Área de Superficie de Cilindros

En esta sección aprenderás a encontrar el área de superficie de cilindros usando fórmulas.

¿Tuviste juguetes armables cuando niño?

Trevor está envolviendo un envase de juguetes armables. Es un poco complicado porque es un cilindro. Trevor lo intenta por tercera vez y la mujer que compró los juguetes está impaciente.

“Lo siento señora”, dijo Trevor sonriendo.

Trevor no corto suficiente papel dos veces. La tercera vez, decidió averiguar primer el área de superficie del cilindro y luego cortar el papel.

“Debería haber hecho esto desde el principio”, pensó Trevor, mientras miraba la regla que estaba sobre la mesa. Medir el papel hubiera sido fácil si hubiera sabido las dimensiones.

La altura de la lata es de 18" y el diámetros del cilindro es de 6 pulgadas.

Trevor no está seguro si tiene la información suficiente para encontrar el área de superficie. Se detiene a pensar un momento.

¿Tiene Trevor todo lo que necesita? ¿Cómo puede encontrar el área de superficie del cilindro?

Esta Sección te enseñará a encontrar el área de superficie de un cilindro. Toma notas y pon atención; verás de nuevo este problema al final de la Sección.

Orientación

En esta Sección, aprenderemos a encontrar el área de superficie de cilindros.

Un cilindro es una figura sólida que existe en el espacio tridimensional. Un cilindro tiene dos caras que son círculos.

No les llamamos cara a los lados del cilindro ya que son curvas. Aun así, tenemos que incluir su área en el área de superficie total del cilindro.

El área de superficie de un cilindro es el total del área de cada cara circular y el lado del cilindro. Imagina una lata de alimentos. La base superior e inferior y la etiqueta alrededor de la lata harían el área de superficie de esta. Para encontrar el área de superficie, debemos calcular el área de cada cara y el lado y luego sumar estas áreas.

Veremos dos formas de calcular el área de superficie de cilindros. Una forma es usar un desarrollo.

Como hemos dicho, el área de superficie es el área total de las caras y del lado de un cilindro. Esto significa que debemos encontrar el área de cada cara del cilindro y luego, el área del lado. Una forma de hacerlo es usar un desarrollo. Un desarrollo es un diagrama bidimensional de un sólido tridimensional. Imagina que puedes desenrollar la lata de alimentos para que quede totalmente plana. Tendrías que hacer algo como esto:

Los círculos ensombrecidos muestran las caras superiores e inferiores del cilindro y el rectángulo muestra el lado, si la lata estuviera desenrollada.

¿Puedes ver cómo volver a enrollar la lata para hacer el cilindro?

Con un desarrollo, podemos ver cada cara del cilindro de forma más clara. Para encontrar el área de superficie, necesitamos calcular el área de cada círculo en el desarrollo.

Usamos la fórmula $A = \pi r^2$ para encontrar el área de un círculo. Si sabemos el radio o diámetro de cada círculo, podemos calcular su área. Observa de nuevo el cilindro anterior. Las dos caras circulares son congruentes, por lo que deben tener el mismo radio y diámetro. Calculemos el área de cada cara.

$&\text{bottom face} && \text{top face}\\\A &= \pi r^2 && A = \pi r^2\\\A &= \pi (4)^2 && A = \pi (4)^2\\\A &= 16 \pi && A = 16 \pi\\\A &= 50.24 \ cm^2 && A = 50.24 \ cm^2$

El área de cada cara circular es de 50,24 centímetros cuadrados.

Ahora necesitamos encontrar el área del lado. El desarrollo lo muestra, cuando “desenrollamos” el cilindro, el lado es en realidad un rectángulo. Recuerda que la fórmula que usamos para encontrar el área de un rectángulo $A = lw$ . Para los cilindros, el ancho del rectángulo es el mismo que la altura del cilindro . En este caso, la altura del cilindro es de 8 centímetros.

¿Qué hay acerca de la longitud? La longitud es en realidad la misma que el perímetro del círculo, lo que podemos llamar su circunferencia. Cuando “enrollamos” el lado, encaja perfectamente alrededor del círculo. Para encontrar el área del lado del cilindro, entonces debemos multiplicar la circunferencia del círculo por la altura del cilindro. Encontramos la circunferencia de un círculo con la fórmula $C = 2 \pi r$ , y luego multiplicamos por la altura. Intentémoslo.

$C & = 2 \pi r\\\C & = 2 \pi 4\\\C & = 8 \pi\\\C & = 25.12 \times 6 = 150.72 \ cm^2$

Ahora sabemos el área de las dos caras circulares y el lado. Sumémoslas para encontrar el área de superficie del cilindro.

$& \text{bottom face} \qquad \text{top face} \qquad \quad \text{side} \qquad \qquad \quad \text{surface area}\\\& 50.24 \ cm^2 \quad + \ \ 50.24 \ cm^2 \ + \ 150.72 \ cm^2 \ = \ 251.2 \ cm^2$

El área de superficie total del cilindro es de 251,72 centímetros cuadrados.

¿Cuál es el área de superficie de la siguiente figura?

Lo primero que debemos hacer es dibujar un desarrollo. ¡Prepárate para echar a andar tu imaginación! Colorear las caras superiores e inferiores puede resultar de gran ayuda. Comienza dibujando la cara inferior. Es un círculo con un radio de 7 pulgadas. ¿Cuál es la forma del lado cuando “desenrollamos” el cilindro? Es un rectángulo, por lo que dibujamos un réctangulo sobre la base circular. Por último, dibujamos la cara superior, la cual también es un círculo con un radio de 7 pulgadas.

Aquí está el desarrollo.

Luego, completemos las medidas para el lado y el radio de cada cara para que podamos calcular el área de cada componente. Ahora podemos calcular las áreas. Recuerda usar las fórmulas correctas para el área y la circunferencia de los círculos.

$& \text{bottom face} && \text{top face} && \text{side}\\\A &= \pi r^2 && A = \pi r^2 && C = 2 \pi r\\\A &= \pi (7)^2 && A = \pi (7)^2 && C = 2 \pi (7)\\\A &= 49 \pi && A = 49 \pi && C = 14 \pi\\\A &= 153.86 \ in.^2 && A = 153.86 \ in.^2 && C = 43.96 \ in.^2 \times 14 = 615.44 \ in.^2$

Ahora sumamos las áreas para encontrar el área de superficie del cilindro.

$153.86 \quad + \quad 153.86 \quad + \quad 615.44 \quad = \quad 923.16 \ in.^2$

Observemos qué fue lo que hicimos para encontrar el área de superficie.

Usamos la fórmula $A = \pi r^2$ para encontrar el área de las caras superior e inferior. Usamos la fórmula $C = 2 \pi r$ para encontrar la circunferencia de la base circular y multiplicamos el resultado por la altura para encontrar el área del lado. Cuando sumamos todo, obtenemos un área de superficie del cilindro de 923,16 pulgadas cuadradas. ¡Buen trabajo!

Siempre podemos dibujar un desarrollo para organizar la información y así encontrar el área de superficie de un cilindro. Un desarrollo nos ayuda a ver y a entender cada cara del cilindro.

Los desarrollos nos permiten ver cada cara por lo que podemos calcular su área. Del mismo modo, podemos usar las fórmulas para representar las caras y el lado, mientras encontramos sus áreas.

Te habrás dado cuenta en la sección anterior que las dos caras circulares siempre tenían la misma área. Esto es porque tienen el mismo radio. Por lo tanto, podemos calcular el área del par de caras circulares de una vez. Simplemente, duplicamos la fórmula de área, lo que nos da $2 \pi r^2$ .

También podemos combinar las medidas del lado en una ecuación más simple. Necesitamos encontrar la circunferencia usando la fórmula $2 \pi r$ , y luego multiplicamos esto por la altura del cilindro. Por lo tanto, podemos simplemente escribir $2 \pi rh$ . Cuando combinamos la fórmula de las caras y del lado, obtenemos esta fórmula:

$SA = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh$

Esta fórmula puede parecer larga e intimidante, pero todo lo que necesitamos hacer es poner los valores del radio de las caras circulares y la altura del cilindro y resolver.

Anota esta fórmula en tu cuaderno.

Ahora, apliquemos esta fórmula al ejemplo de la sección anterior.

En este cilindro, $r = 7$ pulgadas y $h = 14$ pulgadas. Simplemente ponemos estos números en la fórmula y calculamos el área de superficie. Intentémoslo.

$SA & = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh\\\SA & = 2 \pi (7)^2 + 2 \pi (7)(14)\\\SA & = 2 \pi (49) + 2 \pi (98)\\\SA & = 98 \pi + 196 \pi\\\SA & = 294 \pi\\\SA & = 923.16 \ in.^2$

Como ya hemos visto, el área de superficie de este cilindro es de 923,16 pulgadas cuadradas.

Esta fórmula nos ahorra un poco de tiempo. Intentemos otra.

¿Cuál es el área de superficie de la siguiente figura?

Tenemos todas las medidas que necesitamos. Pongámoslas en la fórmula y calculemos el área, $SA$ .

$SA & = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh\\\SA & = 2 \pi (3.5)^2 + 2 \pi (3.5) (28)\\\SA & = 2 \pi (12.25) + 2 \pi (98)\\\SA & = 24.5 \pi + 196 \pi\\\SA & = 220.5 \pi\\\SA & = 692.37 \ cm^2$

Este cilindro tiene un área de superficie de 692,37 centímetros cuadrados.

Intenta realizar algunos por tu cuenta. Encuentra el área de superficie de cada cilindro.

Ejemplo A

Un cilindro con un radio de 5 pies y una altura de 10 pies

Solución: $471$ pies cuadrados.

Ejemplo B

Un cilindro con un radio de 7 pulgadas y una altura de 12 pulgadas

Solución: $835.24$ pulgadas cuadradas

Ejemplo C

Un cilindro con un diámetro de 4 metros y una altura de 5 metros

Solución: $87.92$ metros cuadrados

Aquí esta nuevamente el problema original. Encuentra el área de superficie del cilindro.

Trevor está envolviendo un envase de juguetes armables. Es un poco complicado porque es un cilindro. Trevor lo intenta por tercera vez y la mujer que compró los juguetes está impaciente.

“Lo siento señora”, dijo Trevor sonriendo.

Trevor no corto suficiente papel dos veces. La tercera vez, decidió averiguar primer el área de superficie del cilindro y luego cortar el papel.

“Debería haber hecho esto desde el principio”, pensó Trevor, mientras miraba la regla que estaba sobre la mesa. Medir el papel hubiera sido fácil si hubiera sabido las dimensiones.

La altura de la lata es de 18" y el diámetros del cilindro es de 6 pulgadas.

Trevor no está seguro si tiene la información suficiente para encontrar el área de superficie. Se detiene a pensar un momento.

Podemos usar la fórmula para encontrar el área de superficie de un cilindro.

$SA=2\pi rh+2 \pi r^2$

Ahora podemos tomar las dimensiones y reemplazarlas en la fórmula. Lo primero que hay que notar es que el diámetro del envase lo conocemos y necesitamos el radio del cilindro. El radio es la mitad del diámetro.

$6 \div 2 = 3 \ inches$

Ahora podemos reemplazarlos en la fórmula.

$SA & = 2(3.14)(3)(18)+2(3.14)(3^2)\\\SA & = 339.12+56.52 \\\SA & = 395.64 \ sq.inches$

Podemos dividir esta medida por 12 y sabremos cuántos pies cuadrados de papel se necesitarán.

$395.64 \div 12 = 32.97 \ \text{or} \ 33 \ sq. feet$

Vocabulario

Cilindro: Una figura tridimensional con dos bases circulares.

Área de Superficie: La medida exterior de una figura tridimensional.

Desarrollo: Una representación bidimensional de una figura tridimensional.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

La señora Johnson está envolviendo un paquete cilíndrico para poder mandárselo a su hijo. El paquete tiene 22 centímetros de alto y 11 de ancho. ¿Cuánto papel necesitará?

Respuesta

El dibujo nos muestra claramente la altura y el diámetro del cilindro, así que usamos la fórmula para encontrar el área de superficie. Pero, ten cuidado; conocemos el diámetro, no el radio. Necesitamos dividirlo por 2 para encontrar el radio: $11 \div 2 = 5.5$ . Ahora tenemos el radio y la altura, por lo ponemos estos datos en la fórmula.

$SA & = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh\\\SA & = 2 \pi (5.5^2) + 2 \pi (5.5) (22)\\\SA & = 2 \pi (30.25) + 2 \pi (121)\\\SA & = 60.5 \pi + 242 \pi\\\SA & = 302.5 \pi\\\SA & = 949.85 \ cm^2$

La señora Johnson necesitará 949,85 centímetros cuadrados de papel para envolver el paquete.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a video on surface area of cylinders.

Practica

Instrucciones: Encuentra el área de superficie de cada cilindro dada su altura y radio.

1. $r = 1 \ m, \ h = 3 \ m$

2. $r = 2 \ cm, \ h = 4 \ cm$

3. $r = 6 \ in, \ h = 10 \ in$

4. $r = 4 \ in, \ h = 6 \ in$

5. $r = 5 \ in, \ h = 10 \ in$

6. $r = 8 \ ft, \ h = 6 \ ft$

7. $r = 10 \ m, \ h = 15 \ m$

8. $r = 9 \ cm, \ h = 12 \ cm$

9. $r = 6 \ m, \ h = 8 \ m$

10. $r = 2 \ cm, \ h = cm$

Instrucciones: Encuentra el área de superficie de cada cilindro dada su altura y diámetro.

11. $d = 8 \ m, \ h = 11 \ m$

12. $d = 10 \ in, \ h = 14 \ in$

13. $d = 8 \ cm, \ h = 10 \ cm$

14. $d = 12 \ m, \ h = 15 \ m$

15. $d = 15 \ in, \ h = 20 \ in$

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