Área de Superficie de Prismas Triangulares

En esta sección aprenderás a encontrar el área de superficie de prismas triangulares usando fórmulas.

¿Alguna vez has visto un prisma triangular?

Jesse compró un caleidoscopio para el cumpleaños de su hermana. Aquí hay un dibujo de su forma.

Para envolver esta figura, Jesse necesitará cubrirla con papel de regalo.

¿Cuál es el área de superficie de este prisma triangular?

Esta Sección es acerca de encontrar el área de superficie de prismas triangulares. Al final de esta Sección, sabrás cómo averiguar esto.

Orientación

Te acuerdas de los prismas de la Sección Área de Superficie de Prismas Rectangulares? Un prisma un objeto tridimensional con dos bases paralelas congruentes. La forma de la base nombra al prisma y hay rectángulos en los lados del prisma.

Cuando trabajamos con figuras bidimensionales, medimos el área de tales figuras. El área es el espacio que está dentro de una figura bidimensional. Ahora vamos a observar el área de figuras tridimensionales. Solo que ya no se llama área. Ahora se llama área de superficie.

¿Qué es el área de superficie?

El área de superficie es la extensión de una figura tridimensional. Imagina que puedes envolver una de las figuras anteriores en papel, como un regalo. La cantidad de papel que se necesita para cubrir la figura es el área de superficie.

Para encontrar el área de superficie, debemos calcular el área de cada cara y luego añadir todas esas áreas.

Una forma de hacer esto es usar un desarrollo. Recuerda que un desarrollo es una representación de un sólido tridimensional. Un desarrollo es un dibujo estirado o desplegado de un sólido.

Si observamos un desarrollo y encontramos la suma de cada superficie del desarrollo y luego sumamos cada medida, sabremos la medida de la “cubierta” de la figura.

¿Cuál es área de superficie de la siguiente figura?

Lo primero que necesitamos hacer es dibujar un desarrollo. ¡Prepárate para ejercitar tu imaginación! Pintar las caras superiores e inferiores te puede resultar útil. Empieza dibujando la cara inferior. Es un triángulo. Cada lado de la cara está conectado a una cara lateral. ¿Qué forma tiene cada cara lateral? Son rectángulos, entonces podemos dibujar rectángulos a lo largo de cada lado de la base triangular. Por último, dibujamos la cara la cara superior, la que se puede conectar a cualquiera de las caras laterales.

Luego, añadimos las medidas de los lados de cada cara para que podamos calcular su área. ¡Ten cuidado! Esta vez, dos caras son triángulos. $A = \frac{1}{2}bh$ . Recuerda, calculamos el área de triángulos con la fórmula . Necesitamos saber la altura de los triángulos; observa el diagrama para averiguarlo. Vamos a encontrar el área de dos triángulos y tres rectángulos.

Ahora que tenemos las medidas de todas las caras, calculemos el área de cada una. Recuerda usar la fórmula de área correcta.

$&\text{Bottom face} && \text{Top face} && \text{side} && \text{side} && \text{side} \\\& A = \frac{1}{2}bh && A = \frac{1}{2}bh && A = lw && A = lw && A = lw \\\&\frac{1}{2} (8)(6) \ \ + && \frac{1}{2} (8)(6) \ \ + && 17 \times 10 \ \ + && 17 \times 10 \ \ + && 17 \times 8\\\&24 \qquad \quad + && 24 \qquad \quad + && 170 \qquad \ + && 170 \qquad \ + && 136 \qquad \ = && \ 524 \ cm^2$

Usamos la fórmula $A = \frac{1}{2} bh$ para encontrar el área de la cara superior e inferior. Usamos la fórmula $A = lw$ para encontrar el área de las tres caras laterales.

Cuando las sumamos, obtenemos un área de superficie de 524 centímetros cuadrados para este prisma triangular.

Los prismas triangulares tienen diferentes fórmulas para encontrar el área de superficie, porque tienen dos caras triangulares opuestas. Recuerda, la fórmula para el área de triángulos no es la misma que la fórmula de área de los rectángulos, por lo que deberás trabajar en forma diferente para encontrar una fórmula para el área de superficie.

Primero, sabemos que necesitamos encontrar el área de dos caras triangulares. Cada cara tendrá un área de $\frac{1}{2} bh$ . Recuerda, podemos usar una fórmula para calcular el área de un par de caras. Por lo tanto, podemos duplicar esta fórmula para encontrar el área de las caras triangulares de una vez. Esto nos da $2(\frac{1}{2} bh)$ . Los números se anulan mutuamente, lo que nos deja $bh$ . ¡Esa parte fue fácil!

Luego, debemos calcular el área de cada cara lateral. La longitud de cara rectángulo es la misma que la altura del prisma, por lo que llamaremos a esto $H$ . El ancho de cada rectángulo es el mismo que cada lado de la base triangular. En lugar de multiplicar la longitud por el ancho en cada rectángulo, podemos combinar esta información. Podemos multiplicar el perímetro de la base triangular, ya que es la suma de cada “ancho” de los lados rectangulares, por la altura del prisma, $H$ .

Si juntamos estas piezas (el área de las bases y el área de las caras laterales) obtenemos esta fórmula.

$SA = bh + (s1 + s2 + s3)H$

Para usar esta fórmula, completaremos la base y la altura de la base del prisma triangular, las longitudes de los lados de la base y la altura del prisma.

¡No confundas la altura de la base triangular con la altura del prisma!

Ahora practica por tu cuenta.

Ejemplo A

Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 5 pulgadas y una altura de 4 pulgadas. La longitud de cada lado es de 8 pulgadas y el ancho de cada lado es de 6 pulgadas. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

Solución: $164 \ in^2$

Ejemplo B

Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 8 pies y una altura de 6 pies. La longitud de cada lado es de 10 pies y el ancho de cada lado es de 6 pies. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

Solución: $228 \ ft^2$

Ejemplo C

Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 12 pulgadas y una altura de 9 pulgadas. La longitud de cada lado es de 14 pulgadas y el ancho de cada lado es de 9 pulgadas. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

Solución: $486 \ in^2$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Jesse compró un caleidoscopio para el cumpleaños de su hermana. Aquí hay un dibujo de su forma.

Para envolver esta figura, Jesse necesitará usar papel de regalo.

¿Cuál es el área de superficie de este prisma triangular?

Para averiguarlo, tenemos todas las medidas que necesitamos. Insertémoslas en la fórmula para calcular la superficie de área, $SA$ .

$SA & = bh + (s1 + s2 + s3)H\\\SA & = 4(3) + (5 + 5 + 4) (15)\\\SA & = 12 + 14 (15)\\\SA & = 12 + 210\\\SA & = 222 \ cm^2$

Este prisma triangular tiene un área de superficie de 222 centímetros cuadrados.

Vocabulario

Prisma: Un sólido tridimensional con dos bases paralelas congruentes.

Área: El espacio dentro de una figura bidimensional.

Área de Superficie: La extensión de un sólido tridimensional.

Prisma Triangular: Un prisma con triángulos como bases y rectángulos como caras.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Encuentra el área de superficie de este prisma triangular.

Respuesta

$SA & = Area \ of \ three \ rectangles + Area \ of \ two \ triangles\\\SA & = 2(8 + 9 + 7) + 2\left (\frac{1}{2}(8)7\right )\\\SA & = 2(24) + 2(28)\\\SA & = 48 + 56\\\SA & = 104 \ sq. \ in.$

Esta es nuestra respuesta.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a video on surface area of triangular prisms.

Practica

Instrucciones : Usa la siguiente figura para contestar las preguntas.

1. ¿Cuáles son las unidades de medida de esta figura?

2. ¿Cuál es la longitud de la base?

3. ¿Cuál es el ancho de la base?

4. ¿Cuál es la forma de los lados?

5. ¿Cuál es la medida del lado triangular?

6. ¿Cuál es la fórmula para encontrar el área de superficie de un prisma triangular?

7. ¿Cuál es el área de superficie de esta figura?

Instrucciones : Encuentra el área de superficie de cada prisma triangular.

8. Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 4 pulgadas y un ancho de 3 pulgadas. La longitud de cada lado es 5 pulgadas y el ancho de cada lado es de 3 pulgadas. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

9. Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 4 pies y una altura de 5 pies. La longitud de cada lado es de 6 pies y el ancho de cada lado es de 5 pies. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

10. Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 3 pulgadas y una altura de 3 pulgadas. La longitud de cada lado es de 4 pulgadas y el ancho de cada lado es de 3 pulgadas. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

11. Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 6 metros y una altura de 5 metros. La longitud de cada lado es de 8 metros y el ancho de cada lado es de 5 metros. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

12. Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 15 pies y una altura de 10 pies. La longitud de cada lado es de 12 pies y el ancho de cada lado es de 10 pies. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

13. Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 9 pulgadas y una altura de 7 pulgadas. La longitud de cada lado es de 9 pulgadas y el ancho de cada lado es de 7 pulgadas. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

14. Un prisma triangular tiene un límite triangular con una base de 8 pulgadas y una altura de 6 pulgadas. La longitud de cada lado es de 15 pulgadas y el ancho de cada lado es de 6 pulgadas. ¿Cuál es el área de superficie del prisma?

15. Un prisma triangular tiene un límite con una base de 5,5 pies y una altura de 4 pies. La longitud de cada lado es de 9 pies y el ancho de cada lado es de 5 pies. ¿Cuál es el área del prisma?

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