Problemas de Combinación

En esta sección aprenderás a contar y a evaluar combinaciones.

¿Te acuerdas de las decoraciones de la Sección Combinaciones? Veámoslo de nuevo.

El comité de decoración está preparando el escenario para el Show de Talentos. Se pidieron muchos elementos decorativos y los estudiantes del comité están averiguando cuál es la mejor forma de decorar el escenario.

Tienen cuatro colores de serpentinas para decorar.

Rojo

Azul

Verde

Amarillo

“Creo que cuatro son muchos colores. ¿Qué tal si elegimos tres colores para decorar?” preguntó Keith.

“Me gusta la idea”, añadió Sara. “¿De cuántas formas podemos decorar el escenario si hacemos esto?”

El grupo comienza a averiguarlo en un papel.

Las combinaciones son disposiciones donde el orden no hace una diferencia. El comité de decoración ha seleccionado tres colores de los cuatro posibles. Por lo tanto, el orden de los colores no importa.

Las combinaciones son la forma de resolver este problema. Observa la información en esta Sección y aprenderás cómo averiguar las combinaciones posibles.

Orientación

Una vez que averigües si vas a usar permutaciones o combinaciones, es necesario contar las combinaciones.

Hay varias formas de contar combinaciones. Cuando cuentes, trata de recordar lo siguiente:

Ve uno por uno entre los elementos. No pares de hacer la lista hasta que hayas cubierto cada enlace posible de un elemento a todos los otros.
Recuerda que el orden no importa. Para las combinaciones, no hay diferencia entre $AB$ y $BA$ . Por lo que si $AB$ y $BA$ están en tu lista, tacha una de las opciones de tu lista.
Revisa si hay repeticiones. Si accidentalmente incluiste una combinación más de una vez, tacha las que están demás.

James necesita elegir una combinación de dos colores para las camisetas de su equipo. ¿Cuántas combinaciones de dos colores puede hacer James a partir del rojo, azul y amarillo?

Una forma de encontrar el número de combinaciones es hacer un diagrama de árbol. Aquí, si se elige el rojo, solo queda el azul y el amarillo para el segundo color.

El diagrama muestra las 6 permutaciones de los 3 colores. Pero espera, ya que estamos contando COMBINACIONES el orden no importa.

Entonces, en este diagrama de árbol eliminaremos todos los resultados que se repiten. Por ejemplo, el primer rojo-azul es igual que azul-rojo, por lo que eliminaremos azul-rojo.

En total, hay 3 combinaciones que no se repiten.

Este método de hacer un diagrama de árbol y eliminar los resultados que se repiten es fiable, pero no es la única forma d encontrar combinaciones.

Observemos esta situación.

James ha añadido un cuarto color, el verde, para elegir una combinación de dos colores para su equipo. ¿Cuántas combinaciones de dos colores puede hacer James a partir del rojo, azul, amarillo y verde?

Paso 1 : Escribe las opciones. Una la primera opción, rojo, con la segunda opción, azul. Añade la combinación rojo-azul a tu lista. Une las otras opciones en orden. Añade las combinaciones a tu lista.

Paso 2 : Ahora, usa la segunda opción, azul. Une el azul con cada patrón posible. Añade las combinaciones a tu lista.

Paso 3 : Ahora, usa la tercera opción, amarillo. Solo queda una combinación para unir. Añade la combinación a tu lista.

Tu lista está completa. Hay 6 combinaciones.

A veces, no vas a querer usar todas las opciones posibles en la combinación. Piensa en que si tienes 16 sabores de helado, pero solo quieres comer 3. Este es un ejemplo donde hay 16 sabores para trabajar, pero solo puedes usar 3 al mismo tiempo. Con un ejemplo como este, estás buscando combinaciones de elementos, en los que solo un cierto número de estos se usa en cualquier combinación.

Esto pasa muy seguido con los equipos.

Aquí hay una situación con equipos.

¿Cuántos equipos de 2 jugadores pueden formar Jean, Dean, Francine, Lurleen, y Doreen?

Paso 1 : Parte con Jean. Añade todas las combinaciones que comienzan con Jean en tu lista.

Paso 2 : Haz cubierto todas las combinaciones que empiezan con Jean. Ahora, trabaja con todas las combinaciones que comienzan con Dean, Francine y Lurleen.

$&\underline{\text{Combination}} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \underline{\text{List}}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Dean}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Francine}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Lurleen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Doreen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Dean-Francine}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Dean-Lurleen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Dean-Doreen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Francine-Lurleen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Francine-Doreen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Lurleen-Doreen}$

Tu lista está completa. Hay 10 combinaciones.

Observa esta situación.

¿Cuántos equipos de 3 jugadores pueden formar Jean, Dean, Francine, Lurleen, y Doreen?

Usa el proceso anterior para trabajar con todas las combinaciones.

$&\underline{\text{Combination}} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \underline{\text{List}}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Dean-Francine}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Dean-Lurleen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Dean-Doreen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Francine-Lurleen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Francine-Doreen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Jean-Lurleen-Doreen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Dean, Francine-Lurleen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Dean-Francine-Doreen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Dean-Lurleen-Doreen}\\\& \text{Jean, Dean, Francine, Lurleen, Doreen} \qquad \text{Francine-Lurleen-Doreen}$

Tu lista está completa. Hay 10 combinaciones.

Podemos usar una fórmula que nos ayude a calcular combinaciones. Esto es muy similar al trabajo que hiciste en la sección anterior con factoriales y permutaciones.

Supón que tienes 5 canicas en una bolsa y son de color rojo, azul, amarillo, verde y blanco. Quieres saber cuántas combinaciones hay si sacas 3 canicas de la bolsa saco al mismo tiempo. EN notación para combinaciones escribes esto así:

${_5}C_3 \Longleftarrow 5 \ \text{items taken 3 at a time}$

En general, las combinaciones se escriben así:

${_n}C_r \Longleftarrow n \ \text{items taken} \ r \ \text{at a time}$

Para calcular ${_n}C_r$ usa la fórmula:

${_n}C_r = \frac{n!}{r!(n - r)!}$

Esto puede parecer un poco complicado, pero no lo es. Nota que el símbolo factorial se usa con el número de elementos $(n)$ y el número que se toma en cualquier momento $(r)$ . Esto nos ayuda a entender qué valor va en qué lugar dentro de la fórmula.

Ahora, veamos cómo aplicar la fórmula al ejemplo.

Para ${_5}C_3$ :

${_5}C_3 = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3! 2!}$

Simplifica.

${_5}C_3 = \frac{5 (4)(3)(2)(1)}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$

Hay 10 posibles combinaciones.

Aquí hay otro.

Encuentra ${_6}C_2$

Paso 1 : Entiende que significa ${_6}C_2$ .

${_6}C_2 \Longleftarrow 6 \ \text{items taken 2 at a time}$

Paso 2 : Establece el problema.

${_6}C_2 = \frac{6!}{2!(6 -2)!}$

Paso 3 : Rellena con los números y simplifica.

${_6}C_2 = \frac{6(5)(4)(3)(2)(1)}{(2 \cdot 1)(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{720}{48} = 15$

Hay 15 combinaciones posibles.

Encuentra el número de combinaciones en cada ejemplo.

Ejemplo A

${_5}C_2$

Solución: $30$

Ejemplo B

${_4}C_3$

Solución: $1$

Ejemplo C

${_6}C_4$

Solución: $15$

Aquí está el problema original nuevamente.

Tienen cuatro colores de serpentinas para decorar.

Rojo

Azul

Verde

Amarillo

“Creo que cuatro son muchos colores. ¿Qué tal si elegimos tres colores para decorar?” preguntó Keith.

“Me gusta la idea”, añadió Sara. “¿De cuántas formas podemos decorar el escenario si hacemos esto?”

El grupo comienza a averiguarlo en un papel.

Las combinaciones son dispociciones donde el orden no hace una diferencia. El comité de decoración ha seleccionado tres colores de los cuatro posibles. Por lo tanto, el orden de los colores no importa.

Podemos usar una notación para combinaciones para averiguar este problema.

${_4}C_3 = \frac{4!}{3!(4 - 3)!} = \frac{4(3)(2)(1)}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(1)}= \frac{24}{6} = 4$

Hay cuatro formas posibles de decorar el escenario.

Ahora que los estudiantes tienen esta información, pueden ver las opciones de colores y votar cuál combinación les gusta más.

Vocabulario

Combinación: Un orden de objetos o sucesos donde el orden no importa.

Permutaciones: Un orden de objetos o sucesos donde el orden sí importa.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

${_5} C_4$

Respuesta

${_5}C_4 = \frac{5!}{4!(5 - 4)!} = \frac{5(4)(3)(2)(1)}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)1}= \frac{120}{24} = 5$

Esta es nuestra respuesta.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a Khan Academy video on calculating combinations.

Practica

Instrucciones: Evalúa cada factorial.

1. 5!

2. 4!

3. 3!

4. 8!

5. 9!

6. 6!

Instrucciones: Evalúa cada combinación usando la notación para combinaciones.

7. ${_7} C_2$

8. ${_7} C_6$

9. ${_8} C_4$

10. ${_9} C_6$

11. ${_8} C_3$

12. ${_{10}}C_7$

13. ${_{12}}C_9$

14. ${_{11}}C_9$

15. ${_{16}}C_{14}$

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