Medidas Desconocidas en Figuras Similares

En esta sección aprenderás a usar las proporciones para encontrar medidas desconocidas en figuras similares y luego aplicarlo a la medición indirecta.

En el terreno detrás del museo, la Sra. Gilson le mostró a los estudiando un replica de una escultura conocida como "El Ángel del Norte". Los alumnos salieron del museo para ver mejor la estructura.

"Es enorme", le dijo Carmen a Henry.

"Sep, Me pregunto qué tal alta será", susurró.

"Eso se puede calcular fácilmente con la ayuda de la matemática", dijo la Sra. Gilson.

"¿Cómo puedo hacer eso?", Dijo Henry mientras sonreía con cierto aire de superioridad.

"¿Cuánto mides?"

"Cinco pies", respondió Henry.

"Bien y al parecer tu sombra mide la mitad de lo que mides tu. ¿Se te ocurre como calcular la altura de escultura ahora?"

Henry miró a Carmen y luego a la Sra. Gilson.

"Tengo una idea", dijo sonriendo.

¿Sabes lo que se le puede haber ocurrido a Henry? Si prestas atención a esta Sección, sabrás como calcular la altura de la estatua. Volveremos a revisar este problema al final de la sección.

Orientación

Podemos usar un factor de escala para ayudarnos a determinar las medidas desconocidas. No se usa el factor de escala por sí solo, debemos aplicarlo a la proporción. Si sabemos el largo de un lado de una figura, podemos usar el factor de escala para encontrar la medida del lado correspondiente en la figura similar. Veamos cómo funciona.

El lado de un triángulo $ABC$ corresponde al lado $x$ del un triángulo más pequeño $XYZ$ . El lado $x$ mide 4 metros y el factor de escala es 6 ¿Cuánto mide el lado $a$ ?

Los dos lados, $a$ y $x$ , son correspondientes en un triángulo pequeño y uno grande. Si conocemos el largo de uno y el factor de escala, podemos encontrar la medida del otro. El lado $x$ mide 4 metros y el factor de escala nos dice que el lado $a$ será seis veces más largo. Escribamos esto y resolvamos.

$\text{side} \ x \times \text{factor de escala } &= \text{side} \ a\\\4 \times 6 &= \text{side} \ a\\\24 \ m &= \text{side} \ a$

Un lado debe medir 24 metros.

Podemos verificar este resultado con la relación que compara la medida de los dos lados. Si el factor de escala es 6, entonces nuestra respuesta es correcta.

$\frac{a}{x} = \frac{24}{4} = 6$

Ahora sabemos que nuestra respuesta esta correcta.

Usa el factor de escala de las siguientes figuras similares para encontrar la medida de $KJ$ .

Lo primero que podemos hacer es escribir una proporción. Recuerda que una proporción son dos relaciones iguales. Podemos escribir y comparar los lados correspondientes.

Esta es nuestra proporción

$\frac{KJ}{5} = \frac{6}{4}$

Nuestra proporción está escrita de manera que los lados correspondientes formen dos de las relaciones de la proporción. Podemos decir que $KJ$ es la incógnita del problema.

¿Recuerdas como resolver proporciones?

No es clara la relación entre cinco y cuatro, así que necesitamos usar productos cruzados.

$KJ \times 4 &= 4KJ\\\5 \times 6 &= 30\\\4KJ &= 30$

Ahora podemos resolver la ecuación para $KJ$ al dividir ambos lados de la ecuación por 4.

$30 \div 4 &= 7.5\\\KJ &= 7.5$

La medida de $KJ$ es 7,5.

En algunos casos, se puede calcular el lado faltante con solo mirar los valores dados. En el ejemplo anterior no se podía calcular con solo mirar, ya que la relación entre 5 y 4 era algo confusa. Lo contrario sucede con este ejemplo. Siempre debes mirar el diagrama de las figuras primero e intentar determinar el valor del lado faltante sin medir.

Mira estos dos rectángulos. Primero, ve si puede adivinar la relación entre las dos figuras. Para hacer esto debes comparar cada parte de las dos figuras.

Necesitamos descifrar la medida del lado $GH$ del segundo rectángulo.

Las medidas del segundo triángulo son un medio más grande que las medidas del primero. Además, los lados opuestos de un rectángulo son congruentes. Por lo tanto el lado faltante mide 4.

¡Trabajar de esta manera puede ahorrarte tiempo!

Te sorprendería saber cuan a menudo usamos figuras similares relacionadas por un factor de escala. Mapas, planos de arquitectura y diagramas son solo algunos ejemplos. En la mayoría de los casos, ya se sabe el factor de escala por lo que ya sabemos cuánto agrandar los dibujos para que se vean en su tamaño real. Observa el plano de abajo. Muestra donde van situados los muebles en la sala.

El tamaño de todo en dibujo es menor que su tamaño real, esto se hace con un factor de escala. What is the factor de escala for the floor plan?

Nos dice que una pulgada del dibujo equivale a dos pies en tamaño normal. Por lo tanto, si no sabemos las medidas de los objetos en pulgadas no podremos encontrar las medidas reales en pies. Intentemos.

¿Cuánto pies tiene el sillón grande?

Veamos cuando mide el sillón grande en el plano. Podemos usar una regla para medir las pulgadas. ¿Cuántas pulgadas mide el sillón grande del dibujo? El sillón del plano mide 2 pulgadas. Imagina que se trata del lado de una figura similar. Ahora tenemos que usar un factor de escala para encontrar el largo del lado correspondiente de una figura similar. En este caso el lado correspondiente es el sillón real. Podemos multiplicar para encontrar el factor de escala.

$\text{sofa drawing} \times \text{factor de escala } &= \text{actual sofa size}\\\2 \ pulgadas \times 2 &= 4 \ feet$

El sillón mide cuatro pies.

¿Cuándo mide la chimenea?

Usa una regla para medir el dibujo. Mide 2,5 pulgadas. Podemos multiplicar por el factor de escala para encontrar el tamaño real.

$\text{fireplace drawing} \times \text{factor de escala } &= \text{actual fireplace length}\\\2.5 \ pulgadas \times 2 &= 5 \ feet$

El tamaño real de la chimenea es 5 pies.

Podemos realizar el proceso inverso para reducir un tamaño real.

Ahora práctica con algunos ejemplos.

Ejemplo A

$\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$

Solución: $x = 9$

Ejemplo B

$\frac{3}{6} = \frac{1}{x}$

Solución: $x = 2$

Ejemplo C

$\frac{5}{8} = \frac{1}{x}$

Solución: $1.6$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

"Es enorme", le dijo Carmen a Henry.

"Sep, Me pregunto qué tal alta será", susurró.

"Eso se puede calcular fácilmente con la ayuda de la matemática", dijo la Sra. Gilson.

"¿Cómo puedo hacer eso?", Dijo Henry mientras sonreía con cierto aire de superioridad.

"¿Cuánto mides?"

"Cinco pies", respondió Henry.

"Bien y al parecer tu sombra mide la mitad de lo que mides tu. ¿Se te ocurre como calcular la altura de escultura ahora?"

Henry miró a Carmen y luego a la Sra. Gilson.

"Tengo una idea", dijo sonriendo.

Pensemos, ¿de qué manera podrían Henry y Carmen descifran la altura de la estatua? Sabemos que Henry mide 5 pies y que su sombra mide la mitad. Podemos escribir una relación para comparar la altura de Henry con su sombra.

$\frac{Henry' s \ height}{Shadow' s \ length} = \frac{5 \ feet}{2.5 \ feet}$

Ahora, descifremos la altura de la estatua. Henry y Carmen comprendieron que primero deben conocer la altura de la sombra de la estatua para poder saber la altura de la estatua en sí. Cuando sepan la altura de la sombra, podrán usar la proporcionalidad y la medición indirecta para descifrar la altura de la estatua.

Usando un zapato un poco más grande que la zapatilla de Henry para medir los pies, calcularon $32 \frac{1}{2}$ pies. No es una medida exacta, pero está bastante cerca.

Escribieron la siguiente proporción.

$\frac{5 \ ft}{2.5 \ ft} = \frac{x}{32.5 \ ft}$

Carmen sacó su cuaderno y multiplicó cruzado para resolver la ecuación.

$5(32.5) &= 2.5x\\\162.5 &= 2.5x\\\x &= 65$

La escultura mide aproximadamente 65 pies.

Luego de terminar su trabajo, Henry y Carmen comprobaron su respuesta con el encargado del museo. La altura real de la estatua es 65,6 pies. ¡Bastante cerca! ¡La medición indirecta fue muy útil!

Vocabulario

Figuras Similares: Figuras con ángulos iguales, pero lados diferentes.

Medición Indirecta: Usar las relaciones entre el largo de lados para encontrar las medidas faltantes.

Factor de Escala: La relación proporcional entre el largo de dos lados.

Proporciones: Dos relaciones iguales.

Práctica Guiada

Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.

Chris está haciendo un dibujo de su escuela y el terreno que la rodea. La cancha de básquetbol mide 75 pies de largo por 40 pies de ancho. Si Chris usa una factor de escala en el que 1 pulgada sea igual a 10 pies, ¿Cuáles serían las dimensiones de la cancha de básquetbol que está dibujando?

Respuesta

Primero que todo, ¿Qué tenemos que encontrar?

Necesitamos saber las dimensiones (ancho y largo) de la versión pequeña de la cancha.

¿Qué información tenemos?

Sabemos el tamaño real de la cancha y el factor de escala usado por Chris. Podemos escribir una ecuación para encontrar las dimensiones del dibujo. Primero tenemos que calcular el largo y luego el ancho

$\text{drawing length} \times \text{factor de escala } &= \text{actual basketball court length}\\\\text{drawing length} \times 10 &= 75 \ feet\\\ \text{drawing length} &= 75 \div 10\\\\text{drawing length} &= 7.5 \ pulgadas$

El largo de la cancha en el dibujo de Chris debería ser 7,5 pulgadas.

Usemos el mismo proceso para encontrar el ancho.

$\text{drawing width} \times \text{factor de escala } &= \text{actual basketball court width}\\\\text{drawing width} \times 10 &= 40 \ feet\\\ \text{drawing width} &= 40 \div 10\\\\text{drawing width} &= 4 \ pulgadas$

¡Genial! Ahora sabemos que la cancha que Chris está dibujando debe medir 4 por 7,5 pulgadas.

Video de Repaso

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This Khan Academy video is about finding an unknown in a proportion. It is a supporting video for this Concept.

*Este video solo se encuentra disponible en inglés.

Práctica

Instrucciones: Resuelve cada problema.

1. El lado $m$ del triángulo $LMN$ corresponde al lado $c$ del triángulo pequeño $BCD$ . El lado $m$ mide 12 cm y el factor de escala es 4 ¿Cuánto mide el lado $c$ ?

2. El lado $q$ del triángulo $PQR$ corresponde al lado $y$ del triángulo pequeño $XYZ$ . El lado $y$ mide 8 pulgadas y el factor de escala es 7 ¿Cuánto mide el lado $q$ ?

Instrucciones: Resuelve para proporción.

3. $\frac{7}{10} = \frac{x}{30}$

4. $\frac{1.5}{3} = \frac{x}{6}$

Instrucciones: Usa el factor de escala para crear una nueva relación.

5. $\frac{1}{3}$ , factor de escala 4

6. $\frac{8}{5}$ , factor de escala 5

7. $\frac{9}{3}$ , factor de escala 3

Instrucciones: Encuentra el factor de escala de las siguientes figuras similares y úsalo para encontrar la medida de $LO$ .

8. Usa el factor de escala de las siguientes figuras similares para encontrar la medida de $JK$ .

Instrucciones: Usa el siguiente mapa y una regla para responder las preguntas.

9. ¿Qué tan lejos de la escuela vive Delia ?

10. ¿Qué tan lejos queda de la plaza la biblioteca ?

11. ¿Qué tan lejos de la Municipalidad vive Dalia?

12. Delia dibujo otro punto que representa la estación de policías. Lo dibujo a 1,5 pulgadas de distancia de la municipalidad. ¿Cuál es la distancia real?

13. How far does Delia live from the park?

14. ¿Qué tan lejos vive de la biblioteca?

15. ¿Qué es lo más lejano que Delia viajará a cualquier punto en su mapa?

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