Resolviendo Ecuaciones Usando el Teorema de Pitágoras

Aquí aprenderás a usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de un cateto.

¿Alguna vez has visitado diferentes estadios? Mira este problema.

Miguel visitó un estadio de beisbol en otra ciudad. En este campo de beisbol, la distancia entre el montículo del lanzador y la base del bateador es de 60 pies. La distancia entre la primera base y la base del bateador es de 90 pies. ¿Cuál es la distancia entre el montículo del lanzador y la primera placa?

Estas distancias forman un triángulo recto en un diamante de beisbol. No conoces las dimensiones de uno de los catetos del triángulo.

¿Sabes cómo encontrar la distancia que no conoces?

Esta Sección te mostrará cómo usar el Teorema de Pitágoras para resolver este problema.

Orientación

Anteriormente trabajamos en encontrar la longitud de la hipotenusa usando el Teorema de Pitágoras. ¿Qué tal si conoces la longitud de uno de los catetos y la hipotenusa?

¿Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del cateto restante?

Por supuesto que podemos. Veamos como lo podemos hacer.

Ya has trabajado en este triángulo en la última lección y puede que incluso recuerdes la longitud de los lados. Sin embargo, usémoslo como ejemplo para ver cómo nos puede ayudar el Teorema de Pitágoras.

Primero, completa la fórmula con los valores dados.

$3^2+b^2=5^2$

Aquí sabemos los valores de $a$ y $c$ por lo que podemos completar con esos. $B$ es un misterio por lo que queda con una variable desconocida.

$9 + b^2=25$

Ahora queremos resolver esta ecuación aislando la variable. Para hacer esto, restamos 9 de ambos lados de la ecuación.

$9 - 9 + b^2 &= 25-9\\\b^2&=16$

Ahora sacamos la raíz cuadrada de ambos lados.

$\bcancel{\sqrt{b^2}} & = \sqrt{16}\\\b &=4$

Nuestra respuesta es 4.

A veces no trabajarás con cuadrados perfectos. Cuando esto sucede, necesitarás aproximar la longitud de un cateto de la misma forma en que aproximamos la longitud de la hipotenusa en la Sección anterior.

Primero, toma la longitud de los lados y sustitúyelas en la fórmula.

$4^2+b^2&=12^2\\\16 + b^2&=144$

Luego, resta 16 de ambos lados de la ecuación.

$16 - 16 + b^2&=144 - 16\\\b^2&=128$

Ahora tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

$\bcancel{\sqrt{b^2}} &= \sqrt{128}\\\b &= 11.3$

Esta es nuestra respuesta.

Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de los lados restantes. Puedes redondear a la décima más cercana cuando sea necesario.

Ejemplo A

Un triángulo recto con $a, \ b = 6$ y $c = 13$

Solución: $a = 11.5$

Ejemplo B

Un triángulo recto con $a = 8, \ b,$ y $c = 12$

Solución: $8.9$

Ejemplo C

Un triángulo recto con $a = 6, \ b,$ y $c = 10$

Solución: $b = 8$

Aquí está el problema original.

Estas distancias forman un triángulo recto en un diamante de beisbol. No conoces las dimensiones de uno de los catetos del triángulo.

¿Sabes cómo encontrar la distancia que no conoces?

Primero, escribamos la ecuación usando el Teorema de Pitágoras. Llamaremos al cateto restante, $b$ .

$60^2 + b^2 = 90^2$

Ahora podemos resolver.

$3600 + b^2 = 8100$

$b^2 = 8100 - 3600$

$b^2 = 4500$

$\sqrt{b^2} = \sqrt{4500}$

$b = 67.08 = 67.1$

La distancia es de 67,1 pies.

Vocabulario

Teorema de Pitágoras: El teorema que establece que el cuadrado del cateto $a$ de un triángulo recto más el cuadrado del otro cateto $b$ del triángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa $c$ del mismo triángulo.

Catetos del Triángulo Recto: Los catetos $a$ y $b$ son los lados más cortos de un triángulo recto.

Hipotenusa: Lado $c$ , el lado más largo de un triángulo recto. Forma la diagonal en un cuadrado también.

Práctica Guiada

Ahora intentarás algunos ejercicios por ti mismo.

Encuentra la longitud del cateto b.

$a = 12, b = ?, c = 13$

Respuesta

Primero usa la fórmula del Teorema de Pitágoras para encontrar b.

$a^2 + b^2 =c^2$

$12^2 + b^2 = 13^2$

$144 + b^2 = 169$

$b^2 = 25$

$b = 5$

Esta es nuestra respuesta.

Video de repaso

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on the Pythagorean Theorem.

Práctica

Instrucciones: Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del cateto restante. Puedes redondear a la décima más cercana cuando sea necesario.

1. $a = 6, \ b = ?, \ c = 12$

2. $a = 9, \ b = ?, \ c = 15$

3. $a = 4, \ b = ?, \ c = 5$

4. $a = 9, \ b = ?, \ c = 18$

5. $a = 15, \ b = ?, \ c = 25$

6. $a = ?, \ b = 10, \ c = 12$

7. $a = ?, \ b = 11, \ c = 14$

8. $a = ?, \ b = 13, \ c = 15$

Instrucciones: Usa la resolución de problemas para escribir una ecuación usando el Teorema de Pitágoras y resolver cada problema.

Joanna pone una tabla de madera para hacer una rampa y así poder pasar una carretilla sobre una pared baja en su jardín. La pared mide 1,5 metros de alto y la tabla de madera toca el piso a 2 metros de la pared. ¿De qué porte es la tabla?

9. Escribe la ecuación.

10. Encuentra la solución.

Chris recorrió en su bicicleta 4 millas hacia el oeste y luego 3 millas hacia el sur. ¿Cuál es la distancia más corta que puede recorrer para volver al punto inicial?

11. Escribe la ecuación.

12. Resuelve el problema.

Naomi corta parche triangulares para hacer un edredón. Cada uno tiene un lado diagonal de 14,5 pulgadas y un lado corto de 5,5 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del tercer lado del parche?

13. Escribe la ecuación.

14. Resuelve el problema.

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