Reglas de la Adición y de la Multiplicación para Probabilidad

Aquí, aprenderás a encontrar la probabilidad de un suceso específico usando los diagramas de árbol.

¿Recuerdas a Alicia de la Sección Contando Sucesos? Observa el diagrama de árbol de sus atuendos.

Alicia va a cantar en el Show de Talentos. Está muy entusiasmada y ha elegido una magnífica canción. Ha estado practicando con su profesora de canto durante semanas y se siente muy confiada en hacer una gran presentación.

Su traje para presentarse es otro asunto. Alicia ha seleccionado diferentes faldas, poleras y zapatos. Aquí están sus opciones de poleras:

Polera rayada
Polera de un solo color

Aquí están sus opciones de faldas.

Falda azul
Falda roja
Falda café

Aquí están sus opciones de zapatos

Zapatos de baile
Zapatos negros

Aquí hay un diagrama de árbol de los atuendos de Alicia.

¿Cuál es la probabilidad de que Alicia se ponga su polera rayada, la falda azul y los zapatos de baile?

Para averiguar esto, necesitarás saber cómo usar el diagrama de árbol para calcular una probabilidad específica. Pon atención y aprenderás lo que necesitas al final de esta Sección.

Orientación

Anteriormente trabajamos con diagramas de árboles. Hemos visto que los diagramas pueden ser muy útiles cuando buscamos espacios de muestra. Los diagramas de árbol también pueden ser útiles cuando encontramos una probabilidad.

Encontrar la probabilidad de un suceso es el hecho de encontrar la función entre resultados favorables y resultados totales. Por ejemplo, el espacio de muestra para un único lanzamiento de una moneda tiene dos resultados: cara y cruz. Entonces, la probabilidad de que salga cara en cualquier lanzamiento es:

$P (\text{heads}) = \frac{favorable \ outcomes}{total \ outcomes} =\frac{1}{2}$

Puedes ver que el espacio de muestra se representa con un número en los resultados totales. Por ejemplo, si tienes una ruleta con cuatro colores, los colores por su nombre serían el espacio de muestra y el número cuatro sería el total de resultados posibles.

¿Qué tal si tiramos una moneda más de una vez?

Para encontrar la probabilidad de un único resultado para más de un lanzamiento de la moneda, usar un diagrama de árbol para encontrar todos los resultados posibles en el espacio de muestra.

Luego, cuenta el número de resultados favorables dentro de ese espacio de muestra para encontrar la probabilidad.

Por ejemplo, para encontrar la probabilidad de tirar una moneda dos veces y obtener cara dos veces, haz un diagrama de árbol para encontrar todos los resultados posibles.

El diagrama nos muestra que hay 8 resultados totales y están emparejados con la opción del primer lanzamiento y la opción del segundo lanzamiento.

Luego, escoge el resultado favorable (en este caso, el resultado “cara-cara” se muestra en rojo). Pudiste haber seleccionado cualquiera de los resultados favorables de la probabilidad para ser preciso.

Ahora, escribe la función entre los resultados favorables y los resultados totales en el espacio de muestra.

$P (\text{heads-heads}) = \frac{favorable \ outcomes}{total \ outcomes}=\frac{1}{4}$

Puedes ver que ya que 1 de los 4 resultados es favorable, la probabilidad de que salga cara dos veces seguidas es $\frac{1}{4}$ .

Observemos otra situación.

¿Cuál es la probabilidad de tirar una moneda dos veces y tener dos resultados iguales, es decir, dos caras o dos cruces?

Primero, elaboremos un diagrama de árbol para ver nuestras opciones.

De nuevo, solo escoge los resultados favorables del mismo diagrama de árbol. Aquí se muestran en rojo.

Puedes ver que 2 de los 4 resultados totales son iguales.

$P (2 \ \text{heads or 2 tails}) = \frac{favorable \ outcomes}{total \ outcomes}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Puedes ver que la probabilidad de que salgan dos caras o dos cruces es 1:2.

Intenta realizar algunos ejercicios por tu cuenta.

Ejemplo A

Observa el diagrama anterior. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara y luego cruz?

Solución: $\frac{1}{4}$

Ejemplo B

¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz y luego cara?

Solución: $\frac{1}{4}$

Ejemplo C

¿Cuál es el porcentaje del ejemplo A y el ejemplo B?

Solución: $25\%$

Aquí está el problema original nuevamente.

Su traje para presentarse es otro asunto. Alicia ha seleccionado diferentes faldas, poleras y zapatos. Aquí están sus opciones de poleras

Polera rayada

Polera de un solo color

Aquí están sus opciones de faldas.

Falda azul

Falda roja

Falda café

Aquí están sus opciones de zapatos

Zapatos de baile

Zapatos negros

Aquí hay un diagrama de árbol de los atuendos de Alicia.

¿Cuál es la probabilidad de que Alicia se ponga la polera rayada, la falda azul y los zapatos de baile?

Hay doce resultados posibles, poro solo uno es la polera rayada, la falda azul y los zapatos de baile.

Nuestra respuesta es $\frac{1}{12}$ .

Vocabulario

Diagrama: Una forma visual de mostrar todos los resultados posibles de un experimento. Se llama diagrama de árbol porque cada opción se dibuja como una rama de árbol.

Espacio de Muestra: Los resultados posibles en un experimento.

Resultado Favorable: El resultado que buscas en un experimento.

Resultados Totales: El número de opciones en el espacio de muestra.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

¿Cuál es la probabilidad de tener 3 victorias seguidas?

Respuesta

Hay ocho resultados posibles para los equipos.

Hay una opción para una victoria-victoria-victoria en los tres juegos.

La probabilidad es $\frac{1}{8}$ .

Video de Repaso

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a James Sousa video on probability.

Practica

Instrucciones : Responde cada pregunta. Usa los diagramas de árbol cuando sea necesario.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en rojo en un único giro?

2. Si la ruleta se hace girar dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en rojo las dos veces?

3. Si la ruleta se hace girar dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la flecha caerá en el mismo color dos veces?

4. Si la ruleta se hace girar dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en rojo al menos una vez?

5. Si la ruleta se hace girar dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que caerá en diferentes colores las dos veces?

6. Si la ruleta se hace girar dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en azul o en verde al menos una vez?

7. Se toman dos cartas de un mazo, el As y el Rey de corazones, luego se barajan y se colocan con la cara abajo. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta elegida al azar sea un As?

8. Si se elige una carta de las dos anteriores, luego se devuelve al mazo y se elige una segunda carta, ¿cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean Reyes?

9. Si se elige una carta de las dos anteriores, luego se devuelve al mazo y se elige una segunda carta, ¿cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean iguales?

10. Si se elige una carta de las dos anteriores, luego se devuelve al mazo y se elige una segunda carta, ¿cuál es la probabilidad de que las cartas sean diferentes?

Instrucciones : Observa el diagrama de árbol y averigua cada probabilidad como una función.

11. ¿Cuál es la probabilidad de la opción de cerámica, acero y granito?

12. ¿Cuál es la probabilidad de cerámica, acero, granito o cerámica, granito, blanco?

13. ¿Cuál es la probabilidad de que fórmica sea una opción?

14. ¿Cuál es la probabilidad de que cerámica y fórmica sean una opción?

15. ¿Cuál es la probabilidad de que blanco y fórmica sean una opción?

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