Cálculo de expresiones y variables numéricas utilizando el orden de las operaciones

En esta sección, aprenderás a calcular expresiones y variables numéricas utilizando el orden de las operaciones

Los estudiantes de Washington Middle School vivieron algunos cambios en su nuevo año escolar. Su antiguo profesor de gimnasia, el sr. Woullard, se había retirado y ahora había un nuevo profesor de gimnasia que saludó al octavo grado en su primer día de clases.

El sr. Osgrove era jóven y estaba lleno de energía, pero también tenía ideas nuevas sobre cómo debería ser una clase de gimnasia.

"Combinaremos los estudiantes de dos periodos", explicó. "Eso nos permitirá crear equipos con muchas más combinaciones de estudiantes".

Jesse miró a su alrededor. Contó el número de niños y niñas de su clase. Había once niños y catorce niñas en la clase. La otra clase tenía trece niños y catorce niñas.

"Podemos agrupar a los niños y formar cuatro equipos. También podemos sumar a las niñas y formar cuatro equipos".

Jesse salió de la clase de gimnasia con la cabeza llena de números. Si tuvieran que combinar a todos los niños de las dos clases y a todas las niñas de las dos clases entonces serían un montón de estudiantes. Jesse comenzó a buscar las diferentes combinaciones para los equipos. Jesse sabía que necesitaba usar el orden de las operaciones.

¿Lo sabías? Presta atención y podrás ayudar a Jesse al final de la sección.

Orientación

En matemáticas a menudo escucharás la palabra “ calcular .” Antes de comenzar, es importante que comprendas lo que significa "calcular". Cuando calculamos una expresión matemática buscamos el valor del número en la expresión. Si la expresión matemática tiene números, entonces buscamos el valor numérico de la expresión. A menudo pensamos que calcular es lo mismo que resolver; en algunos casos puede ser cierto, pero más específicamente el cálculo es encontrar el valor de una expresión.

¿Qué es lo que calculamos?

En matemáticas podemos calcular diferentes tipos de expresiones numéricas. A veces trabajaremos con ecuaciones y otras veces con expresiones.

Esta es una gran pregunta.

Una ecuación es una expresión numérica con un signo igual. Por ende, la cantidad de un lado del signo igual es igual a la cantidad al otro lado del signo.

Una expresión es un grupo de números, símbolos y variables que representa una cantidad; no hay un signo igual. Calculamos la expresión para saber el valor de la expresión matemática en sí, no estamos tratando de hacer un lado igual que el otro como en una ecuación.

Comencemos enfocándonos en calcular expresiones.

Dos estudiantes de matemáticas de octavo grado calculan la expresión: $2 + 3 \times 4 \div 2$ . Ambos estudiantes analizan la expresión de manera distinta. La respuesta de Macy es diez. La respuesta de Cole es ocho.

¿Qué pasó aquí? ¿Cómo es que un estudiante llegó a una respuesta y otro estudiante obtuvo una respuesta totalmente diferente? La clave está en el orden en que cada estudiante realizó cada operación.

Es aquí donde entra el orden de las operaciones. El orden de las operaciones es una regla que nos dice cuál operación necesitamos realizar y en qué orden para lograr la respuesta correcta. El orden de las operaciones se aplica cuando tienes dos o más operaciones en una sola expresión.

Aquí está el orden de las operaciones.

Orden de las operaciones

P paréntesis o símbolos de agrupación

E exponentes

MD multiplicación y división, de izquierda a derecha

AS adición y sustracción, de izquierda a derecha

Toma algunos minutos para escribir el orden de las operaciones en tu cuaderno.

Veamos cómo Macy y Cole llegaron a sus respectivas respuestas.

$2 + 3 \times 4 \div 2$

Cole calculó esta expresión usando el orden de las operaciones. Primero multiplicó $3 \times 4 = 12$ . Luego, dividió por 2, obtuvo 6 y finalmente sumó 2 para obtener 8. Es correcto. Puede parecer extraño trabajar de esta manera, pero recuerda que estás trabajando de acuerdo al orden de las operaciones.

¿Qué hizo Macy? Macy calculó la expresión trabajando de izquierda a derecha. No siguió el orden de las operaciones. En este caso, determinó que el valor de la expresión es 10. Es incorrecto. La próxima vez Macy necesita seguir el orden de las operaciones.

Trabajar de esta forma se denomina cálculo de expresiones numéricas . Es una expresión numérica porque está compuesta solo por números y operaciones.

Aquí hay otra.

Calcula $3 + 9 \cdot 2 \div 3 + 8$

Para empezar, primero necesitamos recordar el orden de las operaciones. Nota que hay un punto entre el nueve y el dos. Esta es otra forma de graficar la multiplicación. A medida que avances a niveles de matemática más complejos, verás que la multiplicación se grafica de otras formas además de usando una $x$ . Volvamos a la evaluación.

Siguiendo el orden de las operaciones, primero debemos multiplicar y luego dividir.

$9 \cdot 2 = 18$

$18 \div 3 = 6$

Luego realizamos la adición y la sustracción, de izquierda a derecha.

$6 + 3 = 9$

$9 + 8 = 17$

Esta es nuestra respuesta.

También encontrarás otro tipo de expresión. Estas expresiones pueden tener letras. Estas letras se denominan variables y las variables representan una cantidad desconocida. Cuando ves una expresión con una variable, la denominamos expresión con variables. .

También podemos calcular las expresiones con variables utilizando el orden de las operaciones. La clave con las expresiones con variables es sustituir una variable desconocida por un valor dado de la expresión y luego calcular la expresión.

Mira.

Calcula la expresión $60 \div 2 \cdot 2a + 16 - 4$ cuando $a = 5$ .

Primero, nota que la expresión contiene la letra $a$ Esta es nuestra variable. También puedes ver que tienes un valor dado para $a$ . Nuestro primer paso es sustituir el valor de $a$ en la expresión.

$60 \div 2 \cdot 2(5) + 16 - 4$

Otra buena pregunta - el uso del paréntesis es otra forma de graficar la multiplicación. Ahora tienes tres formas de graficar la multiplicación. Puedes usar un $x$ , un punto o un grupo de paréntesis alrededor de un número. Esto significa que estamos multiplicando 2 por 5.

Ahora podemos usar el orden de las operaciones. En este caso tenemos división, multiplicación y multiplicación justo en el comienzo. Realizamos la multiplicación y división, de izquierda a derecha

¡Otra buena pregunta! En este caso, el grupo de paréntesis no están agrupando dos números y una operación. Cuando hablamos de los paréntesis en el orden de las operaciones, necesitamos tener una operación adentro. El grupo de paréntesis en este problema muestra una multiplicación. No hay una multiplicación dentro del paréntesis.

Volvamos al cálculo de expresiones. Multiplica y divide, de izquierda a derecha.

$& 60 \div 2 \cdot 2(5) + 16 - 4\\\& 60 \div 2 = 30\\\& 30 \cdot 2(5) = 300$

Luego, realizamos la adición y la sustracción, de izquierda a derecha

$& 300 + 16 - 4\\\& 316 - 4\\\& 312$

Nuestra respuesta final es 312.

Ahora veamos los símbolos de agrupación. Los “ símbolos de agrupación ” con los que vamos a trabajar son los corchetes [ ] y los paréntesis (). De acuerdo al orden de las operaciones, debemos realizar todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación ANTES de realizar cualquier otra operación de la lista.

Calcula la expresión $7 + 4(15 \div 5) - 6$ .

Primero, nota que tenemos un grupo de paréntesis en esta expresión numérica. Recuerda que se denomina expresión numérica porque no tiene ninguna variable.

Primero realizamos cada una de las operaciones dentro del paréntesis.

$15 \div 5 = 3$

Ahora reescribamos la expresión.

$7 + 4(3) - 6$

Nuestro siguiente paso es continuar con el orden de las operaciones. Tenemos una multiplicación en esta expresión. Multiplicamos.

$7 + 12 - 6$

Ahora realizamos la adición y la sustracción, de izquierda a derecha

$19 - 6 = 13$

Nuestra respuesta final es 13.

¿Qué hay sobre los corchetes?

Los corchetes pueden ser usados para agrupar más de una operación. Cuando vez un grupo de corchetes recuerda que los corchetes son una forma de agrupar números y operaciones. Los corchetes también tienen un lugar destacado.

Calcula la expresión $6 + [5 + (4 \cdot 6)] - 17$ .

Ahora tenemos un grupo de paréntesis dentro de un grupo de corchetes. Para resolver esto, tenemos que realizar la operación dentro del paréntesis dentro de los corchetes primero y luego realizar las demás operaciones dentro de los corchetes.

$& 6 + [5 + 24] - 17\\\& 6 + 29 - 17$

Luego realizamos la adición y la sustracción, de izquierda a derecha

$& 35 - 17\\\& 18$

Nuestra respuesta final es 18.

Ejemplo A

Calcula la expresión $6y + 3 - (2 \cdot 4)$ cuando $y = 15$ .

Solución: $85$

Ejemplo B

$7 + [4 + (3 \cdot 2)] - 5$

Solución: $12$

Ejemplo C

$9 + [6 - (2 \cdot 3)] + 15$

Solución: $24$

Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección. Primero, veamos la información que tenemos sobre el problema.

La clase uno tiene 11 niños y 14 niñas.

La clase dos tiene 13 niños y 14 niñas.

Se suma la cantidad de niños de las dos clases y la cantidad de niñas de las dos clases.

$11 + 13$

$14 + 14$

Podemos usar paréntesis para mostrar que la cantidad de niños se sumará, al igual que la cantidad de niñas. Ambos grupos serán divididos por cuatro.

$(11 + 13) \div 4$

O $\frac{11+13}{4}$

Esta es una expresión para los niños.

$(14 + 14) \div 4$

O $\frac{14+14}{4}$

Esta es una expresión para las niñas.

Ahora podemos obtener el número de niños en cada equipo.

$\text{Boys} = (11 + 13) \div 4 = 24 \div 4 = 6$ niños en cada equipo

$\text{Girls} = (14 + 14) \div 4 = 28 \div 4 = 7$ niñas en cada equipo

Nuestro trabajo está listo.

Vocabulario

Calcular: Encontrar el valor de una expresión numérica o una expresión variable.

Ecuación: Expresión matemática con un signo igual en donde un lado de la ecuación tiene el mismo valor que el otro lado.

Expresión: Grupo de números, símbolos y variables que representa una cantidad

Expresión numérica: Grupo de números y operaciones.

Expresión con variable: Grupo de números, operaciones y al menos una variable.

Variable: Letra utilizada para representar una cantidad desconocida.

Práctica guiada

Aquí tienes un histograma para practicar.

Calcula la expresión $14 \cdot 2 \div 7 + 3b - 4$ cuando $b = 12$ .

Solución

Nuestro primer paso es incluir el valor de $b$ en la expresión.

$14 \cdot 2 \div 7 + 3(12) - 4$

Ahora seguimos el orden de las operaciones realizando la multiplicación y la división, de izquierda a derecha.

$14 \cdot 2 = 28$

$28 \div 7 = 4$

Reescribamos lo que hemos hecho hasta ahora para no confundirnos.

$4 + 3(12) - 4$

¡Oh! Hay más de una multiplicación que resolver.

$3(12) = 36$

Ahora nuestra expresión es:

$4 + 36 - 4$

El último paso es realizar la adición y la sustracción, de izquierda a derecha.

$4 + 36 = 40 - 4 = 36$

Nuestra respuesta final es 36.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Khan Academy Order of Operations

Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Calcula cada expresión numérica utilizando el orden de las operaciones.

$4 + 5 \cdot 2 - 3$
$6 + 6 \cdot 3 \div 2 - 7$
$5 + 5 \cdot 8 \div 2 + 6$
$13 - 3 \cdot 2 + 8 - 2$
$17 - 5 \cdot 3 + 8 \div 2$
$9 + 4 \cdot 2 + 7 - 1$
$8 + 5 \cdot 6 + 2 \cdot 4 - 3$
$19 + 2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 10$
$12 + 4 \cdot 4 \div 8 - 3$
$12 \cdot 2 + 16 \div 2 - 12$

Instrucciones: Calcula cada expresión con variable. Recuerda usar el orden de las operaciones cuando sea necesario.

$4y+6-2$ , cuando $y=6$
$9+3x-5+2$ , cuando $x=8$
$6y+2y-5$ , cuando $y=3$
$8+3y-5 \cdot 2$ , cuando $y=4$
$7x-2 \cdot 3 \div 3+12$ , cuando $x=5$
$3+4 \cdot 3 - 2y+5$ , cuando $y=7$
$6a+3(2)+5 - 4$ , cuando $a=9$
$10+3 \cdot 5+2-9b$ , cuando $b=2$
$14 \div 2+3a+7a$ , cuando $a=2$
$5+6y-2y+11-4$ , cuando $y=3$

Instrucciones: Calcula cada expresión utilizando el orden de las operaciones. Recuerda poner atención a los símbolos de agrupación.

$3 + (4 + 5) - 6(2)$
$4 + (6 \div 3) + 2(7) - 4$
$3 + 2(4 + 2) - 5(2)$
$7 + (3 + 2) - 5 + 8(3)$
$4(2) + (3 + 9) - 4$

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