Alturas de Cilindros Dada el Área de Superficie

En esta sección aprenderás a encontrar las alturas de los cilindros dada el área de superficie más otra dimensión.

¿Qué sucede si conoces el área de superficie de un cilindro, pero no la altura? Veamos este problema.

Candice usará modge podge para decorar el exterior de un envase cilíndrico. Ella quiere hacer una lapicera decorativa como regalo para su mama. Modge podge es un pegamento, una especie de sustancia que adhiere papel u otras piezas decorativas de papel a un objeto.

El envase tiene un radio de 3 pulgadas y un área de superficie de $207.3 \ in^2$ .

¿Cuál es la altura del envase?

Esta Sección te enseñará a averiguar la altura de un cilindro cuando conocemos el radio y el área de superficie.

Orientación

A veces, puede que conozcamos el área de superficie de un cilindro y necesitemos encontrar su altura. Simplemente, completamos la información que conocemos a la fórmula del área de superficie. Esta vez, en vez de calcular $SA$ , calculamos $h$ , la altura del cilindro.

Veamos cómo podemos aplicar esta información.

El área de superficie de un cilindro con un radio de 3 pulgadas es $78 \pi$ pulgadas cuadradas. ¿Cuál es la altura del cilindro?

Sabemos que el radio del cilindro es de 3 pulgadas. También sabemos que el área de superficie del cilindro es $78 \pi$ pulgadas cuadradas. A veces, un problema incluirá pi en la cantidad, ya que es más preciso. Veremos que esto también hace más fácil nuestros cálculos. Todo lo que debemos hacer es colocar $78 \pi$ en la fórmula en lugar de $SA$ . Luego, podemos usar la fórmula para calcular la altura, $h$ .

$SA & = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh\\\78 \pi & = 2 \pi (3^2) + 2 \pi (3) h\\\78 \pi & = 2 \pi (9) + 6 \pi h\\\78 \pi & = 18 \pi + 6 \pi h\\\78 \pi - 18 \pi & = 6 \pi h \qquad \qquad \qquad \text{Subtract} \ 18 \pi \ \text{from both sides.}\\\60 \pi & = 6 \pi h\\\60 \pi \div 6 \pi & = h \qquad \qquad \quad \qquad \text{Divide both sides by} \ 6 \pi.\\\10 \ in. & = h$

Hemos usamos la fórmula para encontrar que un cilindro con un radio de 3 pulgadas y un área de superficie de $78 \pi$ tiene una altura de 10 pulgadas.

Podemos revisar nuestro trabajo poniendo la altura en la fórmula y calcular el área de superficie.

$SA & = 2 \pi (3^2) + 2 \pi (3) (10)\\\SA & = 2 \pi (9) + 2 \pi (30)\\\SA & = 18 \pi + 60 \pi\\\SA & = 78 \pi$

Esta es el área de superficie dada en el problema, por lo que nuestra respuesta es correcta. Veamos otro ejemplo.

Ahora, intenta realizar algunos ejercicios por tu cuenta.

Encuentra la altura en cada problema.

Ejemplo A

$SA = 48 \pi, \ r = 3 \ in$

Solución: $2 \ in$

Ejemplo B

$SA = 60 \pi, \ r = 2 \ in$

Solución: $5 \ in$

Ejemplo C

$SA = 80 \pi, \ r = 4 \ m$

Solución: $2 \ m$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

El envase tiene un radio de 3 pulgadas y un área de superficie de $207.24 \ in^2$ .

¿Cuál es la altura del envase?

Para averiguarlo, usemos la fórmula.

$SA & = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh\\\66 \pi & = 2 \pi (3^2) + 2 \pi (3) h\\\66 \pi & = 2 \pi (9) + 6 \pi h\\\66 \pi & = 18 \pi + 6 \pi h\\\66 \pi - 18 \pi & = 6 \pi h \qquad \qquad \qquad \text{Subtract} \ 18 \pi \ \text{from both sides.}\\\66 \pi & = 6 \pi h\\\66 \pi \div 6 \pi & = h \qquad \qquad \quad \qquad \text{Divide both sides by} \ 6 \pi.\\\8 \ in. & = h$

La altura del cilindro es $8 \ in$ .

Vocabulario

Cilindro: Una figura tridimensional con dos bases circulares.

Área de Superficie: La medida exterior de una figura tridimensional.

Desarrollo: Una representación bidimensional de una figura tridimensional.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

La señora Javitz un envase de avena con la forma de un cilindro. Si el envase tiene un radio de 5 centímetros y un área de superficie de $170 \pi$ , ¿cuál es su altura?

Respuesta

Nuevamente, conocemos el área de superficie como una función de pi. No hay problema ya que simplemente ponemos el número total, $170 \pi$ , en $SA$ en la fórmula. También sabemos que el envase tiene un radio de 5 centímetros, por lo que podemos usar la fórmula para calcular $h$ , la altura del envase.

$SA & = 2 \pi r^2 + 2 \pi rh\\\170 \pi & = 2 \pi (5^2) + 2 \pi (5) h\\\170 \pi & = 2 \pi (25) + 10 \pi h\\\170 \pi & = 50 \pi + 10 \pi h\\\170 \pi - 50 \pi & = 10 \pi h \quad \qquad \qquad \text{Subtract} \ 50 \pi \ \text{from both sides.}\\\120 \pi & = 10 \pi h\\\120 \pi \div 10 \pi & = h \qquad \qquad \qquad \ \ \text{Divide both sides by} \ 10 \pi.\\\12 \ cm & = h$

El envase de avena debe tener una altura de 12 centímetros.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

Khan Academy, Cylinder Volume and Surface Area

Practica

Instrucciones : Encuentra la altura de cada cilindro dada el área de superficie más otra dimensión.

1. $r = 5 \ in$

$SA = 376.8 \ in^2$

2. $r = 6 \ in$

$SA = 527.52 \ in^2$

3. $r = 5.5 \ in$

$SA = 336.8255 \ in^2$

4. $r = 4 \ cm$

$SA = 251.2 \ cm^2$

5. $r = 5 \ m$

$SA = 439.6 \ m^2$

6. $r = 2 \ m$

$SA = 87.92 \ cm^2$

7. $r = 2 \ cm$

$SA = 75.35 \ cm^2$

8. $d = 4 \ m$

$SA = 125.6 \ m^2$

9. $d = 8 \ cm$

$SA = 351.68 \ cm^2$

10. $d = 6 \ cm$

$SA = 282.6 \ cm^2$

11. $r = 3 \ cm$

$SA = 226.08 \ cm^2$

12. $r = 14 \ cm$

$SA = 2637.6 \ cm^2$

13. $r = 18 \ cm$

$SA = 4295.53 \ cm^2$

14. $r = 12 \ cm$

$SA = 1959.36 \ cm^2$

15. $r = 13 \ cm$

$SA = 3347.24 \ cm^2$

Prev Next