Factor de Escala de Polígonos Similares

En esta sección aprenderás a reconocer la relación de los lados de figuras similares como factor de escala.

¿Alguna vez de has pregunta sobre la relación entre los lados de una figura?

Jessie vio un dibujo con dos cuadriláteros. Las medidas de los lados de los cuadriláteros son las siguientes:

MN = 3 pulgadas QT = 6 pulgadas

NO = 2 pulgadas QR = 4 pulgadas

MP = 4 pulgadas TS = 8 pulgadas

OP = 2 pulgadas RS = 4 pulgadas

Dada la relación entre estos lados, ¿puedes descifrar el factor de escala?

Presta atención y aprenderás cómo hacerlo en esta Sección. Revisaremos este problema al final de la Sección.

Orientación

Las figuras similares son formas que existen en proporción entre sí. Tienen ángulos congruentes, pero lados diferentes. Los cuadrados son figuras similares, siempre tiene cuatro ángulos de $90^{\circ}$ y cuatro lados iguales, incluso si el largo de los lados difiere. Otras figuras pueden ser similares también, siempre que sus ángulos sean iguales. Veamos algunos pares de figuras similares.

Cada par de figuras se ve igual pero uno es más grande que el otro. Las figuras similares tienen ángulos congruentes, pero sus lados son distintos.

A pesar de que las figuras similares tienen lados de diferentes largos, los lados correspondientes aun mantienen una relación entre ellos. Cada par de lados correspondientes tiene la misma relación que cualquier otro par de lados correspondientes, de manera que, en conjunto, los pares de lados existen en proporción entre ellos. Por ejemplo, si un lado de una figura mide el doble que su lado correspondiente, todos los otros lados serán dos veces más grande.

En esta sección, usaremos estas relaciones para encontrar las medidas de lados desconocidos. Este método se llama medición indirecta.

Veamos cómo funciona la medición indirecta.

Primero, debemos estar seguros de poder reconocer partes correspondientes de figuras similares. Las figuras similares tienen los mismos ángulos. Por lo tanto cada ángulo de una figura corresponde al un ángulo de la otra.

Estos triángulos son similares porque sus ángulos miden lo mismo. ¿Cuál corresponde a cuál? El ángulo $B$ mide $100^{\circ}$ . Su ángulo correspondiente también debe medir $100^{\circ}$ : el ángulo $Q$ es su ángulo correspondiente. Los ángulos $A$ y $P$ son correspondientes, al igual que los ángulos $C$ y $R$

Las figuras similares también tienen lados correspondientes, incluso si sus lados no son congruentes. Los lados correspondientes no siempre con fáciles de identificar. Podemos identificar los lados correspondientes como aquellos que se encuentran en el mismo lugar en relación a los ángulos correspondientes. Por ejemplo, el lado $AB$ , entre los ángulos $A$ y $B$ , debe corresponder al lado $PQ$ , porque $A$ y $P$ son correspondientes, al igual que $B$ y $Q$ .

Los lados correspondientes también se relacionan entre ellos, a pesar de que no son congruentes. Específicamente, los lados son proporcionales. En otras palabras, cada par de lados correspondientes tiene la misma relación que cualquier otro par de lados correspondientes. Observa los siguientes rectángulos.

Estos rectángulos son similares por que los lados de uno son proporcionales con los del otro. Podemos comprobarlo al escribir los pares de lados correspondientes como proporciones. Escribamos los lados del rectángulo grande arriba y los del rectángulo chico abajo.

$\frac{LM}{WX} &= \frac{8}{4}\\\\frac{MN}{XY} &= \frac{6}{3}\\\\frac{ON}{ZY} &= \frac{8}{4}\\\\frac{LO}{WZ} &= \frac{6}{3}$

Ahora puede apreciar con claridad cada relación. Para demostrar que los pares sí forman una proporción, debemos dividir el número por el denominador. Si el cociente es el mismo, entonces las relaciones forman la misma proporción y las figuras son similares.

$\frac{LM}{WX} &= \frac{8}{4} = 2\\\\frac{MN}{XY} &= \frac{6}{3} = 2\\\\frac{ON}{ZY} &= \frac{8}{4} = 2\\\\frac{LO}{WZ} &= \frac{6}{3} = 2$

Cada cociente es el mismo, así que las relaciones son proporcionales. Los lados son proporcionales y las figuras son similares.

A esto se le llama factor de escala. El factor de escala es la relación que determina la proporcionalidad entre los lados de figuras similares. Para que los pares de lados sean proporcionales, deben tener el mismo factor de escala. In otras palabras, las figuras similares tienen ángulos congruentes y lados con el mismo factor de escala. Un factor de escala de 2 implica que cada lado de la figura más grande es dos veces más largo que su lado correspondiente de la figura pequeña.

Ahora, intenta por tu cuenta. Determina cada factor de escala.

Ejemplo A

$\frac{18}{6}$ y $\frac{24}{8}$

Solución: $3$

Ejemplo B

$\frac{12}{6}$ y $\frac{8}{4}$

Solución: $2$

Ejemplo C

$\frac{25}{5}, \frac{45}{9}, \frac{15}{3}$

Solución: $5$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Jessie vio un dibujo con dos cuadriláteros. Las medidas de los lados de los cuadriláteros son las siguientes:

MN = 3 pulgadas QT = 6 pulgadas

NO = 2 pulgadas QR = 4 pulgadas

MP = 4 pulgadas TS = 8 pulgadas

OP = 2 pulgadas RS = 4 pulgadas

Dada la relación entre estos lados, ¿puedes descifrar el factor de escala?

Para calcular el factor de escala, podemos escribir cada lado correspondiente como una relación.

$\frac{3}{6}$

$\frac{2}{4}$

$\frac{4}{8}$

$\frac{2}{4}$

El factor de escala de estas figuras es $\frac{1}{2}$ .

Vocabulario

Figuras Similares: Figuras con ángulos iguales, pero lados diferentes.

Factor de Escala: La relación proporcional entre el largo de dos lados.

Proporciones: Dos relaciones iguales.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

¿Cuál es el factor de escala de las figuras?

Respuesta

Para encontrar el factor de escala debemos escribir las proporciones de los lados. Escribe todos los lados de la figura grande arriba y los de la figura pequeña abajo. No importa cual vaya arriba o abajo, siempre que los lados de una figura se mantengan en el mismo lugar.

$\frac{QR}{HI} &= \frac{15}{5}\\\\frac{TS}{KJ} &= \frac{21}{7}\\\\frac{RS}{IJ} &= \frac{6}{3}\\\\frac{QT}{HK} &= \frac{15}{5}$

Ahora debemos dividir.

$\frac{QR}{HI} &= \frac{15}{5} = 3\\\\frac{TS}{KJ} &= \frac{21}{7} = 3\\\\frac{RS}{IJ} &= \frac{6}{3} = 3\\\\frac{QT}{HK} &= \frac{15}{5} = 3$

El factor de escala para estas figuras similares es 3. Esto quiere decir que el primer cuadrilátero es exactamente tres veces más grande que el segundo.

¿Qué pasaría si lo escribiéramos al revés?

Si hubiésemos puesto los lados al revés, el resultado habría sido $\frac{1}{3}$ . Siempre que sepas como interpretar correctamente el factor de escala, puedes escribir los lados de la manera que quieras, arriba o abajo. Esta es otra manera de decir que el factor de escala es tres .Al decir que la figura grande es tres veces más grande que la pequeña es igual a decir que la figura pequeña es un tercio de la grande.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Here is a video by James Sousa on factor de escala .

*Este video solo se encuentra disponible en inglés.

Práctica

Instrucciones: Encuentra el factor de escala de las siguientes figuras similares.

Instrucciones: Usa cada relación para determinar el factor de escala.

5. $\frac{3}{1}$

6. $\frac{8}{2}$

7. $\frac{2}{8}$

8. $\frac{10}{5}$

9. $\frac{12}{4}$

10. $\frac{16}{2}$

11. $\frac{15}{3}$

12. $\frac{24}{4}$

13. $\frac{4}{2}$

14. $\frac{6}{2}$

15. $\frac{3}{9}$

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