Volumen de Conos

En esta sección aprenderás a encontrar el volumen de conos por medio de fórmulas.

Candice y Trevor han estado trabajando juntos por dos semanas y se están volviendo casi como hermanos. Cada día, parece haber una discusión de algún tipo que ocurre entre ellos. Hoy día, era sobre los conos de helado.

“Creo que un cono que termina en punta contiene más helado”, dijo Trevor.

“No creo. Un cono con una fondo plano definitivamente contiene más”.

“Podríamos resolver esto fácilmente si tuviéramos las dimensiones”.

“Bueno, en tu descanso anda a la heladería y averigua esto”, ordenó Candice.

Así, en el descanso Trevor fue a la heladería. Fue y volvió con algunas dimensiones en un papel.

“Aquí vamos, ahora averigua el volumen del cono con fondo plano y yo haré el que termina en punta”.

Aquí están las dimensiones con las que tienen que trabajar:

Cono Puntiagudo $= H = 3.25'' \ D = 2.5''$

Cono Plano $= H = 4.5'' \ D = 2''$

Los dos comienzan a trabajar.

Ahora es tu turno. Aprenderás sobre el volumen de conos y las pirámides en esta Sección. Al final de este, sabrás qué cono contiene más helado.

Orientación

Para averiguar el volumen de un cono, primero veamos cómo podemos compararlo con otra figura sólida. La figura más parecida a un cono es un cilindro. Piensa en eso. Ambos tienen bases circulares. Mientras que el cilindro tiene dos bases circulares, un cono solo tiene una. Pero ambos son figuras que podemos comparar.

Aquí hay un cilindro y la fórmula para encontrar el volumen de un cilindro.

$V = \pi r^2 h$

Ahora pensemos en un cono. ¿Cómo podemos encontrar el volumen de un cono usando la información que hemos aprendido sobre los cilindros? Sabemos que están relacionados, pero ¿hay alguna forma de ver cómo el volumen de un cilindro se puede comparar con el volumen de un cono? ¿Qué tal si ponemos el cono dentro del cilindro?

Observa.

Ahora puedes ver cómo están relacionados. Observa que la base es la misma tanto en el cono como en el cilindro. ¡Haz memoria sobre el prisma y la pirámide!

Para encontrar el volumen del cono, vamos a usar una fórmula similar a la de la pirámide, excepto que vamos a considerar que la base del cono es un círculo. Por lo tanto, necesitaremos encontrar el área del círculo para encontrar el volumen del cono.

$V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$

Aquí, necesitamos encontrar el área del círculo que es $\pi r^2$ . Entonces, podemos tomar esa medida y multiplicarla por la altura del cono. Luego, ya que el cono llena una porción del cilindro, podemos tomar un tercio del producto.

Tómate unos minutos y anota esta copia en tu cuaderno.

Ahora que entiendes algo sobre el volumen de un cono y sobre de dónde proviene la fórmula, practiquemos usándola para averiguar el volumen de un cono.

Encuentra el volumen del siguiente cono.

Podemos comenzar sustituyendo los valores conocidos en la fórmula.

$V & = \frac{1}{3} \pi r^2 h \\\V & = \frac{1}{3} (3.14)(5^2 )(7) \\\V & = \frac{1}{3} (3.14)(175) \\\V & = \frac{1}{3}(549.5) \\\V & = 183.16 \ in^3$

Aquí está nuestra respuesta. Observa que aproximamos a la centena más cercana.

Aquí hay otro ejercicio.

¿Cuál es el volumen del siguiente cono?

Primero, podemos sustituir los valores conocidos en la fórmula.

$V & = \frac{1}{3} (3.14)(3^2)12 \\\V & = \frac{1}{3} (3.14)(108) \\\V & = \frac{1}{3}(339.12) \\\V & = 113.04$

El volumen del cono es $113.04 \ cm^3$ .

Encuentra el volumen de cada cono usando laos valores conocidos y la fórmula.

Ejemplo A

Un cono con un radio de 2 pulgadas y una altura de 4 pulgadas. Puedes aproximar a la centena más cercana.

Solución: $16.74 \ in^3$

Ejemplo B

Un cono con un radio de 5 pies y una altura de 8 pies.

Solución: $209.33 \ ft^3$

Ejemplo C

Un cono con un radio de 4 m y una altura de 9 m.

Solución: $150.72 \ m^3$

Revisemos el problema introductorio nuevamente.

“Creo que un cono que termina en punta contiene más helado”, dijo Trevor.

“No creo. Un cono con una fondo plano definitivamente contiene más”.

“Podríamos resolver esto fácilmente si tuviéramos las dimensiones”.

“Bueno, en tu descanso anda a la heladería y averigua esto”, ordenó Candice.

Así, en el descanso Trevor fue a la heladería. Fue y volvió con algunas dimensiones en un papel.

“Aquí vamos, ahora averigua el volumen del cono con fondo plano y yo haré el que termina en punta”.

Aquí están las dimensiones con las que tienen que trabajar:

Cono Puntiagudo $= H = 3.25'' \ D = 2.5''$

Cono Plano $= H = 4.5'' \ D = 2''$

Los dos comienzan a trabajar.

Trevor empezó con el cono puntiagudo. Aquí está la formula que usó.

$V & = \frac{1}{3} \pi r^2 h \\\V & = \frac{1}{3} (3.14)(1.25^2)(3.25) \\\V & = 5.315 \ \text{or} \ 5.3 \ cubic \ inches$

Candice trabajó con el cono plano.

$V & = \frac{1}{3} \pi r^2 h \\\V & = \frac{1}{3} (3.14)(1^2)(4.5) \\\V & = 4.71 \ \text{or} \ 4.7 \ cubic \ inches$

Aunque ambos conos son muy similares en tamaño, el cono puntiagudo es un poco más grande, por lo que contendría más helado.

Vocabulario

Pirámide: Una figura sólida con un polígono como base, donde los lados se juntan en un vértice único en la cúspide.

Cono: Una figura sólida con una base circular donde los lados son redondeados y se juntan en un único vértice en la punta.

Volumen: La cantidad de espacio contenido dentro de una figura sólida.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Don colocó flores para su madre en un jarrón cónico. Si el jarrón tiene un radio de 4 pulgadas y una altura de de 15 pulgadas, ¿cuánta agua puede contener?

Respuesta

En primer lugar, ¿con qué tipo de figura sólida estamos trabajando? El jarrón tiene la forma de un cono. ¿Qué debemos encontrar? Debemos encontrar el volumen del jarrón para saber cuánta agua contiene. ¿Qué información conocemos? Sabemos que el radio del jarrón es de 4 pulgadas y que la altura es de 15 pulgadas. Luego, podemos tomar la información dada y sustituirla en la fórmula para encontrar el volumen de un cono.

$V & = \frac{1}{3} \pi r^2 h \\\V & = \frac{1}{3} (3.14)(16)(15) \\\V & = 251.2$

El volumen del jarrón es $251.2 \ inches^3$ .

Video de repaso

Watch this video on the volume of cones.

Practica

Instrucciones: Encuentra el volumen de cada cono.

1. Un cono con un radio de 3 pulgadas y una altura de 7 pulgadas

2. Un cono con un radio de 5 pies y una altura de 9 pies.

3. Un cono con un radio de 6 metros y una altura de 10 metros.

4. Un cono con un radio de 10 pulgadas y una altura de 12 pulgadas.

5. Un cono con un radio de 12 mm y una altura de 14 mm.

6. Un cono con un radio de 5 pies y una altura de 12 pies.

7. Un cono con un radio de 4,5 pulgadas y una altura de 7 pulgadas.

8. Un cono con un radio de 3,5 pulgadas y una altura de 5,5 pulgadas.

9. Un cono con un radio de 5 cm y una altura de 13 cm.

10. Un cono con un radio de 8 cm y una altura de 11 cm.

11. Un cono con un radio de 7,5 pulgadas y una altura de 11 pulgadas.

12. Un cono con un radio de 11,5 pulgadas y una altura de 15 pulgadas.

13. Un cono con un radio de 12,5 pies y una altura de 15 pies.

Instrucciones: Resuelve cada problema.

14. Un cono tiene un radio de 6 metros y una altura de 14 metros. ¿Cuál es su volumen?

15. Los envases de glaseado para la torta de Tina son conos. Cada envase tiene un radio de 2,4 pulgadas y una altura de 7 pulgadas. Si Tina compra envases de glaseado rojo, amarillo y azul, ¿cuánto glaseado compró?