Área de Superficie y Volumen de Conos

En esta sección aprenderás a encontrar el área de superficie de conos mediante el uso de fórmulas.

¿Haz tratado alguna vez de encontrar la extensión de un cono? Observa este problema.

Jessica fue a comprar papel a una tienda de tarjetas. Ella está decorando sombreros de fiesta con forma de cono y los envuelve con papeles de colores. Cada sombrero tiene un radio de 4 centímetros y una altura de pendiente de 8 centímetros.

Si quiere envolver 6 sombreros, ¿cuánto papel necesitará?

Esta Sección te enseñará a encontrar el área de superficie de conos. Entonces, sabrás cómo resolver este problema.

Orientación

Anteriormente, hemos trabajado con pirámides y área de superficie. Observemos algunos conos.

Los conos tienen diferentes desarrollos. Imagina que puedes desenrollar uno.

El círculo ensombrecido es la base. Recuerda, los conos siempre tienen base circulares. La parte no ensombrecida del cono representa el lado. Técnicamente, no llamamos a esto una cara porque tiene una arista redonda.

Para encontrar el área de superficie de un cono, necesitamos calcular el área de la base circular y del lado, luego sumarlas

La fórmula para encontrar el área de un círculo es $A = \pi r^2$ , donde $r$ es el radio del círculo. Usamos esta fórmula para encontrar el área de la base circular.

El lado del cono es de hecho un pedazo de un círculo, que se llama sector circular. El tamaño del sector circular está determinado por la razón entre el radio del cono y su altura de pendiente o $\frac{r}{s}$ .

Para encontrar el área del sector circular, tomamos el área de la porción del círculo.

$A = \pi r^2 \cdot \frac{s}{r}$

Esto se reduce a $\pi rs$ .

Para encontrar el área del lado del cono, entonces, multiplicamos el radio, la altura de pendiente y pi.

Este puede parecer difícil, pero a medida que practicas con algunos ejemplos, verás que se vuelve más fácil a medida que avanzas.

¿Cuál es el área de superficie de la siguiente figura?

Ahora que tenemos las medidas de los lados del cono, calculemos el área de cada uno. Recuerda usar la fórmula de área correcta.

$& \text{bottom face} && \text{side}\\\& A = \pi r^2 && A = \pi rs\\\& \pi (5)^2 && \pi (5) (11)\\\& 25 \pi && \pi (55)\\\& 78.5 && 55 \pi\\\& && 172.7$

Sabemos el área de cada lado del cono cuando aproximamos pi a 3,14. Ahora podemos sumarlas y encontrar el área de superficie de todo el cono.

$& \text{bottom face} \qquad \quad \text{side} \qquad \quad \ \text{surface area}\\\& 78.5 \qquad \quad \ \ + \quad \ 172.7 \ \ = \ \ \ 251.2 \ in.^2$

Ahora, podemos observar lo que hicimos para resolver este problema. Usamos la fórmula $A = \pi r^2$ para encontrar el área de la base circular. Luego, encontramos el área del lado multiplicando $\pi rs$ . Cuando sumamos todo, obtenemos un área de superficie de 251,2 pulgadas cuadradas para este cono.

Los conos tienen una fórmula diferente porque tienen una base circular. Pero la idea general es la misma. La fórmula es un atajo que nos ayuda a combinar el área de la base circular y el área del lado del cono. Aquí se ve cómo luciría la fórmula.

$SA = \pi r^2 + \pi rs$

La primera parte de la fórmula, $\pi r^2$ , simplemente es la fórmula de área de círculos. Esto representa el área de la base. La segunda parte, como hemos visto, representa el área del lado del cono. Simplemente juntamos las piezas y calculamos el área de ambas partes de una sola vez. Intentémoslo.

¿Cuál es el área de superficie del cono?

Sabemos que el radio de este cono es de 3 pulgadas y la altura de pendiente es de 9 pulgadas. Simplemente colocamos este valores para $r$ y $s$ en la fórmula y calculamos $SA$ , el área de superficie.

$SA & = \pi r^2 + \pi rs\\\SA & = \pi (3^2) + \pi (3)(9)\\\SA & = 9 \pi + 27 \pi\\\SA & = 36 \pi\\\SA & = 113.04 \ in.^2$

Este cono tiene un área de superficie de 113,04 pulgadas cuadradas.

Un cono tiene un radio de 2,5 metros y una altura de pendiente de 7,5 metros. ¿Cuál es el área de superficie?

Esta vez, no tenemos la imagen del cono, por lo que deberemos leer cuidadosamente el problema. Sin embargo, nos dice que el radio y la altura de pendiente del cono, así podemos colocar estos números para $r$ y $s$ y resolver.

$SA & = \pi r^2 + \pi rs\\\SA & = \pi (2.5^2) + \pi (2.5)(7.5)\\\SA & = 6.25 \pi + 18.75 \pi\\\SA & = 25 \pi\\\SA & = 78.5 \ in.^2$

Este cono tiene un área de superficie de 78,5 pulgadas cuadradas.

Tómate unos minutos para anotar esta fórmula en tu cuaderno.

Ahora, intenta realizar algunos por tu cuenta.

Encuentra la superficie de cada cono.

Ejemplo A

Radio = 4 pulgadas, altura de pendiente = 6 pulgadas

Solución: $125.6 \ in^2$

Ejemplo B

Radio = 3,5 pulgadas, altura de pendiente = 5 pulgadas

Solución: $93.42 \ in^2$

Ejemplo C

Radio = 5 metros, altura de pendiente = 7 metros

Solución: $188.4 \ m^2$

¡Estás en lo correcto! ¡Solo asegúrate de colocar los números en el lugar correcto de la fórmula!

Ahora volvamos con Jessica y los sombreros.

Jessica está decorando sombreros de fiesta con forma de cono y los envuelve con papeles de colores. Cada sombrero tiene un radio de 4 centímetros y una altura de pendiente de 8 centímetros. Si quiere envolver 6 sombreros, ¿cuánto papel necesitará?

Este problema involucra un cono. No incluye dibujo, por lo que sería útil dibujar un desarrollo. En tu dibujo, escribe el radio y la altura de pendiente del cono. También podemos usar la fórmula. Simplemente colocamos el radio y la altura de pendiente en las variables apropiadas de la fórmula y calculamos $SA$ .

$SA & = \pi r^2 + \pi rs\\\SA & = \pi (4)^2 + \pi (4) (8)\\\SA & = 16 \pi + 32 \pi\\\SA & = 48 \pi\\\SA & = 150.72 \ cm^2$

Jessica necesitará 150,72 centímetros cuadrados de papel para envolver un sombrero.

Pero aún no hemos términado. Recuerda, ella quiere envolver 6 sombreros. Entonces, multiplicamos el área de superficie de un sombrero por 6 para encontrar la cantidad total de papel que necesita: $150.72 \times 6 = 904.32$ .

Jessica necesitará 904,32 centímetros cuadrados de papal para envolver los 6 sombreros.

Vocabulario

Cono: Un objeto tridimensional con un círculo como base y un lado alrededor de la base que se conecta en un vértice en la cúspide.

Área de Superficie: La medida exterior o superficie de una figura tridimensional.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Encuentra el área de superficie de un cono que tiene un radio de 4,5 pulgadas y una altura de pendiente de 8 pulgadas.

Respuesta

Para averiguarlo, podemos usar la fórmula para encontrar el área de superficie de un cono.

$SA = \pi r^2 + \pi rs$

$SA = \pi (4.5)^2 + \pi (4.5)(8)$

$SA = 63.585 + 113.04$

$SA = 176.625$

$SA = 176.63 \ in^2$

Esta es nuestra respuesta.

Video de repaso

Watch this video about the surface area of cones.

Practica

Instrucciones: Encuentra el área de superficie de cada cono. Recuerda que $sh$ significa altura de pendiente y $r$ significa radio.

1. $r = 4 \ in, \ sh = 5 \ in$

2. $r = 5 \ m, \ sh = 7 \ m$

3. $r = 3 \ cm, \ sh = 6 \ cm$

4. $r = 5 \ mm, \ sh = 8 \ mm$

5. $r = 8 \ in, \ sh = 10 \ in$

6. $r = 11 \ cm, \ sh = 14 \ cm$

7. $r = 12 \ in, \ sh = 16 \ in$

8. $r = 3.5 \ cm, \ sh = 6 \ cm$

9. $r = 4.5 \ mm, \ sh = 7 \ mm$

10. $r = 6 \ cm, \ sh = 8 \ cm$

11. $r = 7.5 \ cm, \ sh = 9 \ cm$

12. $r = 10 \ cm, \ sh = 12 \ cm$

13. $r = 16 \ cm, \ sh = 18 \ cm$

14. $r = 13 \ cm, \ sh = 20 \ cm$

15. $r = 15.5 \ cm, \ sh = 18.5 \ cm$

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