Regla del Complemento de Probabilidad

En esta sección aprenderás a reconocer sucesos complementarios.

¿Haz visto una carrera de caballos?

Lucky Seven es un hermoso caballo que participa en el Derby de Kentucky. Mucha gente dice que es el favorito para ganar. Lucky Seven puede o no ganar la carrera. Tiene un 69% de oportunidad de ganar.

¿Cuál es la probabilidad de que no gane?

Ganar o perder una carrera es un suceso complementario. Pon atención en esta Sección y serás capaz de averiguar esta probabilidad desconocida.

Orientación

Anteriormente trabajamos en sucesos disjuntos y aprendimos que son sucesos en los que solo uno puede ocurrir. Cuando lanzas una moneda, saldrá cara o saldrá cruz.

Igualmente, en esta ruleta los sucesos rojo $R (\text{red})$ y azul $B (\text{blue})$ son sucesos disjuntos. La probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos disjuntos es la suma de las probabilidades de los sucesos.

$P (\text{red or blue}) &= P (\text{red}) + P (\text{blue})\\\&= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

En otras palabras, uno de los dos sucesos debe ocurrir. La probabilidad de que caiga en azul o rojo es 1. La flecha caerá en azul o rojo el 100 por ciento de las veces.

Cuando uno de los dos sucesos debe ocurrir, se dice que los dos sucesos son complementarios. La suma de las probabilidades de dos sucesos complementarios suma 1 o 100 por ciento de los resultados de los sucesos.

Aquí hay algunas situaciones que involucran sucesos complementarios.

Que salga cara o cruz al lanzar una moneda.
Prender o apagar una luz.
Cerrar una puerta o abrir una puerta.

Aunque algunos sucesos complementarios son “50-50” como lanzar una moneda, no todos los sucesos complementarios son “50-50”.

Para la ruleta anterior:

$P (\text{blue or yellow}) &= P (\text{blue}) + P (\text{yellow})\\\&= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\\\&= 1$

En la ruleta anterior, los sucesos $B (\text{blue})$ azul y $Y (\text{yellow})$ amarillo son complementarios porque sus probabilidades suman 1. Pero los dos complementos no tienen el mismo tamaño.

Nota que algunos sucesos disjuntos No son sucesos complementarios. Aquí, $R (\text{red})$ rojo y $B (\text{blue})$ azul son sucesos disjuntos. Sin embargo, sus probabilidades NO suman 1 o 100 por ciento:

$P (\text{red or blue}) &= P (\text{red}) + P (\text{blue})\\\&= \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\\\&= \frac{1}{2}$

Ya que la suma de cualquiera de los dos complementos es 1, si sabes la probabilidad de un complemento, puedes encontrar la probabilidad del otro.

Para los sucesos $A$ y $B$ , supón que la probabilidad de $B$ es 0.4. Eso significa que:

$P (A) + P (B) &= 1\\\P (A) + 0.4 &= 1$

Debes ser capaz de dilucidar que la probabilidad de $P(A)$ es 0.6, porque:

$P (A) + P (B) &= 1\\\0.6 + 0.4 &= 1$

Una forma más fácil de encontrar un complemento es usar las siguientes reglas.

Regla del Complemento: Para dos complementos cualquiera, $A$ y $B$ , el valor de $P (A) = 1 - P (B)$ . En términos prácticos:

Resta el complemento que conoces de 1 para encontrar el complemento desconocido.

$A$ y $B$ son complementos. $P (B) = 0.3$ . Encuentra $P (A)$ .

Para averiguar esto, resta el complemento que conoces, 0,3, de 1 para encontrar $P (B)$

$P (B) &= 1 - P (A)\\\&= 1 - 0.3\\\&= 0.7$

También puedes aprender a encontrar probabilidades y a realizar predicciones.

Sucesos disjuntos son sucesos que no tienen resultados en común. Los sucesos $R (\text{red})$ rojo y $B (\text{blue})$ azul para esta ruleta son sucesos disjuntos.

Una intersección de sucesos son sucesos que tienen uno o más resultados en común. Los sucesos $R (\text{red})$ rojo y $L (\text{left})$ izquierda de la ruleta son una intersección de sucesos porque tienen el resultado rojo-izquierda en común.

Sucesos complementarios son un par de sucesos disjuntos cuya probabilidad suma 1. Los sucesos $R (\text{red})$ rojo y $B (\text{blue})$ azul de la ruleta son sucesos complementarios porque la suma de sus probabilidades es 1:

$P (\text{red or blue}) &= P (\text{red}) + P (\text{blue})\\\&= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\\\&= 1$

¿Cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en rojo, verde o amarillo?

Los sucesos son disjuntos, por lo que la probabilidad de que ocurra uno de estos es la suma de sus probabilidades individuales.

$P (\text{red or blue or green}) &= P (\text{red}) + P (\text{blue}) + P (\text{green})\\\&= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\\\&= \frac{3}{4}$

Podemos encontrar la probabilidad de un suceso cuando sumamos todas las probabilidades.

La probabilidad de que los Mets ganen esta noche es de 0,6. Predice qué tan posible es lo que los Mets pierdan esta noche.

Ganar y perder son sucesos complementarios. Entonces, puedes usar la regla:

$P (\text{lose}) &= 1 - P (\text{win})\\\&= 1 - 0.6\\\&= 0.4$

Podemos escribir esta respuesta como 40%. Hay un 40% de posibilidades de que los Mets pierdan esta noche.

Aquí hay algunos problemas para que los realices por tu cuenta.

Ejemplo A

A y C son complementos. Si C es ,67, encuentra A.

Solución: $.33$

Ejemplo B

Si los Yankees tienen un 45% de posibilidades de ganar esta noche, ¿cuál es la probabilidad de que no ganen?

Solución: $55\%$

Ejemplo C

D y E son complementos. Si D es ,2, ¿qué es E?

Solución: $.8$

Aquí está el problema original nuevamente.

Lucky Seven es un hermoso caballo que participa en el Derby de Kentucky. Mucha gente dice que es el favorito para ganar. Lucky Seven puede o no ganar la carrera. Tiene un 69% de oportunidad de ganar.

¿Cuál es la probabilidad de que no gane?

Los sucesos complementarios tienen una suma de 1 o 100%. Sabemos la probabilidad de que Lucky Seven gane. Es del 69%. Podemos restar esto de 100 para encontrar la probabilidad de que pierda.

$100 - 69 = 31$

Lucky Seven tiene un 31% de posibilidades de perder la carrera.

Vocabulario

Sucesos Disjuntos: sucesos que no están conectados. El resultado de uno no afecta al otro.

Sucesos Complementarios: uno de los dos sucesos debe ocurrir, luego los dos son sucesos complementarios. Podemos sustraer un suceso de 1 para obtener el otro suceso.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Y y Z son complementos. Si la probabilidad de que ocurra Y es del 14%, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra Z?

Respuesta

Para averiguar esto, primero debes recordar que los sucesos complementarios tienen una suma de 1 o 100%. Sabemos que Y es 14%. Podemos sustraer de 1 o 100% para encontrar Z.

$100 - 14 = 86$

La probabilidad de que ocurra Z es del 86%.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a Khan Academy video on complementary events.

Practica

Instrucciones: Encuentra el complemento.

1. $A$ y $B$ son complementos. $P (B) = 0.15$ . Encuentra $P (A)$ .

2. $C$ y $D$ son complementos. $P (C) = 0.8$ . Encuentra $P (D)$ .

3. $G$ y $H$ son complementos. $P (H) = 49\%$ . Encuentra $P (G)$ .

4. $T$ y $S$ son complementos. $P (T) = \frac{3}{8}$ . Encuentra $P (S)$ .

5. $L$ y $K$ son complementos. $P (K) = 0.07$ . Encuentra $P (L)$ .

6. $A$ y $B$ son complementos. $P (B) = 0.125$ . Encuentra $P (A)$ .

7. $N$ y $M$ son complementos. $P (N) = 96.1\%$ . Encuentra $P (M)$ .

8. $Q$ y $Z$ son complementos. $P (Q) = \frac{1}{5}$ . Encuentra $P (Z)$ .

Instrucciones: Escribe complementario o no complementario .

9. Porcentaje de votos que obtienen 2 candidatos en una elección de 2 candidatos.

10. Porcentaje de votos que obtienen 3 candidatos en una elección de 3 candidatos.

11. Ganar un juego o perder un juego

12. Elegir un número par o impar

13. Elegir un número entre 1 y 5

14. Aprobar o repobrar un examen

15. Elegir un color de una pintura

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