Problemas de Permutación

En esta sección aprenderás a contar y a evaluar permutaciones.

¿Has intentado ordenar a un grupo de niños?

Kelly está trabajando como supervisora de campamento. Debe ordenar un grupo de 8 niños para que vayan al lago en grupos de 3. El orden en que van los niños no importa, pero el número de niños que puede llevar a nadar sí importa

¿Cuántas combinaciones de niños hay?

¿Sabes cómo averiguar esto?

Esta Sección es acerca de contar y evaluar permutaciones. Al final de esta Sección, serás capaz de ayudar a Kelly con su problema.

Orientación

Una vez que decides que el orden importa, sabes que estás trabajando con una permutación. Es útil saber cómo calcular permutaciones.

Observa la situación para ver cómo hacerlo.

La entrenadora de softball necesita determinar cuántas alineaciones de bateadores puede hacer a partir de sus tres primeros bateadores Able, Baker y Chan. ¿Cuántos órdenes de bateadores puede haber?

Una forma de ver este problema es como el producto de 3 opciones. Para la opción 1, pueden elegir cualquiera de los tres bateadores Able, Baker o Chan.

$\text{Choice} \ 1 \times \text{Choice} \ 2 \times \text{Choice} \ 3 = \text{Possible Number of Choices}$

3 es la Opción 1 porque tienes 3 bateadores para elegir.

2 es la Opción 2 porque seleccionaste un bateador de la Opción 1 dejando 2 opciones.

1 es la Opción 3 porque es todo lo que queda.

Aquí está nuestra respuesta:

$3 \times 2 \times 1 = 6$

Hay seis opciones posibles.

Usando el Principio de Conteo puedes multiplicar las tres opciones para obtener el número total de opciones, o permutaciones, que es 6. Aquí, hay 6 alineaciones de bateadores.

$& \text{Able-Baker-Chan} \quad \quad \text{Baker-Able-Chan} \quad \quad \text{Chan-Able-Baker}\\\& \text{Able-Chan-Baker} \quad \quad \text{Baker-Chan-Able} \quad \quad \text{Chan-Baker-Able}$

Nota que el orden es importante aquí. Cada una de las 6 opciones, o permutaciones, es un orden de bateadores único y diferente. Por ejemplo, Able-Baker-Chan no es la misma alineación que Able-Chan-Baker.

¿Qué ocurre cuando incrementas el número de jugadores en la alineación al sumar a Davis? ¿Cuántas alineaciones hay ahora? Volviendo a empezar, puedes ver que ahora hay 4 opciones para el primer bateador, seguido de 3 opciones, 2 opciones y 1 opción.

$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \ \text{possible choices}$

Observemos otra situación.

¿Cuántos ordenes de las letras $A, B, C, D$ , y $E$ puedes hacer sin repetir ninguna?

Este se parece mucho al problema de Able, Baker, Chan y Davis, solo que se añade un quinto elemento. Nota cómo este elemento extra incrementa el total enormemente. De hecho, hay exactamente 5 veces más permutaciones de 5 elementos que de los 4 anteriores.

$& \quad \boxed{5} \qquad \cdot \qquad \boxed{4} \qquad \cdot \qquad \boxed{3} \qquad \cdot \qquad \boxed{2} \qquad \cdot \qquad \boxed{1} \qquad = \qquad \boxed{120}\\\& \text{choice} \ 1 \qquad \ \ \text{choice} \ 2 \qquad \ \text{choice} \ 3 \qquad \ \text{choice} \ 4 \qquad \ \text{choice} \ 5 \qquad \ \text{total choices}$

Puedes ver cómo el producto de todas las opciones se encontró en este problema.

Aprendiste cómo contar permutaciones que de una cierta cantidad de opciones fueron todas las opciones que se usaron cada vez. Por ejemplo, cuando completaste la línea de bateo de tres bateadores en orden, pudiste contar las permutaciones de la siguiente forma:

$3 \times 2 \times 1 = 6 \ \text{possible permutations}$

¿Qué pasa si tienes cuatro jugadores, pero solo quieres poner cuatro en la alineación?

Esto cambia la forma en la que contamos permutaciones.

Para cumplir esta tarea, empiezas contado de 4 y luego, del mismo modo encuentra el producto de los siguientes dos valores.

$4 \times 3 \times 2 = 24 \ \text{permutations}$

Nota que no incluimos el 1 porque hay cuatro bateadores y se eligieron tres de una vez. Aun tenemos el número correcto de permutaciones si dejamos afuera el único que queda.

Observemos otro ejemplo.

¿Qué pasa si Elvis se une al equipo? Ahora, con 5 jugadores para elegir, ¿cuántas alineaciones de 3 jugadores hay?

De nuevo, dibuja un diagrama de cajas para mostrar que todavía tienes 3 opciones para hacer. Pero esta vez, tienes 5 jugadores para la primera opción, 4 para la segunda y 3 para la tercera.

$5 \times 4 \times 3 = 60 \ \text{options}$

Puedes usar este método para encontrar cualquier permutación, sin importar cuántas opciones hay.

Si se eligen 4 jugadores, ¿cuántas ordenes de las letras $A, B, C, D, E$ , y $F$ hay?

Primero, nota que hay seis letras para trabajar. Quieres elegir 4.

$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360 \ \text{possible options}$

¡Nota que no tienes que ver las 360 opciones para saber que tu respuesta es correcta! Si seguiste el método de contar permutaciones, tu respuesta es correcta.

Acabas de averiguar permutaciones al ordenar números. Algunas veces, haz usado las cajas para organizar los números y a veces solamente escribiste el problema de multiplicación. Podemos usar una notación para permutaciones para ayudarnos a saber cuando estamos trabajando con una permutación.

¿Qué es una notación para permutación?

La notación para permutación involucra algo llamado factorial . Un factorial es una forma de escribir un número para mostrar que vamos a buscar el producto de una serie de números.

El símbolo de un factorial es un signo de exclamación.

Aquí hay algunos factoriales.

$8! &= 8-\text{factorial}\\\11! &= 11-\text{factorial}\\\29! &= 29-\text{factorial}\\\2! &= 2-\text{factorial, and so on}$

Para calcular factoriales, simplemente volvemos a escribir los números antes del signo de exclamación y todos los números enteros que vienen antes de este.

$4! &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\\7! &= 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\\2! &= 2 \cdot 1\\\11! & = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

¿Cuáles son los valores de estos números factoriales? Para averiguarlo, simplemente multiplica.

$4! &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\\\5! &= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\\\7! &= 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$

Eso es todo lo que necesitas saber. ¡Mientras recuerdes cómo encontrar el producto de un factorial, siempre sabrás un atajo para las permutaciones!

Ahora que haz aprendido cómo trabajar con factoriales, estás listo para ver cómo usarlas para calcular permutaciones. Supón que tienes 5 letras $A, B, C, D$ , y $E$ . Quieres saber cuántas permutaciones hay si tomas 3 letras y encuentras todos los órdenes de estas. En una notación para permutación escribes esto de la siguiente manera:

${_5}P_3 \Longleftarrow$ 5 elementos de los que se toman 3

En general, las permutaciones se escriben como:

${_n}P_r \Longleftarrow n$ elementos de los que se toman $r$

Para calcular ${_n}P_r$ escribe:

${_n}P_r=\frac{n!}{(n-r)!}=\frac{\Longleftarrow \ \text{total items!}}{\Longleftarrow \ (\text{total items-items taken at a time})!}$

Para calcular ${_5}P_3$ solo llena los números:

${_5}P_3 &= \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{\Longleftarrow \ \text{total items!}}{\Longleftarrow \ (\text{total items-items taken at a time})!}\\\{_5}P_3 &= \frac{5(4)(3)(2)(1)}{2(1)} = \frac{120}{2} = 60$

Hay 60 permutaciones posibles.

¡Puedes usar esta fórmula siempre que tengas que averiguar permutaciones!

Ahora intenta unos ejercicios por tu cuenta.

Ejemplo A

${_3}P_2$

Solución: $6$ combinaciones posibles

Ejemplo B

${_5}P_4$

Solución: $120$ combinaciones posibles

Ejemplo C

${_9}P_2$

Solución: $72$ combinaciones posibles

Aquí está el problema original nuevamente.

¿Cuántas combinaciones de niños hay?

Para averiguar esto, podemos usar una notación para permutaciones.

Hay ocho niños que los llevaron a nadar.

${_8}P_3$

Para calcular ${_8}P_3$ solo llena los números:

${_8}P_3 &= \frac{8!}{(8-3)!}=\frac{\Longleftarrow \ \text{total items!}}{\Longleftarrow \ (\text{total items-items taken at a time})!}\\\{_8}P_3 &= \frac{8(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)}{5(4)(3)(2)(1)} = \frac{10080}{120} = 84$

Hay 84 combinaciones posibles.

Vocabulario

Permutación: Una combinación donde el orden importa.

Permutación Notation: Usar el símbolo factorial para mostrar una permutación.

Factorial: Un atajo para permutaciones. Un punto de exclamación que está junto a número es el símbolo para permutaciones.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

${_9}P_5$

Respuesta

Nota que este problema se escribe en notación para permutación. Debemos averiguarlo usando esta notación.

Para calcular ${_9}P_5$ llena los números:

${_9}P_5 &= \frac{9!}{(9-5)!}=\frac{\Longleftarrow \ \text{total items!}}{\Longleftarrow \ (\text{total items-items taken at a time})!}\\\{_9}P_5 &= \frac{9(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)}{(4)(3)(2)(1)} = \frac{362880}{24} =15,120$

Hay 15.120 combinaciones posibles.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a James Sousa video on permutations.

Practica

Instrucciones : Cuenta todas las permutaciones.

1. Hay 3 canicas en jarra de color rojo, azul y amarillo. ¿En cuántas combinaciones puedes sacar dos canicas de la jarra (sin reemplazar ninguna de las canicas)?

2. Se añade una canica verde a la jarra anterior, dado rojo, azul, amarillo y verde.¿En cuántos ordenes diferentes puedes sacar tres canicas de la jarra (sin reemplazar ninguna de las canicas)?

3. En una jarra con 4 canicas de color rojo, azul, amarillo y verde, ¿cuántos órdenes diferentes hay si sacas 2 canicas de la jarra (sin reemplazar ninguna de las canicas)?

4. En una jarra con 5 canicas de color rojo, azul, amarillo, verde y blanco, ¿cuántos órdenes tendrás si tienes que sacar 3 canicas de la jarra?

5. ¿Cuántas órdenes de 4 dígitos puedes hacer a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir ningún dígito?

6. Un canal de TV tiene 6 programas de 1 hora para 3 horas de programación para el jueves en la noche. ¿Cuántas programaciones puede presentar el canal?

7. Siete esquiadores compiten en la final de un suceso. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden terminar los 3 primeros esquiadores?

8. Siete esquiadores compiten en las finales de un suceso de descenso. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden terminar los primeros 4 esquiadores?

Instrucciones : Resuelve cada factorial.

9. 5!

10. 3!

11. 6!

12. 4!

Instrucciones : Usa la notación para permutación y la fórmula para cada permutación.

13. ${_4}P_2$

14. ${_4}P_3$

15. ${_5}P_4$

16. ${_6}P_3$

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