Área de Superficie y Volumen de Pirámides

En esta sección aprenderás a encontrar el área de pirámides usando fórmulas.

Después de una semana trabajando envolviendo regalos, Candice y Trevor se empezaron a sentir a gusto. Ninguno de los pensaba que podía haber un paquete demasiado difícil de envolver. Habían envuelto muchas cajas con forma regular y algunas cosas que tenían formas extrañas.

Pero después de una semana trabajando, se sentían unos expertos. Entonces, un sábado en la mañana, se encontraron con un problema interesante. Llegó una niña con una caja en la mano.

“Me pregunto si pueden ayudarme”, dijo. “Le compré un modelo de pirámide a mi hermano y hay que pintarla. Pero la pintura no está incluida, por lo que quiero saber cuánta pintura comprar”.

La caja dice que una vez que la pirámide esté construida, tendrá una base de 7,7 centímetros, una altura de 6,2 centímetros y una altura de su pendiente de 7,3 centímetros.

“Bien, sé lo que tengo que hacer”, dijo Candice sonriendo, mientras sacaba papel y una calculadora.

¿Sabes tú qué hacer? ¿Cómo puedes usar estas medidas para encontrar el área de superficie de la pirámide?

En esta Sección aprenderás a encontrar el área de superficie de una pirámide. Aprende mientras avanzas en esta Sección y al final podrás revisar cómo Candice encontró el área de superficie del modelo de la pirámide.

Orientación

Una pirámide tiene lados que son caras triangulares y una base. La base puede tener cualquier formar. Veamos algunas pirámides.

Como las pirámides, los conos tienen una base y una punta en la cúspide. Sin embargo, los conos siempre tienen una base circular.

El área de superficie es la suma de todas las áreas de las caras de una figura sólida. Imagina que puedes envolver una pirámide o un cono, como un regalo. La cantidad de papel que se necesita representa el área de superficie. Para encontrar el área de superficie, debemos calcular el área de cada cara y luego sumarlas.

Una forma de encontrar el área de una figura tridimensional es usar un desarrollo. Un desarrollo es un diagrama bidimensional de una figura tridimensional. Imagina que puedes desplegar una pirámide para que quede totalmente plana. Se vería como este desarrollo:

Con un desarrollo, podemos ver cada cara de la pirámide más claramente. Para encontrar el área de superficie, debemos calcular el área de cada cara en el desarrollo, los lados y la base.

Los lados de una pirámide siempre son triángulos, por lo que usamos la fórmula del área de triángulos para calcular el área: $A = \frac{1}{2} bh$ .

El área de la base depende de la forma que tiene. Recuerda, las pirámides pueden tener bases con la forma de triángulos, cuadrados, rectángulos o cualquier otro polígono. Usamos la fórmula de área apropiada para la forma. A continuación, ha algunas fórmulas típicas para encontrar el área:

$\text{rectangle}: \quad \qquad A & = lw\\\\text{square}: \qquad \qquad A & = s^2\\\\text{triangle}: \quad \qquad \ A & = \frac{1}{2} bh$

Observa la siguiente pirámide. ¿Qué fórmula debemos usar para encontrar el área de su base?

La base de la pirámide es un cuadrado con lados de 6 centímetros, por lo que debemos usar la fórmula de área del cuadrado: $A = s^2$ . Ahora, podemos encontrar el área de la base.

$A & = 6^2 \\\A&=36 \ sq.cm$

Luego, debemos encontrar el área de uno de los triángulos. Hay cuatro triángulos, pero podemos trabajar encontrando el área de uno de estos. Usamos la fórmula $A= \frac{1}{2} bh$ . El ancho de la base es de 6 centímetros y la altura de la pendiente, la altura del lado, es de 4 centímetros.

$A & = \frac{1}{2} (6)(4) \\\A & = \frac{1}{2}(24) \\\A & = 12 \ sq.cm$

Hay cuatro triángulos, por lo que tomamos este número y lo multiplicamos por cuatro y luego, lo sumamos con el área del cuadrado.

$SA & =4(12)+ 36 \\\SA & =48+36 \\\SA & =84 \ sq.cm$ Los desarrollos nos permiten ver cada cara de una pirámide, así calculamos su área. También podemos usar una fórmula para representar las caras mientras encontramos sus áreas. La fórmula es una especie de atajo, porque podemos poner las medidas en la variable apropiada de la fórmula y calculamos $SA$ , el área de superficie.

Aquí está la fórmula para encontrar el área de superficie de una pirámide.

$SA = \frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height} + B$

La primera parte de la fórmula, $\frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height}$ , es una manera rápida de encontrar el área de todos los lados triangulares de la pirámide. Recuerda, la fórmula de área del triángulo es $A = \frac{1}{2} bh$ . En la fórmula, $b$ representa la base. El perímetro de la cara inferior de la pirámide representa todas las bases de las caras triangulares, porque es la suma de estas. La altura de cada triángulo es siempre la misma, por lo que podemos llamarla la altura de la pendiente de la pirámide.

Por lo tanto “ $\frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height}$ ” es realmente lo mismo que $\frac{1}{2} bh$ .

La $B$ en la fórmula representa el área de la base. Recuerda, las pirámides pueden tener bases de diferente tipo, por lo que la fórmula de área que usamos para encontrar $B$ varía. Encontramos el área de la base primero y luego, la colocamos en la fórmula en lugar de $B$ . Intentémoslo.

¿Cuál es el área de superficie de la siguiente pirámide?

Es una pirámide cuadrada. Los cuatro lados de la base miden 8 pulgadas, por lo que el perímetro de la base es $8 \times 4 = 32 \ inches$ . También sabemos que necesitaremos usar la fórmula de área de cuadrados para encontrar $B$ , el área de la base.

$B & = s^2\\\B & = (8)^2\\\B & = 64 \ in.^2$

Ya tenemos toda la información que necesitamos. Podemos colocarla en la fórmula y calcular $SA$ , el área de superficie.

$SA & = \frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height} + B\\\SA & = \left [ \frac{1}{2} (32) \times 3 \right ] + 64\\\SA & = (16 \times 3) + 64\\\SA & = 48 + 64\\\SA & = 112 \ in.^2$

El área de superficie de la pirámide es de 112 pulgadas cuadradas.

Aquí hay otro ejercicio.

Encuentra el área de superficie de la siguiente figura.

En primer lugar, ¿qué tipo de pirámide es? Es una pirámide triangular porque su base es un triángulo. Eso significa que necesitamos usar la fórmula de área de triángulos para encontrar $B$ . Los lados de la base tienen la misma longitud, por lo que podemos calcular el perímetro calculando $16 \times 3 = 48$ . Ahora, encontremos $B$ .

$B & = \frac{1}{2} bh\\\B & = \frac{1}{2} (16) (13.86)\\\B & = 8 (13.86)\\\B & = 110.88 \ cm^2$

Ahora, estamos listos para colocar toda la información en la fórmula. Veamos qué pasa.

$SA & = \frac{1}{2} \ \text{perimeter} \times \text{slant height} + B \\\SA & = \left [ \frac{1}{2} (48) \times 6 \right ] + 110.88\\\SA & = (24 \times 6) + 110.88\\\SA & = 144 + 110.88\\\SA & = 254.88 \ cm^2$

El área de superficie de la pirámide triangular es de 254,88 centímetros cuadrados.

Anota esta fórmula en tu cuaderno.

Trata de realizar estos ejercicios por tu cuenta.

Encuentra el área de superficie de cada pirámide.

Ejemplo A

Una pirámide cuadrada con lados de 6 centímetros, una altura de pendiente de 5 centímetros

Solución: $96 \ cm^2$

Ejemplo B

Una pirámide rectangular con una longitud de 6 pulgadas, un ancho de 4 pulgadas y una altura de pendiente de 3 pulgadas

Solución: $54 \ in^2$

Ejemplo C

Una pirámide cuadrada con lados de 8 pulgadas, una altura de pendiente de 9 pulgadas

Solución: $208 \ in^2$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Después de una semana trabajando envolviendo regalos, Candice y Trevor se empezaron a sentir a gusto. Ninguno de los pensaba que podía haber un paquete demasiado difícil de envolver Habían envuelto muchas cajas con forma regular y algunas cosas que tenían formas extrañas.

Pero después de una semana trabajando, se sentían unos expertos. Entonces, un sábado en la mañana, se encontraron con un problema interesante. Llegó una niña con una caja en la mano.

“Bien, para averiguarlo, necesitas las dimensiones de la pirámide para la cantidad de área de superficie que se va a pintar. Déjame ver la caja y veré si puedo ayudarte”, dijo Candice y tomó la caja.

La caja dice que una vez que la pirámide esté construida, tendrá una base de 7,7 centímetros, una altura de 6,2 centímetros y una altura de su pendiente de 7,3 centímetros.

“Bien, sé lo que tengo que hacer”, dijo Candice sonriendo, mientras sacaba papel y una calculadora.

Primero, Candice necesita encontrar el área de superficie de la base. Puede usar esta fórmula.

$A = \frac{1}{2} bh$

$A = \frac{1}{2} (7.7)(6.2)$

$A = 23.87 \ sq. cm$

Ahora, puede usar la fórmula del área de superficie.

$SA = \frac{1}{2}P \times sh + B$

$SA = \frac{1}{2} (23.1) \times 7.3 + 23.87$

$SA = 84.315 + 23.87$

$SA = 108.19 \ cm^2$

El área de superficie de la pirámide es de 108,19 centímetros cuadrados.

“Necesitas encontrar pintura para cubrir 108,19 centímetros cuadrados. Eso será suficiente. Prueba en la tienda de hobby, ellos te ayudarán”, dijo Candice, mientras dibujaba la figura en un papel y se lo entregaba a la niña.

La niña sonrió y le dio las gracias. Candice se sentía bien por su habilidad de usar las matemáticas para resolver el problema.

Vocabulario

Pirámide: Un objeto tridimensional con un polígono como base y triángulos como lados que se unen en un único vértice.

Área de Superficie: La medida de la cubierta exterior o superficie de una figura tridimensional.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Encuentra el área de superficie de la siguiente pirámide triangular.

Base de 8 centímetros, altura de 7 centímetros y altura de pendiente de 6 centímetros.

Respuesta

Primero, necesitamos encontrar el área de superficie de las cuatro caras laterales. Ella puede usar esta fórmula.

$A & = \frac{1}{2} bh\\\A & = 4 \left [ \frac{1}{2} (8)(7) \right ]\\\A & = 112 \ sq. cm$

Ahora, puede encontrar el área de la base.

$A & = s^2\\\A & = 8(8)\\\A & = 64 \ sq. cm$

El área de superficie de la pirámide es de 176 centímetros cuadrados.

Video de repaso

Watch this video about the surface area of pyramids.

Practica

Instrucciones: Encuentra el área de superficie de cada pirámide cuadrada. Recuerda que $b$ significa base $sh$ altura de pendiente.

1. $b = 4 \ in, \ sh = 5 \ in$

2. $b = 4 \ in, \ sh = 6 \ in$

3. $b = 6 \ in, \ sh = 8 \ in$

4. $b = 5 \ in, \ sh = 7 \ in$

5. $b = 7 \ m, \ sh = 9 \ m$

6. $b = 8 \ m, \ sh = 10 \ m$

7. $b = 9 \ cm, \ sh = 11 \ cm$

8. $b = 11 \ m, \ sh = 13 \ m$

9. $b = 6 \ in, \ sh = 9 \ in$

10. $b = 10 \ cm, \ sh = 12 \ cm$

Instrucciones : Encuentra el área de superficie de cada pirámide rectangular.

11. $l = 10 \ in, w = 8 \ in, sh = 6 \ in$

12. $l = 12 \ ft, w = 8 \ ft, sh = 10 \ ft$

13. $l = 4 \ in, w = 2 \ in, sh = 3 \ in$

14. $l = 16 \ m, w = 12 \ m, sh = 11 \ m$

15. $l = 15 \ in, w = 10 \ in, sh = 12 \ in$

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