Teorema de Pitágoras y su Opuesto

Aquí aprenderás a reconocer y usar el Teorema de Pitágoras.

“¡Deberías haberlo visto!”, dijo Miguel durante el desayuno. “¡Al final de novena, dos fuera y un hombre en la segunda, entonces el hombre en la segunda corre hacia la base del bateador y el segundo jugador de base atrapa la pelota y la lanza a la base del bateador!"

“¿Y qué pasó?”, preguntó Carmen, la hermana de Miguel.

“¡El jugador quedó fuera y ganamos el juego!", sonrió Miguel.

La familia completa siguió comiendo por unos minutos.

“¡Debió ser un gran momento hijo!", dijo el papá de Miguel mientras tomaba café.

“¡Y una gran distancia para lanzar la pelota!", comentó Carmen.

Miguel empezó a pensar sobre lo que dijo su hermana. Fue una gran distancia para lanzar la pelota. Los jugadores de beisbol hacen esto todo el tiempo, pero ese lanzamiento fue tan preciso. ¡Fue directo al receptor! Miguel comenzó a preguntarse por la distancia. ¿Cuán lejos lanzó la pelota el segundo jugador de base?

Mientras Miguel piensa en esto, puedes aprender a encontrar la respuesta. Triángulos, cuadrados y el Teorema de Pitágoras son parte de esta solución. Pon atención porque volveremos a este problema al final de esta Sección.

Orientación

Anteriormente trabajamos con raíces cuadradas. Nota que la palabra clave en el mundo de la raíz cuadrada es "cuadrado". Esta lección te enseñará un teorema llamado “Teorema de Pitágoras”. Este es un teorema muy útil sobre triángulos rectos. Pero primero veamos cómo se conecta el Teorema de Pitágoras con nuestro trabajo con cuadrados.

Aquí hay un cuadrado. Nota que este cuadrado ha sido dividido a la mitad por una diagonal. Cuando dividimos un cuadrado a la mitad, podemos ver que se forman dos triángulos rectos.

Piensa en lo que hicimos con las raíces cuadradas. Sabemos que podemos sacar el área de un cuadrado y encontrar la raíz cuadrada de este y eso nos dará la longitud de uno de los lados.

Bueno, podemos usar esta información para encontrar la longitud de la diagonal. La longitud de la diagonal tiene una relación con la distancia de los lados de un triángulo recto.

Antes de empezar, veamos las partes de un triángulo recto.

Puedes ver que los lados del triángulo recto están marcadas $a, b$ y $c$ . Los lados $a$ y $b$ se llaman catetos del triángulo.

El lado $c$ se llama hipotenusa de un triángulo recto y es el lado más largo del triángulo.

Ahora veamos cómo el Teorema de Pitágoras conecta todas estas partes.

¿Qué es el Teorema de Pitágoras?

El Teorema de Pitágoras es un teorema o regla para trabajar con un principio matemático. Establece que si tomamos el cuadrado de uno de los catetos de un triángulo recto y lo sumamos con el cuadrado del otro cateto del triángulo tendremos el cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

$a^2 + b^2=c^2$

Si lo piensas bien, puedes ver que si elevamos las distancias de los lados de un cuadrado, eso nos dará las unidades totales o área del cuadrado. En la misma instancia, si elevamos la distancia de los lados de un triángulo recto y sumamos los productos, tendremos la distancia de la hipotenusa al cuadrado.

Cuando tenemos un triángulo recto, usaremos el Teorema de Pitágoras para ayudarnos a encontrar la distancia de los lados de un triángulo.

El Teorema de Pitágoras tiene más sentido cuando se pone en práctica.

Aquí tenemos un triángulo recto. Los catetos han sido marcados con un 3 y un 4. La hipotenusa está marcada con un $c$ .

Queremos encontrar la distancia de la hipotenusa. Podemos hacer esto usando la fórmula del Teorema de Pitágoras

$a^2+b^2=c^2$

Sustituyamos los valores que sabemos en la fórmula.

$3^2+4^2=c^2$

Ahora podemos encontrar los productos de los lados y sumarlos.

$9 + 16 &= c^2\\\25 &= c^2$

Puedes encontrar $c$ usando lo que has aprendido sobre resolver ecuaciones. . Tenemos que aislar $c$ para encontrar su valor. Ahora mismo, $c$ está elevado al cuadrado. La inversa de elevar es encontrar la raíz cuadrada. Por lo tanto, si sacamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación encontraremos el valor de $c$ .

$\sqrt{25} &= \bcancel{\sqrt{c^2}}\\\ 5&=c$

La longitud del lado $c$ es 5.

Este triángulo es llamado un triángulo 3, 4, 5 y es uno de los elementos que forman parte del Teorema de Pitágoras.

Podemos comprobar nuestro trabajo sustituyendo estos valores en la fórmula para ver si ambos lados de la ecuación son iguales.

$3^2+4^2&=5^2 \\\9 + 16 &= 25\\\25 &= 25$

Nuestro trabajo está correcto.

Siempre que sepas las distancias de los catetos de un triángulo recto, puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

Encuentra la longitud de la hipotenusa en este triángulo.

Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de $c$ .

$6^2+8^2&=c^2\\\36 + 64 &= c^2\\\100 &= c^2\\\\sqrt{100}&=\bcancel{\sqrt{c^2}}\\\10&=c$

El valor de la hipotenusa es 10.

¿Notas algo interesante sobre las raíces cuadradas de las dos últimas hipotenusas?

Si te das cuenta, eran cuadrados perfectos. A veces, tendremos un cuadrado perfecto como hipotenusa, pero otras veces no. Cuando esto sucede, tendrás que encontrar una aproximación decimal de la raíz cuadrada.

Veamos cómo funciona esto.

¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo?

Comienza introduciendo los valores conocidos en la fórmula del Teorema de Pitágoras.

$7^2+10^2&=c^2 \\\49 + 100 &= c^2\\\149 &= c^2\\\\sqrt{149}&=\bcancel{\sqrt{c^2}}$

Hasta ese momento, todo ha sido perfecto. Pero ahora tenemos que encontrar la raíz cuadrada de 149. No es un cuadrado perfecto. Puedes usar tu calculadora para encontrar la raíz cuadrada de este número.

$\sqrt{149} = 12.20655...$

Podemos redondear a 12,2 como nuestra respuesta aproximada para $c$ .

¡Las respuestas aproximadas son un poco complicadas! Asegúrate de seleccionar la que tenga más sentido. Dado que el número después del dos es un cero en esta respuesta, tenía sentido dejarla como 12,2. A veces, redondear tendrá más sentido. ¡Tienes que pensar!

Encuentra la longitud de la hipotenusa de cada triángulo.

Ejemplo A

Un triángulo recto con catetos de 9 y 12.

Solución: $c = 15$

Ejemplo B

Un triángulo recto con catetos de 12 y 16.

Solución: $c = 20$

Ejemplo C

Un triángulo recto con catetos de 3 y 6.

Solución: $c = 6.7$

Aquí está el problema original.

“¿Y qué pasó?”, preguntó Carmen, la hermana de Miguel.

“¡El jugador quedó fuera y ganamos el juego!", sonrió Miguel.

La familia completa siguió comiendo por unos minutos.

“¡Debió ser un gran momento hijo!", dijo el papá de Miguel mientras tomaba café.

“¡Y una gran distancia para lanzar la pelota!", comentó Carmen.

Para resolver este problema, tenemos que pensar en la distancia entre la segunda base y la base del bateador. Mira este diagrama.

Ahora puedes ver que la distancia entre la segunda base y la base del bateador divide este diamante cuadrado en dos triángulos. Los catetos del triángulo son la distancia entre la base del bateador y la $1^{st}$ y entre la $1^{st}$ y la segunda.

Sabemos que la distancia de cada cateto es de 90 pies. Podemos usar esta información y el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre la $2^{nd}$ base y la base del bateador. Esta es la hipotenusa del triángulo.

$a^2+b^2&=c^2 \\\90^2 + 90^2 &= c^2 \\\8100 + 8100 &= c^2 \\\16,200 &= c^2 \\\\sqrt{16200} &= \bcancel{\sqrt{c^2}}\\\127.279 \ feet &= c$

Podemos decir que la distancia es aproximadamente 127,28 o un poco más de $127 \frac{1}{4}$ pies. Esa la distancia en que $2^{nd}$ lanzó la pelota el jugador de base.

Vocabulario

Teorema de Pitágoras: El teorema que establece que el cuadrado del cateto $a$ de un triángulo recto más el cuadrado del otro cateto $b$ del triángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa $c$ del mismo triángulo.

Catetos del Triángulo Recto: Los catetos $a$ y $b$ son los lados más cortos de un triángulo recto.

Hipotenusa: Lado $c$ , el lado más largo de un triángulo recto. Forma la diagonal en un cuadrado también.

Práctica Guiada

Ahora intentarás algunos ejercicios por ti mismo.

Claire quiere colgar un cartel desde la ventana del segundo piso de su casa. Necesita encontrar una escalera que, cuando al apoyarla a la pared de la casa, sea tan larga que alcance la ventana del segundo piso. Si la ventana está a 16 pies de altura y Claire pone la escalera a 12 pies de distancia de la pared, ¿cuán larga debe ser la escalera?

Respuesta

Primero lo primero: tenemos que hacer un dibujo para que entendamos mejor la situación. Claire apoyará una escalera contra la pared de su casa para llegar a la ventana del segundo piso. Esto forma un triángulo, así que dibujaremos algo así.

El lado de la pared mide 16 pies y el lado del suelo mide 12 pies.

Tenemos que encontrar la longitud del lado de la escalera. ¿Es un cateto o la hipotenusa? Es la hipotenusa, así que usaremos el Teorema de Pitágoras para encontrar $c$ . Completemos la información y resolvamos.

$a^2 + b^2 &= c^2\\\12^2 + 16^2 & = c^2\\\144 + 256 &= c^2\\\ 400 & = c^2\\\\sqrt{400} &= \sqrt{c^2}\\\ 20 &= c$

La raíz cuadrada de 400 es 20 porque $20 \times 20$ es igual 400.

Claire necesita una escalera de 20 pies de longitud para alcanzar la ventana del segundo piso.

Video de repaso

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on the Pythagorean Theorem.

Práctica

Instrucciones: Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado $c$ , la hipotenusa. Puedes redondear a la décima más cercana cuando sea necesario.

1. $a = 6, \ b = 8, \ c = ?$

2. $a = 9, \ b = 12, \ c = ?$

3. $a = 12, \ b = 16, \ c = ?$

4. $a = 15, \ b = 20, \ c = ?$

5. $a = 18, \ b = 24, \ c = ?$

6. $a = 24, \ b = 32, \ c = ?$

7. $a = 5, \ b = 7, \ c = ?$

8. $a = 9, \ b = 11, \ c = ?$

9. $a = 10, \ b = 12, \ c = ?$

10. $a = 12, \ b = 8, \ c = ?$

11. $a = 11, \ b = 8, \ c = ?$

12. $a = 9, \ b = 8, \ c = ?$

13. $a = 15, \ b = 7, \ c = ?$

14. $a = 14, \ b = 3, \ c = ?$

15. $a = 12, \ b = 8, \ c = ?$

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