Clasificación de Transformaciones
En esta sección aprenderás a identificar y describir transformaciones en el plano cartesiano.
Una de las habitaciones del museo exponía el dormitorio de un Rey. Los muebles del dormitorio eran grandes, de madera, viejos y con grandes adornos de oro. Las paredes tienen un patrón de color rojo, azul y dorado.
Jessica piensa que este es el patrón más bello que ha visto.
"Me encanta", le dijo a Sra. Gilman. "Quiero dibujarlo, pero no sé cómo".
"Bueno podrías dividirlo en un plano cartesiano, ya que el patrón se repite, y aplicar lo que aprendimos sobre transformaciones para dibujarlo"
"¿Cómo empiezo?" Preguntó Jessica.
"Primero dibuja el plano y usa las siguientes coordenadas para una de los diamantes. Ve si puedes dibujarlo a partir de esos valores."
La Sra. Gilman escribió los siguientes valores en el cuaderno de Jessica.
Jessica comenzó a dibujar. Pero luego se detuvo, no podía seguir.
Aquí es donde debes intervenir. Esta Sección te enseñará todo lo que necesitas saber para dibujar transformaciones. Presta atención y podrás ayudar a Jessica.
Orientación
Anteriormente trabajamos en identificar y realizar diferente transformaciones. Recuerda, una transformación implica mover una figura de alguna manera sin alterar la forma y tamaño de la misma. Esta Sección te enseñara a identificar y realizar transformaciones en el plano cartesiano.
El
plano cartesiano
es una representación de un espacio bidimensional. Tiene un eje horizontal llamado eje
, y un eje vertical llamado eje
.
Podemos graficar y mover figuras geométricas en el plano cartesiano.
¿Recuerdas los tres tipos de transformación?
La primera es una traslación .Una traslación mueve un figura hacia arriba, abajo, la derecha, la izquierda o en diagonal sin alterar la figura.
La segunda es la reflexión Una reflexión crea una imagen refleja de la figura sobre una línea de simetría La línea de simetría puede ser vertical u horizontal.
La tercera es la rotación Una rotación mueve una figura en un círculo a favor de las agujas del reloj o en contra.
Ahora, veamos cómo realizar cada tipo de transformación en el plano cartesiano.
Como mencionamos, podemos realizar traslaciones en el plano Esto implica que las coordenadas de los vértices cambiaran Veamos el siguiente ejemplo.
Ahora realicemos una traslación de la figura.
Podemos mover el triángulo 3 posiciones hacia abajo. Todos los vértices del triángulo bajan 3 valores en el eje
Esto quiere decir que los pares ordenados de los nuevos vértices cambian. Específicamente, la coordenada
de cada par disminuye en 3.
Veamos cómo funciona.
Podemos notar cómo cambian las coordenadas de
.
Compara los puntos superiores. El valor de original
es 2, luego de moverlo cambia a -1. La coordenada
disminuye en 3. Ahora compara las puntas izquierdas de cada triángulo. El valor de original
es -2, luego de moverlo cambia a -5. Nuevamente, la coordenada
disminuye en 3. En el último punto, el valor original de
es -2, luego de moverlo cambia a -5. Nuevamente, la coordenada
disminuye en 3. En el último punto, el valor original de
es -6, luego de moverlo cambia a -9. En cada punto, la coordenada
disminuye en 3 mientras que las coordenadas
se mantienen igual.
Esto significa que movimos el triángulo cuatro lugares hacia abajo.
Podemos trasladar las figuras de otras maneras también. Podemos mover las figuras hacia la derecha o la izquierda en el plano cartesiano al cambiar sus valores de
También podemos mover las figuras en diagonal al cambiar sus valores de
e
.
Una forma de reconocer traslaciones, es comparar los puntos. Las coordenadas de
e
cambiarán de igual manera.
Para graficar una traslación, debemos realizar el mismo cambio en cada punto. Intentemos graficar una translación.
Mueve la siguiente figura 5 lugares a la derecha.
En esta traslación, debemos mover la figura hacia la derecha. Esto quiere decir que cada coordenada de
cambiara, pero las coordenadas de
se mantendrán igual. Debemos contar cinco lugares a la derecha de cada punto y dibujar un punto nuevo.
Cuando hayamos dibujado los 5 puntos nuevos, podemos conectarlos para formar la figura.
Podemos revisar nuestro trabajo sumándole 5 a cada coordenada de
y verificar que los pares ordenados resultantes sean los mismos que dibujaste. Esto se llama
notación cartesiana.
Cada punto está representado por un par de coordenadas.
Estos son los puntos graficados, por lo que nuestro trabajo está bien hecho.
Usa la noción cartesiana para escribir las coordenadas de cada triángulo desplazado. Los vértices de la figura original estarán escritos.
Ejemplo A
Triángulo
(0, 1)(1, 3)(4, 0) mueve esta figura hacia arriba 4 veces.
Solución: (0, 5)(1, 7)(4, 4)
Ejemplo B
Triángulo
(-3, 2)(1, 6)(2, 1) mueve esta figura hacia abajo 2 veces.
Solución: (-3,0)(1, 4) (2, -1)
Ejemplo C
Triángulo
(-3, 2)(1, 6)(2, 1) mueve esta figura 3 veces a la derecha.
Solución: (0, 2)(4, 6)(5, 1)
Revisemos el problema introductorio nuevamente. Léelo nuevamente.
Una de las habitaciones del museo exponía el dormitorio de un Rey. Los muebles del dormitorio eran grandes, de madera, viejos y con grandes adornos de oro. Las paredes tienen un patrón de color rojo, azul y dorado.
Jessica piensa que este es el patrón más bello que ha visto.
"Me encanta", le dijo a Sra. Gilman. "Quiero dibujarlo, pero no sé cómo".
"Bueno podrías dividirlo en un plano cartesiano, ya que el patrón se repite, y aplicar lo que aprendimos sobre transformaciones para dibujarlo"
"¿Cómo empiezo?" Preguntó Jessica.
"Primero dibuja el plano y usa las siguientes coordenadas para una de los diamantes. Ve si puedes dibujarlo a partir de esos valores."
La Sra. Gilman escribió los siguientes valores en el cuaderno de Jessica.
Jessica comenzó a dibujar. Pero luego se detuvo, no podía seguir.
Ahora podemos dibujar este diamante en un plano cartesiano. Pertenece al primer Cuadrante. Luego hay que dibujar el mismo diamante en el resto de los cuadrantes. Podemos dibujarlo, pero también podemos usar la matemática para descifrar las coordenadas para cada punta de los otros diamantes primero.
El diamante del segundo cuadrante se refleja sobre el eje
Por lo tanto, las coordenadas de
cambiarán a valores negativos para los cuatro vértices del diamante. Estas son las coordenadas.
Luego, podemos reflejar el diamante original del primer cuadrante sobre el eje
en el cuatro cuadrante. En este cuadrante las coordenadas de y serán negativas.
serán negativas.
Por último, podemos reflejar el diamante sobre el eje
en el tercer cuadrante. En este cuadrante las coordenadas de
y
serán negativas.
¿Notas algún patrón en las coordenadas? Tomate un minuto y recrea este patrón de diamantes en un plano cartesiano. De esa manera entenderás mejor cómo crear patrones como el este.
Si quisieras incluir la
dorada que cruza que patrón original, ¿podrías hacerlo? Comenta con un compañero y luego intenta incluir a la
en el plano cartesiano.
Vocabulario
- Transformación
- Una figura que se mueve en el plano cartesiano.
- Plano Cartesiano .
-
Una representación bidimensional de un plano. Usa los ejes
e
.
-
Eje
- La recta horizontal en un plano cartesiano.
-
Eje
- La recta vertical en un plano cartesiano.
Práctica Guiada
Intenta realizar este ejercicio por tu cuenta.
Mueve la siguiente figura 4 veces a la izquierda y 2 veces hacia arriba.
Respuesta
Esta vez debemos realizar dos movimientos, hacia la izquierda y hacia arriba. Eso implica cambiar las coordenadas de
e
en los pares ordenados. Para graficar cada punto, primero debemos contar 4 posiciones a la izquierda y luego 2 hacia arriba. Marca el punto nuevo y
haz lo mismo para los otros dos puntos. Luego conecta los puntos nuevos.
Nuevamente, para verificar que la traslación es correcta, cambia las coordenadas de
e
en los pares ordenados y luego compáralos con los puntos graficados. Debemos restar 4 de cada coordenada
y sumar 2 a cada coordenada
Veamos qué pasa.
Estos son los puntos graficados, por lo que nuestro trabajo está bien hecho.
Video de Repaso
Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)
This is a James Sousa video that reviews the coordinate plane.
*Este video solo se encuentra disponible en inglés.Práctica
Instrucciones: Identifica las transformaciones de abajo como traslaciones, reflexiones o rotaciones.
9. Verdadero o Falso. Esta figura se trasladó 5 posiciones a la derecha.
Instrucciones : Traslada cada figura hacia la derecha 6 veces y 1 hacia arriba.
10. Triángulo
(-1, 2)(1, 6)(2, 1)
11. Triángulo
(-3, 2)(1, 6)(2, 1)
12. Triángulo
(0, 2)(1, 6)(2, 1)
13. Triángulo
(4, -2)(1, 6)(2, 1)
14. Triángulo
(5, 3)(1, 6)(2, 1)
15. Triángulo
(4, 4)(1, 6)(2, 1)
