Alturas de Cilindros Dado el Volumen

En esta sección aprenderás a encontrar las alturas de cilindros dado el volumen más otra dimensión.

¿Has estado alguna vez en una piscina que tenga una forma peculiar?

La piscina cilíndrica de Trevor tiene la capacidad para contener 15,700 pies cúbicos de agua. Si el diámetro de la piscina es de 50 pies, ¿qué tan profunda es piscina?

Para averiguar esto, necesitarás saber cómo usar el volumen de un cilindro para encontrar otra dimensión. Revisa esta Sección y sabrás cómo encontrar la solución a este problema.

Orientación

Algunas veces, sabrás el volumen de un cilindro, pero no sabrás su altura. Piensa en una torre de agua que tiene una forma cilíndrica. Podemos saber el volumen del tanque, pero no su altura. Cuando pasa esto, podemos usar nuestra fórmula para encontrar la altura faltante del cilindro.

Un cilindro con un radio de 2 pulgadas tiene un volumen de 125,6 pulgadas cúbicas. ¿Cuál es la altura del cilindro?

¿Cuál es el problema que debemos resolver? Necesitamos calcular la altura del cilindro. El problema nos entrega el volumen y el radio. Ponemos estas medidas en la fórmula y luego, calculamos $h$ , la altura.

$V & = \pi r^2h\\\125.6 & = \pi (2)^2 h\\\125.6 & = 4 \pi h\\\125.6 & = 12.56 \ h\\\125.6 \div 12.56 & = h\\\10 \ in. & = h$

La altura del cilindro es de 10 pulgadas.

Hemos usado la fórmula de volumen para calcular $h$ y encontrado que la altura del cilindro es de 10 pulgadas. Podemos revisar nuestro trabajo poniendo este número como la altura. Deberíamos obtener un volumen de 125,6 pulgadas cúbicas.

$V & = \pi r^2h\\\V & = \pi (2)^2 (10)\\\V & = \pi (4) (10)\\\V & = 40 \pi\\\V & = 125.6 \ in.^3$

¡Nuestros cálculos eran correctos! Veamos otro ejemplo.

¿Cuál es la altura de un cilindro que tiene un radio de 6 cm y un volumen de $904.32 \ cm^3$ ?

De nuevo, conocemos el volumen y el radio. Ponemos esta información en la fórmula y calculamos $h$ , la altura.

$V & = \pi r^2h\\\904.32 & = \pi (6)^2 h\\\904.32 & = 36 \pi h\\\904.32 & = 113.04 \ h\\\904.32 \div 113.04 & = h\\\8 \ cm & = h$

La altura de este cilindro es de 8 centímetros.

Encuentra la altura de cada cilindro dado el radio y el volumen.

Ejemplo A

$r = 6 \ in, \ \text{Volume} = 904.32 \ in^3$

Solución: $h = 8 \ in$

Ejemplo B

$r = 3 \ m, \ \text{Volume} = 254.34 \ m^3$

Solución: $h = 9 \ m$

Ejemplo C

$r = 5 \ ft, \ \text{Volume} = 785 \ ft^3$

Solución: $h = 10 \ ft$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

La piscina cilíndrica de Trevor tiene la capacidad para contener 15,700 pies cúbicos de agua. Si el diámetro de la piscina es de 50 pies, ¿qué tan profunda es piscina?

Para averiguar esto, usamos la fórmula para encontrar el volumen de un cilindro.

$V = \pi r^2h$

Luego, llenamos la información dada. Observa que conocemos el diámetro de 50 pies. Necesitamos el radio, por lo que dividimos el diámetro por la mitad. Ya que el problema nos pide la profundidad, la altura será la profundidad de la piscina porque la piscina tiene una forma cilíndrica.

$15,700 = (3.14)(25^2)h$

$15,700 = 1962.5h$

$15,700 \div 1962.5 = h$

$8 = h$

La profundidad de la piscina es de ocho pies.

Vocabulario

Volumen: la cantidad de espacio contenido dentro de un sólido tridimensional. El volumen a menudo se usa para medir la capacidad o los líquidos.

Unidades Cúbicas: la forma en qué medimos el volumen. Se mide en unidades cúbicas porque multiplicamos la longitud, el ancho y la altura de un sólido.

Cilindro: un sólido con dos bases circulares y un lado redondeado y plano.

Práctica Guiada

Javier quiere construir un contenedor cilíndrico que contenga la suficiente agua para el pez que tiene como mascota. Leyó que el pez necesita vivir en 2.110,08 pulgadas cúbicas de agua. Si construye un tanque con un diámetro de 16 pulgadas, ¿qué tan alto debe construirlo para que contenga la cantidad de agua apropiada?

De nuevo, lo primero que debemos hacer es decidir qué problema se nos pide encontrar. Necesitamos saber qué tan alto debe Javier construir el tanque. En otras palabras, necesitamos encontrar la altura del cilindro.

¿Qué información conocemos? Sabemos que el tanque debe contener 2.110,08 pulgadas cúbicas de agua. Este es el volumen. ¿Qué sabemos del radio? Sabemos que el diámetro del tanque será de 16 pulgadas, por lo que el radio será $16 \div 2 = 8$ pulgadas. Colocamos el radio y el volumen en la fórmula del volumen y calculamos $h$ , la altura.

$V & = \pi r^2h\\\2,110.08 & = \pi (8)^2 h\\\2,110.08 & = 64 \pi h\\\2,110.08 & = 200.96h\\\2,110.08 \div 200.96 & = h\\\10.5 \ in. & = h$

Para que el tanque contenga 2.110,08 pulgadas cúbicas de agua, Javier debe construirlo de 10,5 pulgadas de alto.

Video de repaso

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a Khan Academy video on the volume of cylinders.

Practica

Instrucciones: Dado el volumen y el radio, encuentra la altura de cada cilindro.

1. $r = 6 \ in, \ V = 904.32 \ in^3$

2. $r = 5 \ in, \ V = 706.5 \ in^3$

3. $r = 7 \ ft, \ V = 2307.9 \ ft^3$

4. $r = 8 \ ft, \ V = 4019.2 \ ft^3$

5. $r = 7 \ ft, \ V = 1538.6 \ ft^3$

6. $r = 12 \ m, \ V = 6330.24 \ m^3$

7. $r = 9 \ m, \ V = 4069.49 \ m^3$

8. $r = 10 \ m, \ V = 5652 \ m^3$

9. $r = 12 \ in, \ V = 11304 \ in^3$

10. $r = 11 \ ft, \ V = 3039.52 \ ft^3$

11. $r = 10 \ in, \ V = 1570 \ in^3$

12. $r = 9.5 \ in, \ V = 1700.31 \ in^3$

13. $r = 8 \ m, \ V = 1808.64 \ m^3$

14. $r = 14 \ ft, \ V = 5538.96 \ ft^3$

15. $r = 13.5 \ in, \ V = 4005.85 \ in^3$

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