Área de Prismas Rectangulares

En esta sección aprenderás a encontrar el área de prismas de superficie rectangulares usando fórmulas.

En su primer día plegando cajas, Candice atendió a un cliente que vino con una gran caja en sus brazos.

“Es un casa de muñecas para mi sobrina”, dijo la mujer. “¿Puedes envolverla por favor?”

“Por supuesto”, dijo Candice mirando la caja.

La caja era $40'' \ L \times 23'' \ W \times 32'' \ H$ . Candice miró los diferentes papeles de regalo. Estaba segura de que iba a necesitar el rollo más grande que pudiera encontrar y además, estaba segura que iba a necesitar dos rollos. En el módulo había un gran rollo de papel en un tubo igualmente grande. Este rollo estaba nuevo.

“¿Qué tan grande es este rollo?” Candice le pregunto a la señora Scott.

“Es $24'' \ W \times 900 \ feet,''$ dijo la señora Scott.

“Eso debe ser suficiente”, pensó Candice.

Candice no estaba segura de que el rollo de papel fuera suficiente para la casa de muñecas. Este es un problema que se puede resolver sabiendo el área de superficie. Si Candice puede averiguar el área de superficie de la caja, entonces podrá saber cuánto papel necesitará para envolver la casa de muñecas.

Esta Sección te enseñará todo sobre el área de superficie. Pon atención y al final de esta Sección sabrás cómo resolver el problema del papel de regalo.

Orientación

En esta Sección, veremos a los prismas con más detalle. Recuerda que un prisma es un objeto tridimensional con dos bases paralelas congruentes. La forma de la base le da el nombre al prisma y hay rectángulos en los lados del prisma.

Cuando trabajamos con figuras bidimensionales, medimos el área de superficie de las figuras. El área es el espacio contenido en una figura bidimensional. Ahora veremos el área de figuras tridimensionales. Esto ya no se llama simplemente área, se llama área de superficie.

¿Qué es el área de superficie?

El área de superficie es la extensión de una figura tridimensional. Imagina que puedes envolver una de las figuras anteriores en papel, como un regalo. La cantidad de papel que se necesita para cubrir la figura es el área de superficie.

Para encontrar el área de superficie, debemos calcular el área de cada cara y luego añadir todas esas áreas.

Una forma de hacer esto es usar un desarrollo. Recuerda que un desarrollo es una representación de un sólido tridimensional. Un desarrollo es un dibujo estirado o desplegado de un sólido.

Si observamos un desarrollo y encontramos la suma de cada superficie del desarrollo y luego sumamos cada medida, sabremos la medida de la “cubierta” de la figura.

Podemos hacer esto con prismas de todos los tipos. Observemos el desarrollo de un prisma rectangular.

Ahora podemos encontrar el área de cada parte del prisma rectangular. Nota que el prisma rectangular está hecho de rectángulos. Para encontrar el área de un rectángulo, usamos esta fórmula.

$A=lw$

Luego, podemos encontrar el área de cada parte del prisma. ¡Recuerda que necesitamos medir seis caras!

$&\text{Bottom face} && \text{top face} && \text{long side} && \text{long side} && \text{short side} && \text{short side}\\\& A = lw && A = lw && A = lh && A = lh && A = wh && A = wh\\\&12 \times 7 \quad + && 12 \times 7 \quad + && 12 \times 3 \quad + && 12 \times 3 \quad + && 7 \times 3 \quad + && 7 \times 3\\\&84 \qquad \ \ + && 84 \qquad \ \ + && 36 \qquad \ \ + && 36 \qquad \ \ + && 21 \qquad \ + && 21 \qquad = && \ 282 \ in.^2$

La respuesta es 282 pulgadas cuadradas.

Encontramos el área de cada cara rectangular y luego sumamos todas las áreas. La el área de superficie total del prisma rectangular es 282 pulgadas cuadradas. Usar el desarrollo nos ayudará a localizar todas las caras y a encontrar las medidas de cada lado.

Encontramos el área de cada cara rectangular y luego sumamos todas las áreas. La el área de superficie total del prisma rectangular es 282 pulgadas cuadradas. Usar el desarrollo nos ayudará a localizar todas las caras y a encontrar las medidas de cada lado.

$&\text{Bottom face} && \text{Top face} && \text{long side} && \text{long side} && \text{short side} && \text{short side}\\\& A = lw && A = lw && A = lh && A = lh && A = wh && A = wh\\\&12 \times 7 \quad + && 12 \times 7 \quad + && 12 \times 3 \quad + && 12 \times 3 \quad + && 7 \times 3 \quad + && 7 \times 3\\\&84 \qquad \ \ + && 84 \qquad \ \ + && 36 \qquad \ \ + && 36 \qquad \ \ + && 21 \qquad \ + && 21 \qquad = && \ 282 \ in.^2$

Observa que nuestros cálculos se repiten en pares. Esto porque cada cara en un prisma rectangular es opuesta a su cara congruente. En otras palabras, la base superior e inferior tienen las mismas medidas, los dos lados largos tienen las mismas medidas y los dos lados cortos tienen las mismas medidas. Por lo tanto, podemos crear una fórmula para el área de superficie que nos proporciona un atajo. Podemos simplemente duplicar cada cálculo para representar un par de caras.

La fórmula se vería así.

$SA = 2lw + 2lh + 2hw$

En este prisma rectangular, $l = 12$ pulgadas, $w = 7$ pulgadas, y $h = 3$ pulgada. Simplemente colocamos estos números en la fórmula y calculamos la superficie de área. Intentémos.

$SA & = 2lw + 2lh + 2hw\\\SA & = 2(12 \times 7) + 2 (12 \times 3) + 2(3 \times 7)\\\SA & = 2(84) + 2(36) + 2(21)\\\SA & = 168 + 72 + 42\\\SA & = 282 \ in.^2$

Como ya lo hemos visto, el área de superficie de este prisma es de 282 pulgadas cuadradas. Esta fórmula nos ahorra un poco de tiempo, al permitirnos calcular el área de dos caras iguales al mismo tiempo.

Aquí hay otro ejercicio.

¿Cuál es el área de superficie de la siguiente figura?

Todas las caras de este prisma son rectángulos, por lo que podemos usar nuestra fórmula para encontrar el área de superficie de prismas rectangulares. Simplemente colocamos las medidas en la fórmula y calculamos $SA$ , área de superficie.

$SA & = 2lw + 2lh + 2hw\\\SA & = 2(21 \times 14) + 2 (21 \times 5) + 2(5 \times 14)\\\SA & = 2(294) + 2(105) + 2(70)\\\SA & = 588 + 210 + 140\\\SA & = 938 \ cm^2$

Este prisma rectangular tiene un área de superficie de 938 centímetros cuadrados. Si no estás seguro sobre qué medidas van con cada lado del prisma, intenta dibujar un desarrollo.

Practiquemos usando esta fórmula. Haz algunos problemas por tu cuenta.

Ejemplo A

Longitud de 8 pulgadas, ancho de 4 pulgadas, altura de 6 pulgadas.

Solución: $208 \ in^2$

Ejemplo B

Longitud de 5 pies, ancho de 4 pies, altura de 2 pies.

Solución: $108 \ ft^2$

Ejemplo C

Longitud de 11 m, ancho de 8 m, altura de 7 m

Solución: $442 \ m^2$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

En su primer día plegando cajas, Candice atendió a un cliente que vino con una gran caja en sus brazos.

“Es un casa de muñecas para mi sobrina”, dijo la mujer. “¿Puedes envolverla por favor?”

“Por supuesto”, dijo Candice mirando la caja.

La caja era $40'' L \times 23'' W \times 32'' H$ . Candice miro los diferentes papeles de regalo. Estaba segura de que iba a necesitar el rollo más grande que pudiera encontrar y además, estaba segura que iba a necesitar dos rollos. En el módulo había un gran rollo de papel en un tubo igualmente grande. Este rollo estaba nuevo.

“¿Qué tan grande es este rollo?” Candice le pregunto a la señora Scott.

“Es $24'' W \times 900 \ feet,''$ dijo la señora Scott.

“Eso debe ser suficiente”, pensó Candice.

Para averiguar si el papel de regalo en el rollo será suficiente, Candice tiene que averiguar el área de superficie de la caja. Ella conoce las dimensiones, por lo que puede usar tales dimensiones para resolver el problema.

La caja es $40'' L \times 23'' W \times 32'' H$ .

Ya que una caja es un prisma rectangular y que conocemos la longitud y el ancho, podemos usar esta fórmula para el área de superficie de la caja.

$SA=2(lw+lh+wh)$

Luego, podemos sustituir las medidas conocidas en la fórmula.

$SA & =2 \cdot [40(23)+ 40(32)+23(32)] \\\SA & =2(920+1280+736) \\\SA & =2(2936) \\\SA & =5872 \ sq.inches$

Cambiémoslo a pies cuadrados dividiendo por 12.

$5872 \div 12 = 489.33 \ sq. feet$

Podemos aproximar a 490 pies cuadrados solo para estar seguros.

Ahora, la medida del papel de regalo estaba en pulgadas y pies.

$24'' \times 900 \ ft$ , entonces cambiémoslo a pies.

$2 \ ft \times 900 \ ft = 1800 \ sq. feet$

El papel de regalo será suficiente para cubrir la caja de muñecas.

Vocabulario

Prisma: Un sólido tridimensional con dos bases paralelas congruentes.

Área: El espacio dentro de una figura bidimensional.

Área de Superficie: La extensión de un sólido tridimensional.

Desarrollo: Una representación bidimensional de un sólido tridimensional.

Prisma Rectangular: Un prisma con rectángulos como las bases y las caras.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Crystal está envolviendo la siguiente caja para el cumpleaños de su hermano. ¿Cuánto papel va a necesitar?

Respuesta

En primer lugar, ¿es un prisma rectangular o triangular? Todas las caras son rectángulos, por lo que es un prisma rectangular. El dibujo nos muestra claramente su longitud, ancho y altura, por lo que podemos usar la fórmula para encontrar el área de superficie de prismas rectangulares. Simplemente, insertamos estas medidas para tener las variables apropiadas en la fórmula.

$SA & = 2lw + 2lh + 2hw\\\SA & = 2(12 \times 9) + 2 (12 \times 6) + 2(6 \times 9)\\\SA & = 2(108) + 2(72) + 2(54)\\\SA & = 216 + 144 + 108\\\SA & = 468 \ in.^2$

Crystal necesitará 468 pulgadas cuadradas de papel para envolver el regalo.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a video on surface area of rectangular prisms.

Practica

Instrucciones: Usa la fórmula para el área de superficie para encontrar el área de superficie de cada prisma rectangular.

1. Un prisma rectangular con 10 pulgadas de longitud, 8 de ancho y 5 de altura.

2. Un prisma rectangular con 8 pulgadas de longitud, 8 de ancho y 7 de altura.

3. Un prisma rectangular con 12 metros de longitud, 4 de ancho y 6 de altura.

4. Un prisma rectangular con 10 pulgadas de longitud, 6 de ancho y 7 de altura.

5. Un prisma rectangular con 12 metros de longitud, 8 de ancho y 5 de altura.

6. Un prisma rectangular con 9 pies de longitud, 7 de ancho y 6 de altura.

7. Un prisma rectangular con 10 metros de longitud, 8 de ancho y 2 de altura.

8. Un prisma rectangular con 6 pies de longitud, 5 de ancho y 3 de altura.

9. Un prisma rectangular con 3 pies de longitud, 6 de ancho y 2 de altura.

10. Un prisma rectangular con 4 pies de longitud, 4 de ancho y 4 de altura.

11. Un prisma rectangular con 12 pies de longitud, 9 de ancho y 7 de altura.

12. Un prisma rectangular con 14 pies de longitud, 11 de ancho y 10 de altura.

13. Un prisma rectangular con 18 pies de longitud, 16 de ancho y 12 de altura.

14. Un prisma rectangular con 22 metros de longitud, 18 de ancho y 10 de altura.

15. Un prisma rectangular de 21 metros de longitud, 18 de ancho y 17 de altura.

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