Volumen de Prismas Rectangulares

En esta sección aprenderás a encontrar volúmenes de prismas rectangulares mediante fórmulas

¿Haz tenido alguna vez un trabajo con muchas tareas?

Una de las tareas que tienen Candice y Trevor es llenar cajas con bolitas de polietileno cuando envolvían algo que era frágil. Las bolsas pueden contener una buena cantidad de bolitas. Cada día, uno de los estudiantes va a la bodega a buscar un saco grande de bolitas de polietileno. Luego rellenan hasta la mitad entre 5 y 10 cajas con bolitas en caso de que las necesiten.

“Me pregunto cuánto puede contener cada caja”, le pregunto Candice a Trevor.

“Creo que depende de la caja. Creo que la caja delgada y alta puede contener más que la caja baja”, dijo Trevor desafiándola.

“No creo. Piensa. La caja alta parece que puede contener más, pero puedes esparcir las bolitas en la caja ancha. Creo que la caja baja y ancha puede contener más”

“Probemos”, dijo Candice. “Podemos rellenarlas y luego contar todas las bolitas”.

“Hay una forma más fácil. Podemos usar las dimensiones y calcular el volumen de cada caja”.

Candice está un poco consternada. Ella cree que contar todas las bolitas será una forma más rápida de saber la respuesta. Luego de discutir, deciden probar ambos métodos. Candice comienza rellenado las cajas y Trevor comienza a realizar los cálculos matemáticos”.

Aquí están las dimensiones de las dos cajas:

La caja alta tiene una longitud de 5 pulgadas, un ancho de 4 pulgadas y una altura de 18 pulgadas.

La caja ancha y baja tiene una longitud de 12 pulgadas, un ancho de pulgadas y una altura de 5 pulgadas.

¿Qué caja crees que tiene mayor volumen? Esta Sección es sobre calcular el volumen de los prismas. Pon atención y aprenderás a calcular esto al final de la Sección.

Orientación

Antes, ya haz escuchado la palabra “volumen” a diario. Podemos hablar sobre el volumen de agua en una piscina o en un vaso. Esta Sección se centrará en cómo podemos encontrar el volumen de un prisma.

Un prisma es una figura tridimensional con dos bases paralelas congruentes y caras rectangulares como lados. El prisma es nombrado por el polígono que define su base.

Volumen es la medida de cuánto espacio tridimensional ocupa o contiene.

Imagina un acuario. Su longitud, ancho y alto determina cuánta agua contendrá el tanque. Si lo llenamos con agua, la cantidad de agua nos dirá el volumen del tanque.

Medimos el volumen en unidades cúbicas, porque estamos multiplicando tres dimensiones: longitud, ancho y alto.

Veremos varias maneras de calcular el volumen. Una forma es usar unidades cúbicas.

El volumen, como hemos dicho, es la cantidad de espacio tridimensional que un sólido ocupa. Una forma de encontrar el volumen de un prisma es considerar cuántas unidades cúbicas puede contener. Una unidad cúbica simplemente es un cubo que sus lados miden una pulgada, o un centímetro, o un pie, etc. A continuación, se presentan algunas unidades cúbicas.

Usamos unidades cúbicas como una forma de medir el espacio dentro de una figura sólida o su volumen. Simplemente contamos el número de unidades cúbicas que “caben” dentro del prisma. Comenzamos contando el número de cubos que cubren la base del prisma y luego contamos cada capa. Veamos cómo funciona.

¿Cuántos cubos ves aquí? Si contamos todos los cubos, verás que tenemos 24 cubos en este prisma.

El volumen de este prisma es 24 $\text{units}^3$ o unidades cúbicas.

Veámos otro.

Encuentra el volumen de las siguientes figuras usando unidades cúbicas.

¿Cuántos cubos hay en esta figura? Podemos ver que si contamos todos los cubos, tenemos 48 cubos.

El volumen de este prisma es 48 unidades cúbicas o $\text{units}^3$ .

¿Observas algún patrón aquí?

Si miras cuidadosamente, verás que el volumen del prisma rectangular es una función de multiplicar la longitud $\times$ el ancho $\times$ el alto.

¡Aquí está nuestra fórmula!

Acabamos de descubrir la fórmula para encontrar el volumen de un prisma rectangular. Ahora perfeccionemos un poco más la fórmula. Aquí está.

$V=Bh$

El volumen es igual a $B$ , el área de la base del prisma por la altura del prisma.

Observemos otro.

Encuentra el volumen del siguiente prisma.

Simplemente colocamos los valores para la longitud, el ancho y la altura en las variables apropiadas de la fórmula. Luego calculamos $V$ , el volumen.

Primero debemos encontrar el área de la base. Es el lado rectangular de la base. Recuerda, para encontrar el área de un rectángulo multiplicamos la longitud por el ancho.

$B & = lw\\\B & = 16 \times 9\\\B & = 144 \ cm^2$

El área de la base es 144 centímetros cuadrados. Ahora simplemente multiplicamos esto por la altura, que representa el número de capas del prisma

$V & = Bh\\\V & = 144 \times 4\\\V & = 576 \ cm^3$

El volumen de este prisma rectangular es de 576 centímetros cúbicos.

Podemos trabajar con el mismo prisma rectangular, pero también llenarlo con unidades cúbicas.

Puedes ver que pudimos contar las unidades cúbicas para encontrar el volumen del prisma rectangular. La otra opción es multiplicar las medidas que vemos. Esto podría funcionar. Intentémoslo y veámos.

$V & = lwh\\\V & = (16)(9)(4)\\\V & = 576 \ cm^3$

¡Vaya! Obtuvimos la misma respuesta!

Encuentra el volumen de cada prisma rectangular dadas las siguientes dimensiones.

Ejemplo A

Longitud de 10 pulgadas, ancho de 8 pulgadas, altura de 6 pulgadas

Solución: $480$ $in^3$

Ejemplo B

Longitud de 8 metros, ancho de 7 metros, altura de 3 metros

Solución: $168$ $m^3$

Ejemplo C

Longitud de 15 pies, ancho de 12 pies, altura de 11 pies

Solución: $1980$ $ft^3$

Revisemos el problema introductorio nuevamente. Vuelve a leerlo y luego usa las matemáticas con Trevor para encontrar el volumen de ambas cajas.

“Me pregunto cuánto puede contener cada caja”, le pregunto Candice a Trevor.

“Creo que depende de la caja. Creo que la caja delgada y alta puede contener más que la caja baja”, dijo Trevor desafiándola.

“No creo. Piensa. La caja alta parece que puede contener más, pero puedes esparcir las bolitas en la caja ancha. Creo que la caja baja y ancha puede contener más”

“Probemos”, dijo Candice. “Podemos rellenarlas y luego contar todas las bolitas”.

“Hay una forma más fácil. Podemos usar las dimensiones y calcular el volumen de cada caja”.

Aquí están las dimensiones de las dos cajas:

La caja alta tiene una longitud de 5 pulgadas, un ancho de 4 pulgadas y una altura de 18 pulgadas.

La caja ancha y baja tiene una longitud de 12 pulgadas, un ancho de pulgadas y una altura de 5 pulgadas.

Primero, podemos averiguar el volumen de ambas cajas. Podemos hacer esto multiplicando la longitud $\times$ el ancho $\times$ la altura de ambas cajas.

Primero resolvamos la caja alta.

$V&=lwh\\\V&=5(4)(18) \\\V&=360 \ cubic \ inches$

Ahora, podemos encontrar el volumen de la caja ancha y baja.

$V& =lwh \\\V & =(6)(5)(12) \\\V & =360 \ cubic \ inches$

“¡VAYA!”, exclamó Trevor mientras Candice seguía contando.

“¿Qué?”, preguntó Candice mirando por sobre el montón de bolitas.

“¡Tienen el mismo volumen!”

Trevor tomo su papel y le mostró su trabajo a Candice. Luego sonrió y los dos comenzaron a recoger las bolitas. ¡Usar la aritmética fue definitivamente más rápido!

Vocabulario

Prisma: Una figura tridimensional con dos bases poligonales paralelas planas y caras rectangulares. Las bases pueden tener la forma de cualquier polígono.

Volumen: La medida del espacio dentro de una figura sólida. El volumen a menudo se mide en términos de la capacidad relacionada con medidas de líquidos.

Unidades Cúbicas: El volumen se mide en unidades cúbicas porque tres partes de un sólido están siendo medidas, la longitud, el ancho y la altura.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Carla está limpiando su acuario, por lo que lleno la tina para sus peces mientras ella vaciaba el tanque. Si la tina tiene 5,5 pies de longitud, 3,3 de ancho y 2,2 de profundidad, ¿cuánta agua puede contener?

Respuesta

En primer lugar, ¿cuál es el problema que debemos resolver? Necesitamos encontrar el volumen de la tina. ¿La tina es un prisma rectangular o triangular? Es un prisma triangular, por lo que necesitaremos usar la fórmula del área de rectángulos para encontrar $B$ .

$B & = lw\\\B & = 5.5 \times 3.3\\\B & = 18.15 \ ft^2$

Ahora, colocamos este valor en la fórmula y resolvemos:

$V & = Bh\\\V & = 18.15 \times 2.2\\\V & = 39.93 \ ft^3$

La tina de Carla puede contener 39,93 pies cúbicos de agua.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a Khan Academy video on solid geometry volume.

Practica

Instrucciones: Encuentra el volumen de cada prisma rectangular. Recuerda escribir tus respuestas en unidades cúbicas.

1. Longitud = 5 pulgadas, width = 3 pulgadas, altura = 4 pulgadas

2. Longitud = 7 m, ancho = 6 m, altura = 5 m

3. Longitud = 8 cm, ancho = 4 cm, altura = 9 cm

4. Longitud = 8 cm, ancho = 4 cm, altura = 12 cm

5. Longitud = 10 pies, ancho = 5 pies, altura = 6 pies

6. Longitud = 9 m, ancho = 8 m, altura = 11 m

7. Longitud = 5.5 pulgadas, ancho = 3 pulgadas, altura = 5 pulgadas

8. Longitud = 6.6 cm, ancho = 5 cm, altura = 7 cm

9. Longitud = 7 pies, ancho = 4 pies, altura = 6 pies

10. Longitud = 15 m, ancho = 8 m, altura = 10 m

11. Longitud = 10.5 m, ancho = 11 m, altura = 4 m

12. Longitud = 12 pies, ancho = 12 pies, altura = 8 pies

13. Longitud = 16 pulgadas, ancho = 8 pulgadas, altura = 8 pulgadas

14. Longitud = 12 m, ancho = 12 m, altura = 12 m

15. Longitud = 24 pulgadas, ancho = 6 pulgadas, altura = 6 pulgadas

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