Propiedades de Números Racionales versus Números Irracionales

Aquí aprenderás a reconocer números irracionales y el subconjunto de números reales.

¿Has embaldosado alguna vez una habitación? La hermana de Miguel, Kelly, trabaja en un proyecto como este. Presta atención.

Kelly quiere usar baldosas para terminar el piso de su habitación. La habitación es un cuadrado y el área del piso es de 324 pies cuadrados. Quiere poner baldosas de 8 pulgadas en los bordes del piso.

¿Cuál es la longitud de un lado de la habitación? ¿Cuántas baldosas cabrán en un lado?

Esta Sección te enseñará a resolver problemas como este.

Orientación

Anteriormente trabajamos buscando raíces cuadradas. Cuando buscaste raíces cuadradas usando una calculadora, probablemente notaste que cada vez que encontrabas la raíz cuadrada de un número que no era un cuadrado perfecto este tenía muchos decimales.

Esto significa que la raíz cuadrada de ese número no era un número entero. Este era un número entero y algunas fracciones.

El aspecto clave para notar a cerca de cada número que vimos en la última sección es que cada uno de ellos tenían muchos decimales. Cuando buscamos la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto este lleva a otro tipo de número.

$\sqrt{16} = 4$

Dieciséis es un cuadrado perfecto. Por lo que la raíz cuadrada es un número entero.

$\sqrt{50}$

Usamos una calculadora y esta es nuestra respuesta: 7.071067812...

Si. Hay muchos dígitos después de la coma decimal y puede ver que los puntos después del último dígito nos dice que los números continúan. Podemos redondear a la décima más cercana para ver que 7,1 es una aproximación posible para esta raíz cuadrada.

Esta raíz cuadrada es un decimal que no termina. Números como este se conocen como números irracionales . Siempre que tengas un decimal que no se repite y no termina; es un miembro del grupo de números conocidos como números irracionales.

A menudo los puntos al final del decimal indicarán que trabajas con un número irracional.

No todos los números son números irracionales , algunos son números racionales . Has aprendido sobre los números racionales en otra sección de este libro. Repasemos los que define a un número racional.

Los números racionales son números que puede ser escritos en la forma de $\frac{a}{b}$ . Pueden ser números enteros, fracciones, números negativos, decimales y decimales repetitivos.

Aquí hay algunos números racionales.

$.56 \qquad \frac{1}{2} \qquad .6\bar{6} \qquad 33\frac{1}{3} \qquad 9 \qquad -23$

Los números irracionales completan el grupo de números que no son números racionales. Esto significa que cualquier decimal que no termina es irracional. La raíz cuadrada de cualquier número que no sea un cuadrado perfecto es irracional.

Hay un número irracional famoso. ¿Sabes cuál es?

El número irracional más famoso es el número conocido como pi o $\pi$ . Usamos el número 3,14 para representar pi, pero este es realmente un número irracional sin un punto final. Es infinito. Pi es un cociente especial que aprenderás cuando trabajemos con círculos muy pronto.

Los números racionales e irracionales forman el conjunto de los Números Reales. Todos los números son considerados como números reales, ya sea si son racionales o irracionales. Por lo que, puedes ver un número, saber que es un número real y luego clasificarlo como racional o irracional.

Identifica si los siguientes números son racionales o irracionales.

Ejemplo A

4.567....

Solución: Número irracional

Ejemplo B

$\sqrt{25}$

Solución: Número racional

Ejemplo C

$\sqrt{144}$

Solución: Número racional

Aquí está el problema original.

Kelly quiere usar baldosas para terminar el piso de su habitación. La habitación es cuadrada y el área del piso es de 324 pies cuadrados. Quiere poner baldosas de 8 pulgadas en los bordes del piso. ¿Cuál es la longitud de un lado de la habitación? ¿Cuántas baldosas cabrán en un lado?

Tenemos que mirar la información proporcionada.

Sabemos que el área de la habitación es un cuadrado y mide 324 pies.

Sabemos que usará baldosas de 8 pulgadas en el borde de la habitación y que quiere saber cuántas necesitará.

Primero, necesitamos saber cuánto mide un lado de la habitación.

Esta habitación es cuadrada, por lo que podemos encontrar la raíz cuadrada del área de la habitación y eso nos dirá la longitud de uno de los lados.

$\sqrt{324} = 18 \ feet$

Cada lado mide 18 pies.

Ahora podemos determinar la cantidad de baldosas.

Las baldosas se miden en pulgadas. La longitud de la habitación está en pies, por lo que primero tenemos que convertir de pies a pulgadas. Hay 12 pulgadas en un pie, por lo tanto multiplicamos $18 \times 12$ .

$18 \times 12 = 216''$

Ahora cada baldosa mide 8 pulgadas por lo que dividimos 216 por 8.

$216 \div 8 = 27 \ tiles$

Necesitará 27 baldosas por cada lado de la habitación.

Vocabulario

Raíz cuadrada: Un número de unidades que hacen un cuadrado perfecto. El número al cuadrado es la raíz cuadrada del producto.

Cuadrado Perfecto: Un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

Interpolación Tabular: Usar una tabla para encontrar raíces cuadradas aproximadas.

Números Irracionales: El conjunto de números cuyos decimales no terminan, continúan indefinidamente. Una raíz cuadrada que no es un cuadrado perfecto es irracional.

Números Racionales: El conjunto de números que pueden ser escritos en la forma $a/b$ .

Números Reales: El conjunto de números que incluyen todos los números racionales o irracionales.

Práctica Guiada

Ahora intentarás algunos ejercicios por ti mismo.

¿Es este valor racional o irracional? ¿Por qué?

Video de repaso

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on the set of real numbers.

Práctica

Instrucciones: Identifica si los siguientes números son racionales o irracionales.

1. .345....

2. 2

3. -9

4. -122

5. 3.456....

6. $\sqrt{25}$

7. $\sqrt{16}$

8. $\sqrt{12}$

9. $\sqrt{38}$

10. -4.56

11. $\pi$

12. $- \frac{4}{5}$

13. 9.8712....

14. -19

15. 2,345

Prev Next