Probabilidad de Sucesos Independientes

En esta sección aprenderás a encontrar la probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes.

¿Te haz preguntado si pueden pasar dos cosas a la vez?

Jana tiene dos mazos de cartas. Cada mazo tiene 10 catas. Hay tres figuras en el primer mazo y cuatro en el segundo. ¿Cuáles son las posibilidades de que Jana saque una figura de ambos mazos?

Este es un suceso independiente. En esta Sección, aprenderás a averiguar probabilidades como esta.

Orientación

Anteriormente, hemos trabajado con las diferencias entre sucesos dependientes e independientes. Piensa en sucesos independientes. Si un suceso no impacta el resultado de un segundo suceso, entonces los dos son sucesos independientes. Por ejemplo, hay 2 ruletas diferentes $A$ y $B$ . El resultado de la ruleta $A$ no afecta el resultado de la ruleta $B$ .

Pero ahora tenemos otra pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sucesos completamente diferentes ocurran? Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que la ruleta $A$ caiga en rojo y la ruleta $B$ en azul?

Podemos crear un diagrama de árbol para mostrar todas las opciones posibles y averiguar la probabilidad, pero es muy complicado. Hay una forma más fácil.

Nota que esta probabilidad es igual al producto de dos probabilidades independientes.

$P(\text{red-blue}) & = P(\text{red}) \cdot P(\text{blue})\\\& = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}\\\& = \frac{1}{12}$

¿De dónde vienen estas fracciones?

Vienen de la probabilidad del espacio de muestra de cada ruleta. La primera ruleta tiene cuatro opciones posibles, por lo que la probabilidad es $\frac{1}{4}$ . La segunda ruleta tiene tres opciones posibles, por lo que la probabilidad es $\frac{1}{3}$ . La Regla para la Probabilidad se encarga del resto.

De hecho, este método sirve para cualquier suceso independiente resumido en esta regla.

Regla para la Probabilidad: La probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes , $A$ y $B$ , es:

$P(A \ \text{and} \ B) = P (A) \cdot P (B)$

Escribe la Regla de Probabilidad en tu cuaderno.

¿Cuál es la probabilidad de que si giras la ruleta dos veces, salga amarillo la primera vez y rojo la segunda vez?

Para encontrar la solución, usa la regla.

$P(\text{yellow and red}) & = P(\text{yellow}) \cdot P(\text{red})\\\P (\text{yellow}) & = \frac{3}{5}\\\P (\text{red}) & = \frac{2}{5}$

Entonces:

$P(\text{yellow and red}) & = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}\\\& = \frac{6}{25}$

La probabilidad de que ocurran ambos eventos es $\frac{6}{25}$ .

Ahora es tu turno para que practiques por tu cuenta.

Ejemplo A

¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta A caiga en rojo y la B en rojo?

Solución: $\frac{1}{12}$

Ejemplo B

¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta A caiga en azul o amarillo y la B en azul?

Solución: $\frac{1}{6}$

Ejemplo C

¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta A caiga en amarillo y la B en rojo o verde?

Solución: $\frac{1}{6}$

Aquí está el problema original nuevamente.

Jana tiene dos mazos de cartas. Cada mazo tiene 10 catas. Hay tres figuras en el primer mazo y cuatro en el segundo. ¿Cuáles son las posibilidades de que Jana saque una figura de ambos mazos?

Para averiguar esto, escribamos la probabilidad de sacar una figura del primer mazo.

$\frac{3}{10}$

Ahora, escribamos la probabilidad de sacar una figura del segundo mazo.

$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Ahora podemos multiplicar y simplificar.

$\frac{3}{10} \times \frac{2}{5}$

$\frac{3}{25}$

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Sucesos Independientes: Sucesos en los que un suceso no impacta el resultado del otro.

Regla para la Probabilidad: $P(A) \cdot P(B) = \text{Probability of} \ A \ \text{and} \ B$

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que practiques por tu cuenta.

La probabilidad de que mañana llueva es de 40 por ciento. La probabilidad de que el auto de Jeff se heche a perder mañana es de 3 por ciento. ¿Cuál es la probabilidad de que el auto de Jeff se eche a perder en la lluvia de mañana?

Respuesta

Para encontrar la solución, usa la regla.

$P(\text{rain and break}) & = P (\text{rain}) \cdot P (\text{break})\\\P (\text{rain}) & = 40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}\\\P (\text{break}) & = 3\% = \frac{3}{100}$

Entonces:

$P (\text{rain and break}) & = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{100}\\\& = \frac{3}{250}$

Puedes ver que la probabilidad es muy pequeña.

Video de Repaso

Haz clic en la imagen anterior para obtener más contenido (requiere conexión a internet)

*Este video solo se encuentra disponible en inglés

This is a Khan Academy video on the probability of independent events.

Practica

Instrucciones : Resuelve cada problema.

1. Mia gira la ruleta dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en 2 las dos veces?

2. Mia gira la ruleta dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en 2 la primera vez y 3 en la segunda vez?

3. Mia gira la ruleta dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en un número par en el primer giro y en número impar en el segundo giro?

4. Mia gira la ruleta dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha caiga en un número impar en el primer giro y en un número menor a 4 en el segundo giro?

5. Una bolsa de ropa tiene 8 calcetines negros y 2 blancos. Si sacas un calcetín, entonces lo devuelves y sacas un segundo calcetín, ¿cuál es la probabilidad de que ambos calcetines sean blancos? Escribe tu respuesta en forma decimal.

6. Una bolsa de ropa tiene 8 calcetines negros y 2 blancos. Si sacas un calcetín, entonces lo devuelves y sacas un segundo calcetín, ¿cuál es la probabilidad de que ambos calcetines sean blancos? Escribe tu respuesta en forma decimal.

7. Una bolsa de ropa tiene 8 calcetines negros y 2 blancos. Si sacas un calcetín, entonces lo devuelves y sacas un segundo calcetín, ¿cuál es la probabilidad de que el primer calcetín sea negro y el segundo sea blanco? Escribe tu respuesta en forma decimal.

8. Dirk tiene un mazo de 52 cartas. Cada mazo tiene 4 Aces, 4 Reyes, 4 Reinas y así sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que Dirk saque un As del mazo?

9. Dirk tiene un mazo de 52 cartas. Cada mazo tiene 4 Aces, 4 Reyes, 4 Reinas y así sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que Dirk saque una figura (Jota, Reina, Rey) del mazo?

10. Dirk tiene dos mazos de 52 cartas. Cada mazo tiene 4 Aces, 4 Reyes, 4 Reinas y así sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que Dirk saque una carta menor que Jota de cada mazo?

11. Karina lanza una moneda 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara las tres veces?

12. Karina lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara las 4 veces?

13. Karina lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que NO salga cara ninguna vez?

14. Karina lanza una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara dos veces seguidas?

15. Karina lanza una moneda 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cruz cuatro veces seguidas?

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