{3}, \frac{6}{3}, \frac{4}{1}$

Las proporciones muestran el los lados del triángulo grande arriba y los del triángulo pequeño abajo. Los pares deben tener la misma proporción para ser similares. Podemos comprobar que las proporciones sean las mismas dividiendo cada una. Si el coeficiente es el mismo, los pares de lados son proporcionales.

$\frac{6}{3} = 2\\\\frac{6}{3} = 2\\\\frac{4}{1} = 4$

Al dividir, solo dos pares de lados tienen la misma proporción (2). El tercer par de lados no tiene la misma proporción que los otros dos. Estos triángulos no son similares.

Solo nos queda un par. Tenemos las medidas de algunos ángulos. Si todos los ángulos correspondientes son congruentes, estas figuras son similares. Sabemos la medida de tres ángulos en cada figura. Los tres ángulos son correspondientes. Por lo que el ángulo desconocido de una figura corresponde al ángulo desconocido de la otra.

Recuerda que la suma de los ángulos de un cuadrilátero siempre es $360^{\circ}$ . Por lo que el ángulo desconocido de cada figura debe sumarse con los otros. Ya que los tres ángulos dados son congruentes, no necesitamos saber la medida del ángulo desconocido Estas dos figuras son similares, todos sus ángulos son congruentes.

Ahora es tu turno.

Ejemplo A

¿Cuántos ángulos rectos tienen las primeras dos figuras?

Solución: 4 ángulos rectos

Ejemplo B

¿Qué hace que los dos cuadrados sean similares si ambos tienen cuatro ángulos rectos?

Solución: El largo de sus lados es diferente.

Ejemplo C

En el par de triángulo, ¿los triángulos son similares o congruentes? ¿Por qué?

Solución: Los triángulos son similares porque sus lados son diferentes, pero los ángulos son iguales.

Revisemos el problema introductorio nuevamente. Léelo una vez más y responde la pregunta al final.

La Sra. Gilman llevó a un grupo pequeño de estudiantes al pasillo del museo a ver las baldosas del piso.

"Ven, incluso en el piso hay matemática", dijo sonriendo. La Sra. Gilman es una de esas profesoras que ama señalar los lugares en los que pueda haber matemática.

"Tiene razón", dijo Jesse. "Puedo ver cuadrados".

"Hay mucho más que solo cuadrados", dijo la Sra. Gilman mientras caminaba con una gran sonrisa en su rostro.

"A veces me desespera", susurró Kara mientras miraba el piso. "¿Que más hay aparte de cuadrados?"

"Creo que se refiere al tamaño de los cuadrados", dijo Hannah. "Veo dos tamaños distintos."

"En realidad, hay tres tamaños distintos y podrían haber más", dijo Jesse.

"Recuerden lo que aprendimos sobre comparar las formas que son iguales y las que no; tiene relación con las proporciones o algo por el estilo", comentó Hannah.

Las tres alumnas dejaron de hablar y comenzaron a mirar el piso nuevamente.

"Ya veo, figuras congruentes y similares pero ¿Cuál es cual?", preguntó Kara.

Los alumnos están tratando de descifrar cuales figuras del piso con congruentes y cuales son similares.

Las figuras congruentes son exactamente iguales. Podemos decir que los cuadros café pequeños son congruentes porque se ven iguales. Tienen lados iguales. ¿Qué otros pares de cuadros congruentes hay?

Las figuras similares son los cuadrados de diferentes tamaños. Las figuras del piso son cuadrados, así que sus ángulos miden 90 grados. El tamaño de sus lados varia, pero ya que los ángulos son congruentes, podemos decir que tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño. Esto los hace similares.

El cuadrado pequeño de color café es similar al cuadrado grande de color café. El cuadrado pequeño de color café también es similar al cuadrado formado por las baldosas de color marfil. Existe una relación entre los diferentes cuadrados. ¿Hay alguna otra comparación? Toma notas en tu cuaderno.

Vocabulario

Congruente: Tener exactamente la misma forma y tamaño. Todos los lados y ángulos miden lo mismo.

Similar: Tener la misma forma, pero no el mismo porte. Todos los ángulos miden lo mismo, pero el largo de los lados es diferente.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Estas figuras ¿son similares o congruentes?

Son similares. Tienen la misma forma, pero no el mismo porte.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

This is a Khan Academy video on similar triangles

*Este video solo se encuentra disponible en inglés.

Práctica

Instrucciones: Identifica si los siguientes pares son congruentes, similares o nada.

7. Verdadero o Falso. Si los triángulos $DEF$ y $GHI$ son similares, sus lados son diferentes pero sus ángulos son iguales.

8. Verdadero o Falso. Las figuras similares tienen el mismo porte y forma.

9. Los Triángulos $LMN$ y $HIJ$ son similares. Si esto es cierto, entonces los lados son iguales. Verdadero o Falso.

10. ¿Qué es una proporción?

11. Verdadero o Falso. Para descifrar si dos figuras son similares, sus lados deben ser proporcionales.

12. Define figuras similares.

13. Estas figuras ¿son similares o congruentes?

14. Define figuras congruentes.

15. Define figuras similares.

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