Área de Formas Compuestas que Involucran Triángulos

Aquí aprenderás a encontrar áreas de figuras compuestas que involucran triángulos.

¿Has tenido un equipo favorito?

A Miguel le encanta ver los partidos de los Wildcats. Ama cuando ganan, pero es tan fanático del beisbol que no lo importa cuando pierden. Miguel se alegra mucho cuando los jugadores corren hacia la base del bateador.

Los vio deslizarse y cruzarlo.

Piensa que la base del bateador es una figura interesante.

Decide realizar una pequeña investigación sobre el diseño de la base del bateador. Aquí está lo que encuentra.

La base del bateador es un pentágono que puede ser dividido. La base del bateador mide 17 pulgadas de ancho. Los lados de esta son de 8,5 pulgadas. La distancia desde la punta hasta la base es de 17 pulgadas.

Miguel cree que esta información es muy interesante. Se pregunta si puede determinar el área de la figura. Está compuesta de un rectángulo y de un triángulo.

Mientras Miguel piensa en esto, trabajarás en este problema también. Ya sabes cómo encontrar el área de un rectángulo, pero ¿qué hay de un triángulo?

Esta Sección te enseñará a encontrar el área de un triángulo y sumarlo a la de un rectángulo. Cuando termines, puede trabajar en determinar la base del bateador.

Orientación

Anteriormente trabajamos en encontrar el área de un triángulo. Puedes usar esta información para determinar el área de las figuras compuestas de más de una forma. Recuerda que podemos dividir paralelogramos en dos triángulos. Si conocemos el área de los triángulos, podemos sumar sus áreas para encontrar el área del paralelogramo. Podemos hacer esto con todas las figuras. Si podemos dividir la figura en triángulos, podemos encontrar el área de cada triángulo y sumar las áreas juntas.

Además, hemos visto que podemos aplicar la fórmula para encontrar el área de los triángulos a diferentes tipos de situaciones. A veces tenemos que encontrar el área, pero otras veces necesitamos encontrar la altura o la base. Podemos usar esta información dada sobre una figura más grande siempre que corresponda a la altura, base o el área de una de los triángulos contenidos dentro de esta. Intentemos hacer uno para tener una mejor idea sobre cómo funciona.

Encuentra el área de la siguiente figura.

Tenemos que encontrar el área de la figura completa. Para hacer esto, podemos dividirla en formas cuyas fórmulas de áreas sepamos. Podemos ver que ya se ha dibujado un triángulo. ¿Podemos dibujar otro para dividir la figura nuevamente?

Ahora que hemos dividido la figura en un rectángulo y dos triángulos. Si podemos encontrar el área de cada uno de estas formas, podemos sumarlas para encontrar el área de la figura completa.

Intentemos con uno.

Primero, calculemos el área del rectángulo en el centro. Sabemos la fórmula de áreas de los rectángulo es $A = lw$ . ¿Sabemos la longitud y el ancho del rectángulo? El ancho es representado por la línea punteada. Es 5 pulgadas. La longitud del rectángulo es el mismo que el borde superior de la figura: 9 pulgadas. Pongamos estos números en la fórmula y encuentra el área.

$A & = lw\\\A & = 9(5)\\\A & = 45 \ in.^2$

Ahora encontremos el área de uno de los triángulos. Sabemos que la altura es de 5 pulgadas. ¿Cuál es la base? Mira la figura atentamente. Sabemos que el borde superior mide 22 pulgadas. También sabemos que la longitud de un rectángulo en el medio es de 9 pulgadas. Tenemos que restar para no incluirla como parte de las bases de los triángulos.

Eso significa que $22 - 9 = 13$ pulgadas restantes del borde inferior. Si dividimos equitativamente, encontramos que cada triángulo tiene una base de 6,5 pulgadas.

Ahora tenemos la altura y la base de cada triángulo (tienen la misma altura y base), por lo que podemos calcular el área.

$A & = \frac{1}{2} bh\\\A & = \frac{1}{2} 6.5(5)\\\A & = \frac{1}{2} (32.5)\\\A & = 16.25 \ in.^2$

¡Genial! Ahora tenemos el área de cada forma dentro de la figura. Todo lo que tenemos que hacer es sumarlas para encontrar el área de la figura completa.

$& \text{triangle} \ 1 \qquad \qquad \quad \text{rectangle} \ \qquad \qquad \ \text{triangle}\ 2 \qquad \quad \qquad \text{whole figure}\\\& 16.25 \ in.^2 \qquad + \qquad 45 \ in.^2 \qquad + \qquad 16.25 \ in.^2 \qquad = \qquad 77.5 \ in.^2$

El área de la figura completa es de 77,5 pulgadas cuadradas.

Ahora intentarás algunos ejercicios por ti mismo.

Ejemplo A

Una figura está hecha de tres triángulos. Cada triángulo tiene una base de 6 pulgadas y una altura de 4 pulgadas. ¿Cuál es el área combinada de los tres triángulos?

Solución: $36 \ in^2$

Ejemplo B

Una figura está compuesta de dos triángulos y un rectángulo. Cada triángulo tiene una base de 5 pulgadas y una altura de 3 pulgadas. El rectángulo tiene una longitud de 4 pulgadas y un ancho de 3 pulgadas. ¿Cuál es el área total de la figura?

Solución: $27 \ in^2$

Ejemplo C

Una figura está compuesta de un triángulo y un cuadrado. El cuadrado y el triángulo tienen una base que mide 8 pies. La altura del triángulo es de 7 pies. ¿Cuál es el área total de la figura?

Solución: $92 \ ft^2$

Aquí está el problema original.

Los vio deslizarse y cruzarlo.

Piensa que la base del bateador es una figura interesante.

Decide realizar una pequeña investigación sobre el diseño de la base del bateador. Aquí está lo que encontró.

Miguel cree que esta información es muy interesante. Se pregunta si puede descubrir el área de la figura. Está compuesta de un rectángulo y de un triángulo.

Aquí hay un dibujo de la base del bateador con sus dimensiones.

Ahora, podemos empezar a encontrar el área del rectángulo.

La longitud del rectángulo es de 17 pulgadas, el ancho es de 8,5 pulgadas.

$A& = 17(8.5)\\\A&=144.5$

El área del rectángulo es de 144,5 pulgadas cuadradas.

Ahora veamos el triángulo. Sabemos que la base del triángulo mide 17 pulgadas. La altura de la base completa es de 17 pulgadas, pero esto incluye el ancho del rectángulo también. Tenemos que restar esto del total.

17 – 8.5 = 8.5 pulgadas

Usemos nuestra fórmula para encontrar el área del triángulo.

$A & = \frac{1}{2} bh \\\A & = \frac{1}{2}(17)(8.5) \\\A & = \frac{1}{2}(144.5) \\\A & = 72.25$

Ahora sumamos las dos áreas.

$144.5 + 72.25 = 216.75 \ square \ inches$

Esta es la medida aproximada de la base del bateador.

Puedes encontrar más información sobre la base del bateador en http://wiki.answers.com/Q/What_are_the_dimensions_of_home_plate

Vocabulario

Triángulo: Una figura con tres lados y tres ángulos.

Área: El espacio contenido dentro de una figura bidimensional.

Base: La parte de abajo de un triángulo.

Altura: La longitud de un triángulo desde la base hasta el vértice.

Práctica Guiada

Ahora intentarás algunos ejercicios por ti mismo.

¿Cuál es el área de la siguiente figura?

Respuesta

Esta vez tenemos que dividir la figura en pequeñas formas. ¿Puedes dibujar líneas para hacer triángulos dentro de la figura?

Ahora tenemos dos triángulos y un cuadrado. Veamos si tenemos todas las medidas que necesitamos para usar las fórmulas de áreas para estas dos formas.

Sabemos que todos los lados de un cuadrado son congruentes, por lo que podemos determinar las medidas de los otros lados, los cuales deben medir 2 pulgadas. Esto nos da la base de cada triángulo. ¿Sabemos su altura? Cada lado mide 5 pulgadas. Tenemos toda la información necesaria para encontrar el área de los triángulos y del cuadrado. Calculemos el área de las formas más pequeñas.

$& \text{Square} && \text{Triangle} \ 1 && \text{Triangle} \ 2\\\& A = s^2 && A = \frac{1}{2} bh && A = \frac{1}{2} bh\\\& A = 2^2 && A = \frac{1}{2} 2(5) && A = \frac{1}{2} 2(5)\\\& A = 4 \ in.^2 && A = \frac{1}{2} (10) && A = \frac{1}{2} (10)\\\& && A = 5 \ in.^2 && A = 5 \ in.^2$

¡Genial! Hemos encontrado el área de cada forma. Sumemos estas áreas para encontrar el área de la figura completa.

$& \text{square} \qquad \qquad \quad \text{triangle} \ 1 \qquad \qquad \ \text{triangle} \ 2 \qquad \quad \qquad \text{whole figure}\\\& 4 \ in.^2 \qquad + \qquad \quad 5 \ in.^2 \qquad \ + \qquad \quad 5 \ in.^2 \qquad \ = \qquad \quad 14 \ in.^2$

El área de la figura es de 14 pulgadas cuadradas.

Video de repaso

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video on finding the area of a triangle. It is a supporting video for this Concept.

Práctica

Instrucciones : Encuentra el área de cada figura combinada.

1. Una figura está hecha de un triángulo y un cuadrado. El cuadrado y el triángulo tienen la misma base de 7 pulgadas. El triángulo tiene una altura de 5 pulgadas, ¿cuál es el área total de la figura?

2. Una figura está hecha de un triángulo y un rectángulo. El triángulo tiene una altura de 8 pulgadas y una base de 9 pulgadas. El rectángulo tiene unas dimensiones de 7 pulgadas x 9 pulgadas. ¿Cuál es el área total de la figura?

3. Una figura está hecha de cuatro triángulos. Cada triángulo tiene una base de 7 pulgadas y una altura de 9 pulgadas. ¿Cuál es el área total de la figura?

4. Una figura está hecha de tres triángulos. Cada triángulo tiene una base de 5 pies y una altura de 4,5 pies. ¿Cuál es el área total de la figura?

5. Una figura está hecha de dos triángulos y un cuadrado. Los triángulos y el cuadrado tienen la misma base de 5 pies. Los triángulos tienen una altura de 4 pies. ¿Cuál es el área total de la figura?

6. Una figura está hecha de dos triángulos y un cuadrado. Los triángulos y el cuadrado tienen la misma base de 8 pies. Los triángulos tienen una altura de 7 pies. ¿Cuál es el área total de la figura?

7. Una figura está compuesta de un cuadrado y un triángulo. El cuadrado tiene un lado que mide 9 pies. El triángulo tiene una base de 7 pies y una altura de 6 pies. ¿Cuál es el área total de la figura?

8. Una figura está compuesta de dos triángulos. Los triángulos tienen la misma base de 15 pulgadas. Un triángulo tiene una altura de 9 pulgadas y el otro tiene una altura de 11 pulgadas. ¿Cuál es el área total de la figura?

9. Una figura está hecha de un triángulo y un rectángulo. El triángulo tiene una altura de 8,5 pulgadas y una base de 10 pulgadas. El rectángulo tiene unas dimensiones de 9 pulgadas x 10 pulgadas. ¿Cuál es el área total de la figura?

10. Una figura está compuesta de un triángulo y un rectángulo. El triángulo tiene una altura de 11 pulgadas y una base de 9,5 pulgadas. El rectángulo tiene unas dimensiones de 12 pulgadas x 14 pulgadas. ¿Cuál es el área total de la figura?

Instrucciones : Resuelve cada problema.

11. Julius dibujó un triángulo que tenía una base de 15 pulgadas y una altura de 11 pulgadas. ¿Cuál es el área del triángulo que dibujó Julius?

12. Un triángulo tiene un área de 108 centímetros cuadrados. Si su altura es de 9 cm, ¿Cuánto mide su base?

13. ¿Cuál es la altura de un triángulo cuya base mide 36 pulgadas y tiene un área de 234 pulgadas cuadradas?

14. Tina está pintando una señal triangular. La altura de la señal es de 32 pies. La base es de 27 pies. ¿Cuántos pies cuadrados pintará Tracy?

15. Tina dibujó un triángulo con una base de 6 pulgadas y una altura de 5,5 pulgadas. ¿Cuál es el área del triángulo?

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