Áreas de Figuras Combinadas que Involucran Círculos

Aquí aprenderás a encontrar áreas de figuras combinadas que involucran círculos

¿Has intentado determinar el área de una figura que está hecha de dos figuras y no solo una?

Marcy tiene un cuadro de una figura que está hecha de un cuadrado y la mitad de un círculo o semicírculo. El cuadrado tiene un lado que mide 8 pulgadas. El diámetro del círculo mide lo mismo que el del lado del cuadrado.

¿Cuál es el área total de la figura?

Esta Sección te mostrará cómo determinar el área de figuras combinadas que involucran círculos. Pon atención y volveremos a este problema al final de esta Sección.

Orientación

A veces nos pueden pedir el área de una figura combinada. Las figuras combinadas a menudo incluyen porciones de círculos, como un cuarto o un semicírculo (la mitad de un círculo). Podemos encontrar el área de figuras combinadas rompiéndolas en pequeñas piezas y encontrando el área de cada pieza.

Anteriormente trabajamos calculando el área de una porción de un círculo. Siempre que sepamos el radio de un círculo, podemos encontrar su área. Entonces podemos dividir el área en pequeñas piezas o restar una porción para encontrar el área de una parte del círculo. Intentémoslo.

¿Cuál es el área de la siguiente figura?

Esta figura es un semicírculo, o la mitad de uno. Recuerda que un diámetro siempre divide al círculo por la mitad. Por lo tanto, el borde que mide 17 pulgadas es el diámetro del círculo. ¿Podemos usarlo para encontrar el área del círculo completo?

¡Claro que podemos! El radio del círculo deber ser $17 \div 2 = 8.5$ pulgadas. Ahora usemos la fórmula para encontrar el área.

$A & = \pi r^2\\\A & = \pi (8.5)^2\\\A & = 72.25 \ \pi\\\A & = 226.87 \ in.^2$

Sabemos que un círculo completo con radio de 8,5 pulgadas (y un diámetro de 17 pulgadas) mide 226,87 pulgadas cuadradas. Por lo tanto el semicírculo tiene un área de $226.87 \div 2 = 113.44$ pulgadas cuadradas. Siempre que podamos encontrar el área de un círculo completo, podemos dividir o restar para encontrara el área de una porción de un círculo.

Ahora pongamos atención a la figura combinada.

Encuentra el área de la siguiente figura.

Primero, tenemos que encontrar el área del rectángulo. Podemos hacer esto multiplicando el largo por el ancho. Entonces podemos encontrar el área de un círculo. Si te diste cuenta, el ancho del rectángulo es también el diámetro del círculo. Esto nos ayudará cuando queramos encontrar el área del círculo.

Empecemos con el rectángulo.

$A&=lw\\\A&=6(8)\\\A&=48$

El área es de 48 pulgadas cuadradas para el rectángulo.

Ahora veamos el semicírculo. Si el diámetro es el ancho el cual es 6 pulgadas, entonces el radio es 3 pulgadas. Podemos encontrar el área de un círculo ahora.

$A&= \pi r^2 \\\A& =3.14(3^2) \\\A& =3.14(9) \\\A& =28.26 \ sq.inches$

Ahora este es el área de un círculo completo. Solo necesitamos el área de un semicírculo. Dividamos este valor a la mitad.

El área del semicírculo es de 14,13 pulgadas cuadradas.

Ahora podemos sumar las dos áreas juntas.

48 +14.13 = 62.13 pulgadas cuadradas.

El área de la figura completa es de 62,13 pulgadas cuadradas.

Ahora intentarás algunos ejercicios por ti mismo. Encuentra cada área.

Ejemplo A

Dos semicírculos con un cuadrado en el medio. El cuadrado tiene un lado que mide 6 pulgadas. El semicírculo tiene el mismo diámetro que el lado del cuadrado.

Solución: $149.04 \ in^2$

Ejemplo B

Un rectángulo con un largo de 5 pies y un ancho de 3 pies conectado a un semicírculo con un diámetro igual al ancho del rectángulo.

Solución: $29.13 \ ft^2$

Ejemplo C

Un cuadrado con un lado que mide 4 milímetros y un semicírculo con un diámetro que mide lo mismo que el lado del cuadrado.

Solución: $41.12 \ mm^2$

Aquí está el problema original.

¿Cuál es el área total de la figura?

Para resolver este problema, podemos, primero, determinar el área del cuadrado.

$A = s^2$

$A = 8^2$

$A = 64 \ in^2$

Esta es el área del cuadrado.

Luego, tenemos que determinar el área de la mitad del círculo. Determinemos el área del círculo completo primero.

$A = \pi r^2$

$A = \pi 8^2$

$A = 200.96 \ in^2$

Esta es el área del círculo completo. Solo necesitamos la mitad de esta área, por lo que la dividimos por 2.

$200.96 \div 2 = 100.48$

Ahora podemos sumar las dos áreas juntas.

$100.48 + 64 = 164.48 \ in^2$

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Círculo: Una serie de puntos equidistantes conectados desde un punto central.

Diámetro: La distancia a través del centro de un círculo.

Radio: La distancia desde el centro del círculo hacia el borde exterior del círculo.

Área: El espacio contenido dentro de una figura bidimensional.

Práctica Guiada

Ahora intentarás algunos ejercicios por ti mismo.

Johann dibujó un diseño para una nueva señal en el café de la escuela. La señal está hecha de un cuadrado y un semicírculo. El cuadrado tiene un lado que mide 9 pulgadas. El semicírculo tiene el mismo diámetro que el cuadrado.

¿Cuál es el área total de la señal?

Respuesta

Primero, tenemos que determinar dos medidas diferentes para el área y luego sumarlas. Empecemos con el cuadrado.

$A = s^2$

$A = 9^2$

$A = 81 \ in^2$

Luego, encontremos el área del semicírculo. Mira cómo la fórmula para el área de un círculo puede ser ajustada.

$A = \frac{1}{2}[\pi r^2]$

$A = \frac{1}{2}[3.14(9^2)]$

$A = \frac{1}{2}(254.34)$

$A = 127.17 \ in^2$

Esta es el área de la mitad del círculo.

Ahora las podemos sumar juntas.

$127.17 + 81 = 208.17 \ in^2$

Esta es nuestra respuesta.

Video de repaso

Haz clic en la imagen para más información (requiere conexión a internet)

This is a James Sousa video about finding the area of a combined figure.

Práctica

Instrucciones : Encuentra el área de cada figura combinada.

1. Un cuadrado y un semicírculo. El cuadrado tiene un lado que mide 11 milímetros. El diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado.

2. Un cuadrado y un semicírculo. El cuadrado tiene un lado que mide 8,5 pulgadas. El diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado.

3. Un cuadrado y un semicírculo. El cuadrado tiene un lado que mide 7,25 pulgadas. El diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado.

4. Un cuadrado y un semicírculo. El cuadrado tiene un lado que mide 13 pies. El diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado.

5. Un cuadrado y un semicírculo. El cuadrado tiene un lado que mide 15,5 pies. El diámetro del círculo es igual al lado del cuadrado.

6. Un rectángulo y un semicírculo. El rectángulo tiene un largo de 8 pies y un ancho de 5 pies. El diámetro del círculo es igual al ancho del rectángulo.

7. Un rectángulo y un semicírculo. El rectángulo tiene un largo de 8,5 pies y un ancho de 6 pies. El diámetro del círculo es igual al ancho del rectángulo.

8. Un rectángulo y un semicírculo. El rectángulo tiene un largo de 9 pulgadas y un ancho de 4,5 pulgadas. El diámetro del círculo es igual al largo del rectángulo.

9. Un rectángulo y un semicírculo. El rectángulo tiene un largo de 7 pies y un ancho de 4 pies. El diámetro del círculo es igual al largo del rectángulo.

10. Un rectángulo y un semicírculo. El rectángulo tiene un largo de 5,5 pies y un ancho de 3,5 pies. El diámetro del círculo es igual al ancho del rectángulo.

11. Un triángulo y un semicírculo. El triángulo tiene una base de 5 pulgadas y una altura de 4 pulgadas. El diámetro del círculo es igual a la base del triángulo.

12. Un triángulo y un semicírculo. El triángulo tiene una base de 7 pulgadas y una altura de 4 pulgadas. El diámetro del círculo es igual a la base del triángulo.

13. Un triángulo y un semicírculo. El triángulo tiene una base de 5,5 pulgadas y una altura de 4 pulgadas. El diámetro del círculo es igual a la base del triángulo.

Instrucciones : Resuelve cada problema.

14. Rob está pintando grandes lunares en una sábana para ponerla como telón en un musical de la escuela. Pintó 16 lunares, cada uno con un radio de 3 pies. ¿Cuál es el área total que cubren los lunares?

15. La bibliotecaria está alfombrando la biblioteca de la escuela. La biblioteca es una pieza circular con un diámetro de 42o pies. ¿Cuántos pies cuadrados de alfombra necesitará?