Reglas Básicas de Conteo

Aquí reconocerás y luego usarás el Principio de Conteo para encontrar todos los resultados posibles.

¿Recuerdas los atuendos de Alicia de la Sección Reglas de la Adición y de la Multiplicación para Probabilidad? Bueno, cuando Alicia estaba tratando de averiguar el número de atuendos posibles que podía crear, nosotros elaboramos un diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es muy útil porque nos proporciona la información de forma visual.

Del diagrama de árbol, podemos contar todos los resultados posibles. Hay 12 atuendos posibles que Alicia puede elegir.

¿Qué pasa si no queremos dibujar un diagrama de árbol? ¿Hay otra forma en que podamos averiguar el número de atuendos posibles?

Esta Sección es sobre El Principio de Conteo. El Principio de Conteo hace que sea posible representar los resultados porque es un método matemático y no un diagrama de árbol. Esta lección te enseñará sobre El Principio de Conteo y al final de esta Sección, aplicaremos lo que sabemos al problema de los atuendos de Alicia.

Orientación

Los diagramas de árbol te proporcionan una forma visual de ver todos los resultados posibles para un conjunto de sucesos en particular.

¿Qué sucedería si hay una forma más simple?

A veces, no quieres dibujar un diagrama de árbol para averiguar todos los resultados posibles para una serie de sucesos. Cuando esto suceda, podemos usar otro principio para averiguar los resultados posibles.

Molly’s All Star Farm Breakfast ofrece 3 clases de huevo–revuelto, frito o como omelet– además de tocino o salsa. Puedes usar un diagrama de árbol para averiguar que hay seis diferentes opciones, o resultados, para el desayuno.

¿Hay otra manera de visualizar esto?

Podemos mirar números de las posibles opciones para el desayuno en términos de resultados.

Para la primera opción, hay 3 resultados diferentes. Para la segunda opción, hay 2 resultados diferentes.

$3 \ \text{outcomes} \cdot 2 \ \text{outcomes} = 6 \ \text{outcomes}$

Sí, lo son. Esto es debido a que este es un nuevo principio para averiguar el total de los resultados posibles de una serie de sucesos. Esto se llama el Principio de Conteo.

Principio de Conteo: El número de opciones o resultados para dos sucesos independientes, $A$ y $B$ tomadas juntas, es el producto del número total de resultados para cada suceso.

Resultados totales para $A$ y $B = (\text{number of outcomes for} \ A) \cdot (\text{number of outcomes for} \ B)$

Ahora que sabes lo que es el Principio de Conteo, puedes usarlo. El Principio de Conteo sirve para trabajar con 2, 3 e incluso 4 sucesos. Solo sigue el procedimiento de la multiplicación para encontrar el número de resultados posibles.

Ahora, apliquemos el Principio de Conteo a una situación.

Para comprar un chicle, tienes las siguientes opciones:

3 opciones de sabor–menta, menta verde, canela
2 opciones sin azúcar–sin azúcar o con azúcar
2 opciones de consistencia–goma de mascar o regular

Para encontrar el número de opciones de consistencia, debes hacer un diagrama de árbol, o simplemente puedes usar el Principio de Conteo:

$3 \ \text{choices} \cdot 2 \ \text{choices} \cdot 2 \ \text{choices} = 12 \ \text{choices}$

Para comprobar nuestra respuesta, podemos escribir todas las opciones posibles:

$& \text{spear-sugarless-bubble} && \text{pepper-sugarless-bubble} && \text{cinnamon-sugarless-bubble}\\\& \text{spear-sugarless-regular} && \text{pepper-sugarless-regular} && \text{cinnamon-sugarless-}\\\& \text{spear-non-bubble} && \text{pepper-non-bubble} && \text{regular}\\\& \text{spear-non-regular} && \text{pepper-non-regular} && \text{cinnamon-non-bubble}\\\& && && \text{cinnamon-non-regular}$

Puedes ver que el Principio de Conteo funcionó para nuestra solución.

Ahora es tu turno de practicar. Usa el Principio de Conteo para contar resultados.

Ejemplo A

Omar va a comprar una patineta. Puede elegir entre 5 tipos de tablas y 4 de ruedas. ¿Cuántas opciones tiene Omar?

Solución: 20 opciones

Ejemplo B

La heladería Ice Stone tiene helados de 3 tamaños: pequeño, mediano y grande. Puedes elegir entre 6 sabores de helados y 4 salsas. ¿Cuántas opciones hay?

Solución: 72 opciones

Ejemplo C

Gina tira un dado 2 veces. ¿Cuántos resultados hay?

Solución: 12 resultados

Aquí está el problema original nuevamente. Vuélvelo a leer y luego aplicaremos El Principio de Conteo para solucionar este problema.

Del diagrama de árbol, podemos contar todos los resultados posibles. Hay 12 atuendos posibles que Alicia puede elegir.

¿Qué pasa si no queremos dibujar un diagrama de árbol? ¿Hay otra forma en que podamos averiguar el número de atuendos posibles?

Recuerda la lección sobre El Principio de Conteo.

Resultados Totales = (Número de resultados)(Número de resultados)

En el problema de Alicia, hay 3 números posibles de resultados. Tenemos las poleras que elegido como opciones, son dos. Tenemos las faldas que ha elegido como opciones, son tres. Tenemos los zapatos que ha elegido como opciones, son dos.

$3 \times 2 \times 2 = 12 \ \text{possible outfits}$

Puedes ver que terminamos con la misma respuesta que obtuvimos con el diagrama de árbol. El Principio de Conteo en verdad funciona.

Vocabulario

Probabilidad: La función entre resultados favorables y los resultados posibles totales.

El Principio de Conteo: El producto de los resultados de una serie de sucesos da el número total de resultados.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Vas a comprar un sweater y tienes las siguientes opciones.

5 opciones de color–negro, amarillo, azul, rojo, verde
3 opciones de material–lana, algodón, poliéster
4 estilos diferentes–cuello en v, cuello redondo, abotonado, cuello alto

Para averiguar el número de opciones, puedes hacer un diagrama de árbol o simplemente, usar el Principio de Conteo:

$5 \ \text{choices} \cdot 3 \ \text{choices} \cdot 4 \ \text{choices} = 60 \ \text{choices}$

Video de Repaso

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a James Sousa video on probability.

Practica

Instrucciones : Usa el Principio de Conteo para resolver cada problema.

1. A los Cubs les resta jugar 3 juegos este año. ¿Cuántos resultados puede haber para los 3 partidos?

2. Svetlana lanza una moneda 4 veces. ¿Cuántos resultados hay?

3. Para comprar una raqueta de tennis, Danny puede elegir entre 8 tipos de cuerda, 3 tipos de material y 4 tipos de mango. ¿Cuántos opciones hay?

4. Gina tira un dado 3 veces. ¿Cuántos resultados hay?

5. Gina tira un dado; Búster, una moneda. ¿Cuántos resultados hay para los dos sucesos?

6. Buster tira una moneda, Daoud elige una carta de un mazo de 52. ¿Cuántos resultados hay para los dos sucesos?

7. Rex gira dos veces una ruleta que tiene secciones roja, azul y amarillo. ¿Cuántos resultados hay?

8. Daoud elige una carta de un mazo de 52, la reemplaza y luego elige una segunda carta. ¿Cuántos resultados son posibles?

9. Patsy’s Pizza ofrece 3 tipos de pizza, 14 ingredientes y 2 tamaños. ¿Cuántos tipos de pizza puedes pedir?

10. Spud tiene una clave de 2 letras para su computador. Si hay 26 letras en el alfabeto, ¿cuántas contraseñas posibles hay?

11. Doreen tiene una clave para su computador de 3 dígitos. Si hay 10 dígitos (incluído el cero), ¿cuántas claves posibles hay?

12. Sebastian tiene una clave para su computador que usa solo vocales. ¿Cuántas claves posibles hay?

13. Si Sebastian tiene una clave de dos letras, ¿cuántos claves posibles hay?

14. Si Sebastian tiene una clave de cuatro letras, ¿cuántas claves posibles hay?

15. Si Sebastian tiene una clave de cinco letras, ¿cuántas claves posibles hay?

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