Permutaciones

¿Haz hecho un suceso en la escuela? Observa esta situación.

Greg y Joanna están a cargo de elaborar el orden para el Show de Talentos. Hay 6 alumnos de sexto año, 10 de séptimo y 6 de ocho que han entrado al concurso.

El orden en que actúan los estudiantes hace una diferencia y los de sexto año actuarán juntos. Luego los de séptimo y finalmente los de octavo.

Greg y Joanna comienzan con los de sexto. Ya que hay seis estudiantes de sexto y el orden hace una diferencia, ¿cuántas disposiciones del orden puede haber?

“No sé cómo averiguar esto”, le digo Joanna a Greg.

“Creo que yo sí, dame un papel”.

Mientras Greg obtiene papel, es tiempo de que pienses en este problema. Resolverlo tiene que ver con algo llamado “permutación”. Esta lección es sobre permutaciones y sobre cómo averiguarlas.

Pon atención y al final de la Sección sabrás cómo ayudar a Greg y a Joanna a averiguar el orden de los de sexto año.

Orientación

Puedas hacer toda clase de combinaciones. Digamos que estás haciendo una pizza con pepperoni, champiñones y pimentones. No importa el orden en que pongas los ingredientes; la pizza será la misma.

A veces, el orden si hace una diferencia. Cuando dispones diferentes objetos o sucesos y el orden es importante, esto se llama una permutación.

Esta Sección es sobre permutaciones.

Piensa en el deletreo.

Considera la palabra CAT (GATO). Claramente, el orden es importante cuando deletreas una palabra. Puedes escribir todas las letras correctas, pero si no las pones en el orden correcto, no podrás deletrear CAT. Por ejemplo, aquí hay algunos ordenes de C, A y T que no deletrean CAT.;

En esta situación una permutación hace una diferencia. También podemos usar las permutaciones para resolver problemas. Para esto, debes identificar el problema en el que el orden o la disposición de los elementos importan.

Tomás quiere saber cuántos números de 3 dígitos puede escribir usando los dígitos 7, 8 y 9 sin repetir ninguno. ¿Importa el orden en este problema?

Paso 1 : Escribe un solo orden.

789

Paso 2 : Ahora cambia el orden. ¿Cambió el resultado? Si es así, el orden importa.

798

Este número es diferente del original

Cada disposición de los dígitos es una permutación diferente.

El entrenador de softball necesita determinar cuántas alineaciones de bateo puede hacer a partir de sus tres bateadores: Able, Baker y Chan. ¿Importa el orden en este problema?

Paso 1 : Escribe una sola alineación.

Able, Baker, Chan

Paso 2 : Ahora, vuelve posicionar la alineación. ¿Cambió el resultado? Si es así, el orden importa.

Able, Chan, Baker–este orden es diferente del original

Cada redisposición de bateadores es una permutación diferente.

Escribe si el orden es o no importante para cada situación y justifica.

Ejemplo A

¿Cuántas letras de 3 palabras puede escribir usando las letras sin repetir ninguna?

Solución: El orden importa

Ejemplo B

Hay cinco autos en la carrera que están pintados de los siguientes colores: rojo, naranja, azul, blanco, púrpura. ¿En cuántas formas pueden terminar la carrera los autos?

Solución: El orden importa

Ejemplo C

En el buffet de desayuno puedes elegir cualquiera de los 3: huevos, panqueques, papas, cereal, waffles. ¿Cuántos desayunos de 3 elementos puedes elegir?

Solución: El orden no importa

Aquí está el problema original nuevamente. Vuélvelo a leer y luego trabaja para averiguar la permutación.

Greg y Joanna están a cargo de elaborar el orden para el Show de Talentos. Hay 6 alumnos de sexto año, 10 de séptimo y 6 de ocho que han entrado al concurso.

El orden en que actúan los estudiantes hace una diferencia y los de sexto año actuarán juntos. Luego los de séptimo y finalmente los de octavo.

Greg y Joanna comienzan con los de sexto. Ya que hay seis estudiantes de sexto y el orden hace una diferencia, ¿cuántas disposiciones del orden puede haber?

“No sé cómo averiguar esto”, le digo Joanna a Greg.

“Creo que yo sí, dame un papel”.

Greg saca un papel y escribe:

6 de sexto año

“Ves, hace una diferencia, por lo que podemos usar un factorial”, explica Greg. “Ahora sabremos cuántas disposiciones posibles hay para los de sexto año”.

Hay 720 combinaciones posibles. Greg y Joanna deben discutir esto un poco más porque hay muchas posibilidades para disposición. Deciden que los cantantes tengan una categoría. Esto los ayudará con las combinaciones posibles.

Vocabulario

Permutación

Una combinación donde el orden importa.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

Henry tiene un candado con combinaciones. El puede ajustar la combinación usando los números 1, 5 y 18. Henry solo puede elegir un orden de los números.

¿Es una permutación, por qué?

Respuesta

Henry y su combinación es un ejemplo de una permutación porque hay solo una forma de ordenar los números y el orden sí hace una diferencia.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a James Sousa video on permutations.

Practica

Instrucciones: Decide si el orden afecta o no en las siguientes situaciones. Explica brevemente.

1. Doug usará las siguientes 5 letras para crear su nueva contraseña de 3 letras: B, F, G, L y T. ¿Cuántas contraseñas puede crear sin repetir ninguna letra?

2. Los violinistas de la orquesta son Jerry, Kerry, Barry, Mary, Sherry, Harry, Terri, y Perry. ¿Cuántos tríos puedes hacer?

3. Los 3 números diferentes para el casillero de Arun son 14, 35 y 20. ¿Cuántos combinaciones tiene que intentar Arun antes de poder abrir su casillero?

4. El señor Chen premiará a Nikki, Mickey, y Hickey. Lo que no sabe es quién recibirá el primer, el segundo y el tercer lugar. ¿En cuántas formas puede entregar el premio el señor Chen?

5. Hay cinco candidatos para 2 cupos de senadores estudiantes: Bo, Jo, Mo, Zo, y Ro. ¿Cuántos pares de senadores estudiantiles puede haber?

6. Hay cinco patinadores compitiendo en las County Championship Finals: Miller, Diller, Hiller, Giller, y Stiller. ¿En cuántas formas pueden terminar primero, segundo, tercero, cuarto y quinto?

Instrucciones: Encuentra el número de permutaciones para cada problema.

7. ¿Cuántas palabras de 3 letras puede formar Brenda usando A, B y C sin repetir ninguna?

8. ¿Cuántos números de 4 dígitos puede escribir Brenda usando el 1, 3, 5 y 7, sin repetir ninguno?

9. Doug, Eileen, Francesca, y Garth participan en la carrera de natación. ¿En cuántos órdenes pueden terminar los competidores?

10. Miguel está sirviendo sopa, ensalada, pasta y pescado. ¿En cuántos órdenes puede servir los cuatro platos?

11. Mike tiene 4 cartas: As, Rey, Reina y Diez. ¿En cuántas formas puede arreglar las cartas?

12. Marlena encordeló 5 piezas en un brazalete: una estrella, un pescado, un diamante, una luna y una zapatilla de bebé. ¿En cuántas formas puede ordenar los 5 objetos?

13. Michelle olvidó su contraseña de 6 palabras. Sabe que usó las letras H, I, J, K, L, y M y que no repitió ninguna. ¿Cuántas contraseñas debe intentar antes de dar con la correcta?

14. Siete patinadores están compitiendo en las County Championship Finals. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden terminar primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto y séptimo?

15. Si hay 8 patinadores compitiendo, ¿cómo cambia el número de permutaciones?