Volumen de Pirámides

En esta sección aprenderás a encontrar el volumen de pirámides por medio de fórmulas.

¿Haz comprado alguna vez una botella de perfume?

Claire ha comprado una botella de perfume con forma de una pirámide triangular. El área de su base es de 48 centímetros cuadrados y su altura es de 28 centímetros.

¿Cuánto contiene la botella cuando está llena exactamente hasta la mitad?

Para averiguarlo, necesitarás saber cómo encontrar el volumen de una pirámide. Pon atención y sabrás cómo hacer esto al final de esta Sección.

Orientación

En esta Sección, aprenderemos a encontrar el volumen de pirámides . Las pirámides son formas sólidas que existen en el espacio tridimensional. Una pirámide tiene lados que son caras triangulares y una base. La base puede tener cualquier forma.

Observemos algunas pirámides.

Como las pirámides, los conos tienen una base y una punta en la cúspide. Sin embargo, los conos siempre tienen una base circular. Solo tienen un lado y este es curvo. Aquí hay una imagen de un cono.

El volumen es la medida de cuánto espacio ocupa o contiene una figura tridimensional. Imagina un embudo. Su tamaño determina cuánta agua contendrá el embudo. Si lo llenamos con agua, la cantidad de agua nos dirá el volumen del embudo. Medimos el volumen en unidades cúbicas, porque estamos trabajando con tres dimensiones: longitud, ancho y altura.

Comencemos mirando cómo podemos encontrar el volumen de una pirámide.

Podemos comenzar comparando una pirámide con una figura similar. Sabemos que un prisma tiene una longitud, un ancho y una altura. Las bases paralelas de un prisma pueden ser cualquier polígono, esta tiene una base cuadrada por lo que podemos nombrarla cubo.

Ahora piensa en una pirámide. Tiene una base que puede ser cualquier polígono y la base de esta pirámide es un cuadrado.

¡Vaya! Son similares, ya que tienen bases cuadradas. Podemos pensar en el volumen de una pirámide observando el volumen del cubo prisma. Veamos una imagen de esto.

Si vamos a encontrar el volumen de este cubo, deberíamos multiplicar la base por el ancho por la atura. Para encontrar el volumen de la pirámide, tomamos el área de la base, $B$ y la multiplicamos por la altura y luego por $\frac{1}{3}$ . Aquí está la fórmula para encontrar el volumen de una pirámide.

$V=\frac{1}{3} Bh$

Sí, así es. Pensar en el volumen de la pirámide de esta forma te ayudará a entender la fórmula y por qué funciona.

Tómate unos minutos y anota esta fórmula en tu cuaderno. Asegúrate de anotar que esta es la fórmula para encontrar el volumen de una pirámide.

Ahora que hemos encontrado la fórmula y entendemos algo sobre el volumen de una pirámide, apliquemos lo que hemos aprendido. Podemos usar la información que hemos reunido hasta aquí para encontrar el volumen de diferentes pirámides.

Debemos recordad que las pirámides pueden ser algo difíciles de trabajar porque pueden tener muchas bases diferentes. Veamos de nuevo la fórmula.

$V=\frac{1}{3} Bh$

La $B$ mayúscula significa que necesitamos encontrar el área de la base. Si la base es un cuadrado, necesitaremos usar una fórmula. Si la base es un triángulo, deberemos usar otra fórmula y así sucesivamente. Asegurarse de que tenemos la fórmula correcta es fundamental cuando trabajamos con pirámides.

Veamos esta información cuando se aplica.

¿Cuál es el volumen de la siguiente pirámide?

Primero, decidamos cuál es la forma de la base de la pirámide. Un lado tiene 10 centímetros y el otro lado 6 centímetros, por lo que debe ser un rectángulo. Necesitamos usar la fórmula del área de rectángulos para encontrar $B$ , el área de la base.

$B & = lw\\\B & = 10 (6)\\\B & = 60 \ cm^2$

El área de la base de esta pirámide es de 60 centímetros cuadrados. Ahora, multiplicamos esto por la altura y $\frac{1}{3}$ , de acuerdo con la fórmula.

$V & = \frac{1}{3} Bh\\\V & = \frac{1}{3} (60) (15)\\\V & = 20 (15)\\\V & = 300 \ cm^3$

El volumen de la pirámide es de 300 centímetros cúbicos.

Recuerda, medimos el volumen en tres dimensiones, por lo que escribimos la respuesta en unidades cúbicas con $a^3$ .

Encuentra el volumen de la siguiente figura.

¿Qué forma tiene la base? Esta vez es un triángulo, por lo que necesitaremos usar la fórmula del área de triángulos para encontrar el área de la base. ¡No confundas la altura del triángulo base con la altura de toda la pirámide!

$B & = \frac{1}{2} bh\\\B & = \frac{1}{2} (8) (3)\\\B & = 4 (3)\\\B & = 12 \ in.^2$

El área de la base de esta pirámide es de 12 pulgadas cuadradas. Pongamos esta información en la fórmula y calculemos $V$ , el volumen.

$V & = \frac{1}{3} Bh\\\V & = \frac{1}{3} (12) (17)\\\V & = 4 (17)\\\V & = 68 \ in.^3$

El volumen de esta pirámide es de 68 pulgadas cúbicas.

Encuentra el volumen de las siguientes pirámides. Puedes aproximar la respuesta a la centena más cercana de ser necesario.

Ejemplo A

Una pirámide cuadrada con una base de 8 cm y una altura de 6 cm.

Solución: $128 \ cm^3$

Ejemplo B

Una pirámide rectangular con una longitud de 10 cm, un ancho de 8 cm y una altura de 9 cm.

Solución: $240 \ cm^3$

Ejemplo C

Una pirámide cuadrada con una base de 5,5 pulgadas y una altura de 4 pulgadas.

Solución: $40.33 \ in^3$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

Claire ha comprado una botella de perfume con forma de una pirámide triangular. El área de su base es de 48 centímetros cuadrados y su altura es de 28 centímetros.

¿Cuánto contiene la botella cuando está llena exactamente hasta la mitad?

Primero, observa que conocemos el área de la base de la botella de perfume. No debemos averiguarla. Esa es nuestra B mayúscula en la fórmula.

$V = \frac{1}{3}Bh$

Ahora, calculemos el volumen total de la botella.

$V = \frac{1}{3}(48)(28)$

$V = \frac{1}{3}(1344)$

$V = 448 \ cm^3$

Este es el volumen de una botella llena. Sin embargo, el problema nos dice que debemos averiguar el volumen de la mitad de la botella. Podemos dividir el volumen por 2.

$V = 448 \div 2 = 224$

El volumen de la mitad de la botella es $224 \ cm^3$ .

Vocabulario

Pirámide: una figura sólida con un polígono como base donde los lados se juntan en un único vértice en la cúspide.

Cono: una figura sólida con una base circular donde los lados son redondeados pero aún así se juntan en único vértice en la cúspide.

Volumen: la cantidad de espacio contenido dentro de una figura sólida.

Práctica Guiada

Felice compró la siguiente vela para el cumpleaños de su amiga. El paquete dice que arde una hora por cada 20 centímetros cúbicos de cera. ¿Cuántas horas tardará en arder toda la vela?

Primero, determina cuál es el problema que se nos pide resolver. Necesitamos encontrar el número de horas que arderá el candelabro. Esto depende de cuán grande sea la vela, por lo que primero debemos hacer es encontrar el volumen. El volumen de una vela es la cantidad de cera que contiene. ¿Qué información conocemos? Sabemos las dimensiones de la base, la cual es un cuadrado, por lo que usemos la fórmula de área de cuadrados para encontrar el área de la base.

$B & = s^2\\\B & = (12)^2\\\B & = 144 \ cm^2$

El área de la base de la pirámide es de 144 centímetros cuadrados. Podemos poner esta información en la formula y calcular $V$ , el volumen.

$V & = \frac{1}{3} Bh\\\V & = \frac{1}{3} (144) (24)\\\V & = 48 (24) \\\V & = 1,152 \ cm^3$

Ahora sabemos que el candelabro contiene 1.152 centímetros cúbicos de cera. ¡Pero aún no hemos terminado! Recuerda, necesitamos saber cuántas horas arderá la vela. Volvamos a ver el problema. Nos dice que la vela arde una hora por cada 20 centímetros cúbicos de cera. Para encontrar cuántas horas arderá, debemos dividir el volumen total de cera por 20.

$1,152 \div 20 = 57.6$

La vela arderá por 57,6 horas.

Video de repaso

Watch this video to learn more about the volume of pyramids.

Practica

Instrucciones: Encuentra el volumen de cada una de las siguientes pirámides.

1. Una pirámide cuadrada con una base de 6 pies y una altura de 9 pies.

2. Una pirámide cuadrada con una base de 8 m y una altura de 10 m.

3. Una pirámide cuadrada con una base de 11 pulgadas y una altura de 13 pulgadas.

4. Una pirámide cuadrada con una base de 9 pies y una altura de 14 pies.

5. Una pirámide cuadrada con una base de 4,5 pulgadas y una altura de 5 pulgadas.

6. Una pirámide rectangular con una base de 4 pulgadas, una base de ancho 3 pulgadas y una altura de 5 pulgadas

7. Una pirámide rectangular con una base de 5 pies de longitud y 4 pies de ancho, y una altura de 6 pies.

8. Una pirámide rectangular con una base de 7 m de longitud y 4 m de ancho, y una altura de 9 m.

9. Una pirámide triangular con una base de 5 pulgadas de longitud y 4 pulgadas de altura, con una altura de pirámide de 6 pulgadas.

10. Una pirámide triangular con una base de 8 pies de longitud y 7 pies de altura, con una altura de pirámide de 9 pies.

11. Una pirámide cuadrada con una base de 8 pies y una altura de 4 pies.

12. Una pirámide rectangular con una longitud de 5 pulgadas, un ancho de 4 pulgadas y una altura de 6 pulgadas.

13. Una pirámide cuadrada con una base de 3,5 pies y una altura de 6,5 pies.

14. Una pirámide cuadrada con una base de 6,5 pies y una altura de 8,5 pies.

15. Una pirámide rectangular con un ancho de 4 pies, una longitud de 6 pies y una altura de 7,5 pies.

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