Secciones y Desarrollos de Poliedros

En su segundo día de trabajo, Candice y Trevor fueron a la parte trasera de la tienda donde había muchas cajas. Todas las cajas eran planas, pero no estaban puestas juntas.

“Aquí es donde guardamos las cajas para envolver”, les dijo la señora Scott.

“Son muchas cajas”, dijo Trevor, observando toda la pila de cajas.

“Sí y están todas mezcladas. Necesitamos que las clasifiquen. Pongan todas las cajas cuadradas en un montón y todas las rectangulares en otro. Entonces, podremos utilizar la caja que queramos cuando lo necesitemos”, les ordenó la señora Scott.

“Podemos hacerlo”, dijo Candice.

Trevor no parecía tan seguro.

“De acuerdo. Volveré dentro de un rato”, dijo la señora Scott, mientras se iba.

“¿Qué quieres decir con ‘podemos hacer esto'?”, preguntó Trevor después de que se fue la señora Scott.

“Es fácil. Las cajas cuadradas se ven como el desarrollo de cubos, lo sabes de la clase de matemáticas. Las otras cajas se ven como prismas rectangulares”.

Trevor estaba desconcertado. No podía recordar cómo lucía un desarrollo de un cubo.

¿Sabes tú cuál es la diferencia entre un desarrollo de un cubo y un prisma rectangular?

Esta Sección es sobre desarrollo de poliedros y representaciones bidimensionales de figuras tridimensionales. Al término de esta Sección, sabrás cómo identificar un desarrollo de poliedro cúbico y un desarrollo de poliedro de un prisma rectangular.

Orientación

Piensa en las figuras sólidas que has aprendido en Caras, Aristas y Vértices de la Sección Sólidos. Las figuras sólidas son figuras tridimensionales que tienen altura, ancho y longitud. Aquí hay algunas figuras sólidas que viste en la Sección anterior.

Si observas estas figuras, notarás que hay algunas partes que puedes ver y otras que no. Podemos asumir que las otras partes están ahí, pero debido a que es una figura sólida podemos ver solo algunas partes de cada figura.

¿Qué pasa si queremos ver toda la figura?

Si queremos ver la figura entera, entonces necesitamos hacer una representación de la figura que es bidimensional.

Puedes pensar en esto como desplegar o desarmar el sólido para que puedas ver todas sus partes.

Observa de nuevo las figuras anteriores. La primera es un prisma rectangular. Si queremos dibujar esto como una figura bidimensional, entonces tendríamos que pensar en todas las pates de un prisma rectangular.

Hay cuatro lados en la base de un rectángulo, entonces sabemos que hay seis caras. Pero, ¿cómo se ven las caras? Veamos este dibujo de un prisma rectangular.

Observa cómo se ha desplegado esta caja. Puedes ver el patrón que forma y si te lo imaginas mentalmente, puedes ver cómo se puede volver a plegar. Las aristas forman las líneas y podemos volver a plegarlo sobre estas líneas para crear un prisma rectangular otra vez.

Observemos la segunda figura. Es una pirámide cuadrada. Si tuviéramos que dibujar una pirámide cuadrada, pensemos en sus partes y cómo luciría si la desplegáramos.

La base es un cuadrado y hay cuatro triángulos a los lados. Podemos desplegarla a partir del vértice. Aquí puedes ver como se ve.

Puedes ver que los lados se pueden volver a juntar en el vértice y tendríamos la pirámide cuadrada de nuevo.

¿Qué hay acerca de la última figura? Es un cilindro. Sabemos que las dos bases de un cilindro son círculos. ¿Y el medio? Piensa que el espacio de al medio es una especie de rectángulo que está enrollado sobre las aristas del círculo. Si piensas de esta forma, podrás ver cómo luciría desplegado.

Las representaciones bidimensionales de sólidos como esta, se llaman desarrollo de políedros . Un desarrollo es una forma visual de dibujar una figura sólida para que todas las partes de la figura se puedan ver y medir.

Los desarrollos, como sabemos, nos permiten ver la base superior, inferior y los lados de una figura sólida al mismo tiempo. Podemos obtener una idea de un sólido tan solo las vistas de sus lados, parte frontal y base superior. Estas son como piezas de un desarrollo, sin tener que dibujar todo el desarrollo.

Así como con los desarrollos, necesitaremos usar nuestra imaginación para dibujar las vistas laterales, superiores y frontales. Imagina que puedes tener la figura y mirarla desde arriba o desde los lados. Esto puede ser difícil al principio. Si es así, busca algunos objetos sólidos reales, como una lata de alimentos o una caja de cereal.

¿Cuál es la vista superior de este cilindro?

Si piensas qué verías si miras desde abajo esta lata, verías que ese círculo es la base.

¿Qué sucede si la miramos desde el lado o desde el frente?

Entonces verías una especie de rectángulo. Sería largo y representaría la longitud de la lata.

Observa esta figura. Es una caja de cereal, pero también podemos imaginarla dadas sus propiedades geométricas. Es un prisma rectangular. Sabemos que un prisma rectangular está hecho de rectángulos, pero ¿veríamos un rectángulo desde cada vista? Sí; sin embargo, la posición del rectángulo cambiaría dependiendo de la vista

Aquí está la vista superior.

Aquí está la vista lateral.

Aquí está la vista frontal y trasera.

Puedes imaginarte eso debido a las dimensiones del rectángulo y serías capaz de ver todas las partes diferentes de la figura y dibujarlas.

¿Qué tal un cono?

Los conos pueden ser complicados por lo que verías. Si miras al lado, verías un triángulo. Si miras desde abajo, verías un círculo.

¿Qué verías desde arriba?

Si piensas en esto, verías un círculo con un punto en el medio.

El punto representaría la cúspide del cono. El círculo representa la parte de la base.

Podemos dibujar una vista de cualquier figura tridimensional, siempre que te tomes el tiempo de visualizar en tu mente primero. Si tienes problemas con esto, trata de utilizar un objeto real para ayudarte con la visualización y el dibujo.

Como hemos visto, podemos clasificar las figuras sólidas dibujando sus desarrollos. Los desarrollos nos permiten ver cómo es la forma de la base, cuántos lados tiene la figura y si tiene caras paralelas o no. En la última sección, practicamos dibujando diferentes vistas de figuras tridimensionales. Ahora, podemos usar esas vistas mientras trabajamos para identificar diferentes figuras sólidas. Así es cómo podemos identificar y/o clasificar figuras sólidas usando sus vistas laterales y superior.

Por ejemplo, sabemos a partir de los dibujos que las pirámides tienen sus lados triangulares. Si las observamos desde el lado, entonces, todo lo que podemos ver es una cara triangular. Las pirámides siempre tienen lados triangulares, por lo que sabemos que es una pirámide solo mirando esta vista lateral. ¿Qué hay acerca de esta figura?

El cuadrado es una figura difícil para trabajar. Todo prisma puede tener un cuadrado en una de sus vistas. También podemos tener una pirámide cuadrada con una vista desde la base, aunque esto no es tan común.

Dependiendo de la vista, podemos ser generales o específicos en cuanto a la identificación del sólido. Puedes ver que el cuadrado es una vista más general para trabajar.

¿Qué figura sólida está representada a continuación?

Conocemos una vista lateral y superior.

Qué forma tienen las caras laterales de esta figura sólida? Son rectángulos. ¿Qué forma tiene la cara superior de la figura? Es un círculo. Ahora pensemos en las figuras sólidas que conocemos. Muchas figuras sólidas pueden tener lados rectangulares (todo prisma), pero no muchas tienen una cara superior circular. Los cilindros, como sabemos, tienen una cara superior e inferior circular. Esto puede ser un cilindro.

Pero, ¿qué hay del lado? El lado de un cilindro es de hecho curvo. Recuerda, cuando lo “desenrollamos” para hacer un desarrollo, el lado se ve como un rectángulo. Imagina si sostienes una lata de alimentos. ¡Se vería como un rectángulo desde el lado!

Estas dos vistas deben ser de un cilindro.

Cuando conocemos diferentes vistas, necesitaremos pensar en cada parte de los diferentes sólidos. Recuerda que saber que hay prismas, cilindros, conos y pirámides nos puede ayudar en la tarea.

Podemos usar cubos llamados “cubos unitarios” para dibujar diferentes vistas de una figura sólida. Esta es una forma de “construir” una figura sólida. Aquí es donde comenzaremos a ver cómo algunas de las dimensiones de diferentes figuras sólidas se llevan a la práctica.

Este es el elemento que vamos a usar para nuestros dibujos. Así es cómo va a funcionar.

Dibuja la vista superior de un prisma rectangular. Las dimensiones son unidades .

Para dibujar esta figura, usaremos cubos. Sabemos que la vista superior es unidades . Tomamos los cubos y construimos la vista de un prisma rectangular.

Así es cómo se vería la vista superior de un prisma rectangular.

¿Y si supiéramos todas las dimensiones de un prisma rectangular? ¿Podríamos dibujarlo?

Sí, podríamos. Para saber todas las dimensiones, debemos tener la longitud, el ancho y la altura. Entonces, usaríamos los cubos para “construir las diferentes vistas” de la figura.

Ahora podemos desarmarlos y volverlos a armar, debido a que sabemos las formas de sus caras y cómo las caras se juntan. En las próximas lecciones, verás cuán útil es esto para entender los sólidos.

Ahora es tu turno para que practiques por tu cuenta.

Ejemplo A

Dibuja un desarrollo de un prisma pentagonal.

Solución: Revisa tus respuestas con los dibujos de esta Sección.

Ejemplo B

Dibuja el desarrollo de un cubo

Solución: Revisa tus respuestas con los dibujos de esta Sección.

Ejemplo C

Dibuja el desarrollo de un cilindro.

Solución: Revisa tus respuestas con los dibujos de esta Sección.

Aquí está otra vez el problema original. Vuélvelo a leer y luego observa cómo Candice explícala diferencia entre el desarrollo de un cubo y el desarrollo de un prisma rectangular.

En su segundo día de trabajo, Candice y Trevor fueron a la parte trasera de la tienda donde había muchas cajas. Todas las cajas eran PLANO, pero no estaban puestas juntas.

“Aquí es donde guardamos las cajas para envolver”, les dijo la señora Scott.

“Son muchas cajas”, dijo Trevor, observando toda la pila de cajas.

“Sí y están todas mezcladas. Necesitamos que las clasifiquen. Pongan todas las cajas cuadradas en un montón y todas las rectangulares en otro. Entonces, podremos utilizar la caja que queramos cuando lo necesitemos”, les ordenó la señora Scott.

“Podemos hacerlo”, dijo Candice.

Trevor no parecía tan seguro.

“De acuerdo. Volveré dentro de un rato”, dijo la señora Scott, mientras se iba.

“¿Qué quieres decir con ‘podemos hacer esto’?”, preguntó Trevor después de que se fue la señora Scott.

“Es fácil. Las cajas cuadradas se ven como el desarrollo de cubos, lo sabes de la clase de matemáticas. Las otras cajas se ven como prismas rectangulares”.

Trevor estaba desconcertado. No podía recordar cómo lucía un desarrollo de un cubo.

Candice mira a Trevor. Ella recoge una de las cajas.

“Bueno, observa esta, es una caja cuadrada o puedes pensar que es el desarrollo de un cubo. Observa el centro de la caja. Los cuatro lados tienen la misma longitud. Cuando plegamos los lados alrededor de la base, podemos ver que todos los lados se juntan. Tienen la misma longitud por lo que forman un cubo”.

Trevor sonríe.

“Bien, ahora entiendo. La caja rectangular tiene un rectángulo en el centro. Los lados se van a plegar alrededor de este”.

“Sí”, añadió Candice. “Podemos ver que hay una longitud y un ancho para la base rectangular superior e inferior. También, observa que los lados concuerdan con esas medidas. Por lo tanto, cuando pleguemos los lados, tendremos una caja que es un prisma rectangular”.

Con esta explicación, los estudiantes se pusieron a trabajar para catalogar todas las cajas.

Vocabulario

Figura sólida

Una figura tridimensional con altura, ancho y longitud.

Desarrollo de un poliedro

Una forma visual de representar una figura tridimensional de manera bidimensional.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Nombra esta figura.

Respuesta

Es el desarrollo de un prisma rectangular.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a video on nets of solid figures.

Practica

Instrucciones: Identifica cada sólido de acuerdo a su desarrollo.

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11. Dibuja un ejemplo de un nuevo desarrollo para cada una de las figuras anteriores.