Volumen de Primas Triangulares

Aquí calcularas volúmenes de prismas triangulares por medio de fórmulas.

¿Haz estado alguna vez en un acuario?

En su día libre, Candice y Trevor fueron al acuario. El Acuario de Berryville tiene un tanque de tiburones con la forma de un prisma triangular. Hay un solo tiburón en el tanque, por lo que en ese momento el tanque está solamente $\frac{2}{3}$ lleno.

¿Cuántos pies cúbicos de agua hay en el tanque?

Para averiguar esto, necesitarás saber cómo calcular el volumen de prismas triangulares. Pon mucha atención y verás de nuevo este problema al final de la Sección.

Orientación

Anteriormente, trabajamos con prismas rectangulares, ahora vamos a ver el volumen de prismas triangulares.

¿Cuál es la diferencia entre un prisma rectangular y un prisma triangular?

Un prisma triangular tiene dos caras paralelas que son rectángulos, así las otras caras son rectángulos también. En un prisma triangular, las dos caras paralelas son triángulos y así las otras caras aún son rectángulos. Aquí hay una imagen de un prisma triangular.

Calculamos el volumen de prismas triangulares casi de la misma forma que encontramos el volumen de prismas rectangulares. También usamos la fórmula $V = Bh$ . Sin embargo, en esta ocasión la capa inferior del prisma es un triángulo, no un rectángulo. Por lo tanto, necesitamos usar la fórmula del área del triángulo para encontrar $B$ . Luego, podemos multiplicar esta cantidad por la altura.

Observemos un problema para ver cómo funciona esto.

¿Cuál es el volumen de este prisma triangular?

Como hemos visto, la fórmula del volumen para cualquier prisma es $V = Bh$ . Primero, necesitamos encontrar el área de la base. Debido a que la base es un triángulo, necesitamos usar la fórmula para el área de un triángulo: $\frac{1}{2} bh$ . La altura de un triángulo, $h$ , está indicada en la línea discontinua. La base del triángulo, $b$ , es el lado perpendicular a la altura. Recuerda, podemos usar las medidas de la altura y la base para la cara triangular, no la medida de la altura para todo el prisma. ¡Observa atentamente la imagen!

Entonces, hay dos cosas que necesitamos; debemos encontrar el área de una de las bases triangulares y luego, podemos tomar esas medidas y multiplicarlas por la altura del prisma entero.

$V & = Bh\\\B & = \frac{1}{2} bh\\\B & = \frac{1}{2}(16)(6)\\\B & = 48\\\V & = (48)H\\\V & = (48)(10)\\\V & = 480 \ in^3$

El volumen de este prisma triangular es $480 \ inches^3$ .

Encuentra el volumen de los siguientes prismas triangulares.

Ejemplo A

$b = 12 \ in, \ h = 10 \ in, \ H = 15 \ in$

Solución: $900 \ in^3$

Ejemplo B

$b = 7 \ cm, \ h = 5 \ cm, \ H = 9 \ cm$

Solución: $157.5 \ cm^3$

Ejemplo C

$b = 4 \ mm, \ h = 3 \ mm, \ H = 5 \ mm$

Solución: $30 \ mm^3$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

¿Cuántos pies cúbicos de agua hay en el tanque?

Este problema es algo complicado porque consta de dos partes. Primero, debemos averiguar cuánta agua hay en el tanque si estuviera totalmente lleno. Luego podemos averiguar los dos tercios de ese volumen.

Comencemos. Aquí está la fórmula del volumen de un prisma.

$V = Bh$

Nuestra $B$ es la base del prisma, el cual es rectangular. Aquí está la fórmula para encontrar el área de un triángulo.

$B = \frac{1}{2}bh$

$B = \frac{1}{2}(120)(80)$

$B = 4800$

Ahora, podemos usar esta medida en la fórmula del volumen.

$V = (4800)(100)$

$V = 480,000 \ ft^3$

Este es el volumen del tanque si estuviera lleno. Sin embargo, debemos averiguar dos tercios de esta cantidad.

$V = \frac{2}{3}(480,000)$

$V = 320,000 \ ft^3$

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Prisma: Un sólido tridimensional con dos bases poligonales paralelas y planas y caras rectangulares. Las bases pueden tener la forma de cualquier polígono.

Volumen: La medida del espacio dentro de una figura sólida. El volumen a menudo se mide en términos de capacidad relacionada con medidas de líquidos.

Unidades Cúbicas: El volumen se mide en unidades cúbicas porque se miden tres partes de un sólido, longitud, ancho y altura.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Cada año, Jeanie recibe una botella de su perfume favorito por su cumpleaños. El perfume viene en una botella con la forma de un prisma triangular. A ella le preocupa quedarse sin perfume antes de su siguiente cumpleaños porque la botella está hasta la mitad. ¿Cuánto perfume le queda?

Respuesta

Primero, pensemos sobre el problema que debemos averiguar. Necesitamos saber cúanto perfume le queda a Jeanie. Esto significa que debemos encontrar el volumen de una botella llena y luego dividirlo por 2. Antes de que podamos usar la fórmula, también debemos decidir qué tipo de prisma es la botella. El problema nos dice que la botella tiene la forma de un prisma triangular, por lo que necesitaremos usar la fórmula de área de triángulos para encontrar el área de la base, $B$ .

$B & = \frac{1}{2} bh\\\B & = \frac{1}{2} (6) (4)\\\B & = 3 (4)\\\B & = 12 \ cm^2$

El área de la base es 12 centímetros cuadrados. Ahora podemos colocar esto en la fórmula del volumen y resolver.

$V & = Bh\\\V & = 12 \times 9\\\V & = 108 \ cm^3$

Ahora sabemos que el volumen de la botella de perfume es de 108 centímetros cúbicos. Esta es la cantidad que una botella llena puede contener. Recuerda, la botella de Jeanie solo tiene la mitad. Por lo tanto, necesitamos dividir el volumen por la mitad:

$108 \ cm^3 \div 2 = 54 \ cm^3$

Quedan 54 centímetros cúbicos de perfume.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a Khan Academy video on solid geometry volume.

Practica

Instrucciones: Encuentra el volumen de cada prisma triangular. Recuerda que $h$ es la altura de la base triangular y $H$ es la altura de todo el prisma.

1. $b = 6 \ in, \ h = 4 \ in, \ H = 5 \ in$

2. $b = 7 \ in, \ h = 5 \ in, \ H = 9 \ in$

3. $b = 10 \ m, \ h = 8 \ m, \ H = 9 \ m$

4. $b = 12 \ m, \ h = 10 \ m, \ H = 13 \ m$

5. $b = 8 \ cm, \ h = 6 \ cm, \ H = 9 \ cm$

6. $b = 9 \ cm, \ h = 7 \ cm, \ H = 8 \ cm$

7. $b = 5.5 \ mm, \ h = 4 \ mm, \ H = 4 \ mm$

8. $b = 11 \ cm, \ h = 9 \ cm, \ H = 8 \ cm$

9. $b = 20 \ ft, \ h = 17 \ ft, \ H = 19 \ ft.$

10. $b = 20 \ ft, \ h = 18 \ ft, \ H = 15 \ ft.$

11. $b = 18 \ ft, \ h = 16 \ ft, \ H = 17 \ ft.$

12. $b = 24 \ ft, \ h = 21 \ ft, \ H = 19\ ft.$

13. $b = 24.5 \ ft, \ h = 18 \ ft, \ H = 16 \ ft.$

14. $b = 99 \ ft, \ h = 80 \ ft, \ H = 75 \ ft.$

15. $b = 100 \ ft, \ h = 80 \ ft, \ H = 110 \ ft.$

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