Volumen de Cilindros

En esta sección aprenderás a encontrar el volumen de cilindros mediante fórmulas.

“Necesito una nueva botella deportiva y he preseleccionado dos, pero estoy tratando de averiguar cuál es la mejor”, le dijo Trevor a Candice una mañana.

“¿Qué hace a una mejor que la otra?”, preguntó Candice.

“Bueno, quiero la que contenga más volumen”, dijo Trevor.

“¿No puedes averiguarlo por el número de onzas que sale en el envase?”, preguntó Candice.

“Bueno, podría. Pero quiero saber cuántas pulgadas cúbicas”, dijo Trevor. “La que contenga más pulgadas cúbicas será la mejor. Quiero averiguarlo usando las matemáticas”.

“De acuerdo, necesitas la altura y el radio de cada botella para hacerlo. Definitivamente parece más trabajo para mí, pero puedo probarlo usando las matemáticas”.

“Aquí están las dimensiones que tengo”, dijo Trevor sacando un papel. Se lo pasó a Candice.

En el papel, Trevor tenía escrito las siguientes dimensiones.

Botella #1 – Altura = 7,5" Diámetro = 5"

Botella #2 – Altura = 9" Diámetro = 3"

“Primero, necesitas el radio, así que divide cada diámetro por la mitad”, dijo Candice mirando el papel.

Mientras Trevor trabaja en esto, necesitarás algo de tiempo para aprender sobre volumen y cilindros. En esta Sección, aprenderás a usar fórmulas para encontrar el volumen de cilindros. Al final de la Sección, serás capaz de ayudar a Candice y a Trevor con el problema de la botella deportiva.

Orientación

En esta Sección, aprenderemos a encontrar el volumen de cilindros. Un cilindro es una forma sólida que existe en el espacio tridimensional. Un cilindro tiene dos caras que son círculos. No les decimos caras al lado del cilindro porque es curvo. Aún así, debemos incluir su área en el área de superficie total del cilindro. Vemos cilindros todos los días. Aquí esta la forma básica de un cilindro, piensa en cuántos otros lugares los puedes ver.

El volumen de un cilindro es la medida de cuánto espacio tridimensional ocupa o contiene. Imagina un termo. Su tamaño determina cuánta agua contendrá. Si lo llenamos, la cantidad de agua nos dirá el volumen del termo. Medimos el volumen en unidades cúbicas , porque estamos multiplicando tres dimensiones: longitud, ancho y altura. El ancho del termo es mismo que el diámetro de las caras circulares.

Hay diferentes formas de examinar y pensar sobre volumen. Una forma es usar unidades cúbicas. Observa este diagrama de un cilindro para entender esta idea.

Aquí puedes ver que se están ocupando los cubos como unidad para llenar el cilindro. Recuerda que ya que estamos hablando sobre volumen, estamos midiendo el espacio contenido dentro del cilindro. Esto puede ser difícil con un cilindro porque las bases que son cuadrados redondeados no son exactamente redondas, por lo que debemos encontrar otra forma de medir el volumen de un cilindro.

Veamos qué información vamos a necesitar para averiguar el volumen de un cilindro. Sabemos que las dos bases son circulares, por lo que vamos a necesitar saber el área del círculo para averiguar cuánto espacio puede estar contenido sobre esta. Un cilindro es alto o tiene altura, así que necesitaremos saber la altura del cilindro. Entonces, sabremos qué tan alto es el espacio dentro del cilindro.

Primero, pensemos en el área de las bases circulares. Para encontrar el área de un círculo, podemos usar la siguiente fórmula.

$A= \pi r^2$

Pero también tenemos la altura $(h)$ del cilindro para representar en el cálculo. Si colocamos todas las piezas juntas, obtenemos la siguiente fórmula.

$V= \pi r^2 h$

Tómate un minuto y anota esta copia en tu cuaderno.

Ahora veamos cómo aplicar esta fórmula mientras trabajamos en un par de ejemplos.

Encuentra el volumen de un cilindro con un radio de 5 cm y una altura de 7 cm.

Podemos comenzar substituyendo los valores del cilindro a nuestra fórmula.

$V & = \pi r^2 h \\\V & = (3.14)(5^2 )(7) \\\V & =(3.14)(25)(7) \\\V & = 549.5 \ cm^3$

Esta es nuestra respuesta. Observa que hemos medido el volumen del cilindro en unidades cúbicas porque estamos multiplicando tres medidas diferentes.

Veamos otro ejemplo.

Encuentra el volumen de un cilindro con un diámetro de 12 pulgadas y una altura de 8 pulgadas.

Primero, observa que conocemos el diámetro y no el radio. Podemos dividir 12 pulgadas por la mitad y esto nos dará el radio de la base circular del cilindro.

Radio = 6 pulgadas.

Ahora podemos substituir los valores a fórmula y calcular el volumen.

$V & = \pi r^2 h \\\V & = (3.14)(36)(8) \\\V & = 904.32 \ in^3$

Esta es nuestra respuesta.

Encuentra el volumen de cada cilindro.

Ejemplo A

radio = 3 pulgadas, altura = 7 pulgadas

Solución: $197.82 \ in^3$

Ejemplo B

radio = 2,5 mm, altura = 4 mm

Solución: $78.5 \ mm^3$

Ejemplo C

diámetro = 14 pulgadas, altura = 9 pulgadas

Solución: $1384.74 in^3$

Revisemos el problema introductorio nuevamente. Piensa en lo que has aprendido mientras Trevor y Candice averiguan el volumen de cada botella deportiva.

“Necesito una nueva botella deportiva y he preseleccionado dos, pero estoy tratando de averiguar cuál es la mejor”, le dijo Trevor a Candice una mañana.

“¿Qué hace a una mejor que la otra?”, preguntó Candice.

“Bueno, quiero la que contenga más volumen”, dijo Trevor.

“¿No puedes averiguarlo por el número de onzas que sale en el envase?”, preguntó Candice.

“Bueno, podría. Pero quiero saber cuántas pulgadas cúbicas”, dijo Trevor. “La que contenga más pulgadas cúbicas será la mejor. Quiero averiguarlo usando las matemáticas”.

“De acuerdo, necesitas la altura y el radio de cada botella para hacerlo. Definitivamente parece más trabajo para mí, pero puedo probarlo usando las matemáticas”.

“Aquí están las dimensiones que tengo”, dijo Trevor sacando un papel. Se lo pasó a Candice.

En el papel, Trevor tenía escrito las siguientes dimensiones.

Botella #1 – Altura = 7,5" Diámetro = 5"

Botella #2 – Altura = 9" Diámetro = 3"

“Primero, necesitas el radio, asi que divide cada diámetro por la mitad”, dijo Candice mirando el papel.

Después de dividir cada diámetro, aquí están las nuevas dimensiones.

Botella #1 = A = 7,5" Radio = 2,5"

Botella #2 = A = 9" Radio = 1,5"

Luego, usamos la fórmula para encontrar el volumen de la botella #1.

$V & = \pi r^2 h \\\V & = 3.14(2.5^2)(7.5) \\\V & = 147.18 \ cubic \ inches$

Luego, encontramos el volumen de la botella #2.

$V & = \pi r^2 h \\\V & = 3.14(1.5^2)(9) \\\V & = 63.58 \ cubic \ inches$

¡Vaya! ¡Observa la diferencia de los volúmenes! Aún cuando la segunda botella era más alta, el diámetro era más pequño y esto cambió significativamente el volumen el volumen de la botella. ¡La primera botella contiene más del doble de la segunda botella!

Vocabulario

Volumen: la cantidad de espacio contenido dentro un sólido tridimensional. El volumen a menudo se usa para medir capacidad o líquidos.

Unidades Cúbicas: la forma en que medimos el volumen. Se mide en unidades cúbicas porque multiplicamos la longitud, el ancho y la altura de un sólido.

Cilindro: un sólido con dos bases circulares y un lado redondeado y plano.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Un tanque de agua tiene un radio de 50 pies y una altura de 400 pies. ¿Cuántos pies cúbicos de aguta contendrá el tanque cuando esté lleno?

Respuesta

Primero, determinemos cuál es el problema que nos piden resolver. Necesitamos encontrar el volumen del tanque, el cual es la cantidad de agua que puede contener. ¿Qué información conocemos? Sabemos el radio y la altura del tanque, por lo que podemos poner esta información en la fórmula y calcular $V$ , el volumen.

$V & = \pi r^2h\\\V & = \pi (50)^2 (400)\\\V & = \pi (2,500) (400)\\\V & = 1,000,000 \pi\\\V & = 3,140,000 \ in.^3$

¡El tanque de agua contendrá más de 3 millones de pies cúbicos de agua!

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a Khan Academy video on solid geometry volume.

Practica

Instrucciones: Dado el radio y la altura de cada cilindro, encuentra su volumen.

1. $r = 5 \ in, \ h = 8 \ in$

2. $r = 4 \ in, \ h = 7 \ in$

3. $r = 3 \ ft, \ h = 5 \ ft$

4. $r = 3 \ ft, \ h = 8 \ ft$

5. $r = 4 \ cm, \ h = 9 \ cm$

6. $r = 6 \ m, \ h = 12 \ m$

7. $r = 7 \ in, \ h = 14 \ in$

8. $r = 5 \ m, \ h = 10 \ m$

9. $r = 2 \ m, \ h = 11 \ m$

10. $r = 3 \ cm, \ h = 12 \ cm$

11. $r = 6 \ cm, \ h = 11 \ cm$

12. $r = 4 \ m, \ h = 14 \ m$

13. $r = 13 \ cm, \ h = 26 \ cm$

14. $r = 8 \ in, \ h = 14 \ in$

15. $r = 4.5 \ cm, \ h = 16.5 \ cm$

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