Uso del orden de las operaciones para calcular potencias

En esta sección usarás el orden de las operaciones para calcular potencias.

¿Sabes cómo calcular una expresión numérica cuando tiene potencias? Mira este problema.

$(-11)^2 + 7y^2 + 3x - 19$ cuando $x=2,y=-1$

El propósito de esta sección es el cálculo de problemas como este. Presta atención y podrás ayudar resolver este problema al final de la sección.

Orientación

¿Sabías que puedes usar el orden de las operaciones a las expresiones que tienen potencias en ellas?

Veamos cómo hacerlo.

Para hacerlo, necesitaremos recordar el orden de las operaciones.

Orden de las operaciones

P paréntesis o símbolos de agrupación

E exponentes

MD multiplicación y división, de izquierda a derecha

AS adición y sustracción, de izquierda a derecha

Ahora veamos la E. La E se refiere a los exponentes, las potencias y el cálculo de los exponentes en el orden de las operaciones. Evaluarás las potencias justo después de los símbolos de agrupación.

Esto se parece un poco a resolver un rompecabezas. Aquí hay una expresión que necesita ser calculada.

Calcula la expresión $8h^2 + [51 \div (4 \cdot 4,25)] - 52 \div 5$ . Considera $h=4$ .

Parece complicado, pero si te ayuda, tómalo como una serie de pasos. La orden de las operaciones es tu guía. Si sigues el orden de las operaciones los problemas se vuelven mucho más fáciles.

$& P && Paso \ 1: \ \text{Substitute} \ 4 \ \text{for} \ ''h.''\\\& && 8h^2 + [51 \div (4 \cdot 4,25)] - 52 \div 5\\\& && 8(4)^2 + [51 \div (4 \cdot 4,25)] - 52 \div 5\\\& && Paso \ 2: \ \text{Remember PEMDAS. Therefore, perform the operation inside the}\\\& && \text{grouping symbols first. Recall that order of operations must be followed}\\\& && \text{inside grouping symbols also. In this case, multiply} \ 4 \times 4,25 \ \text{before dividing}\\\& && \text{by} \ 51.\\\& && 8(4)^2 + [51 \div (4 \cdot 4,25)] - 52 \div 5\\\& && 8(4)^2 + [51 \div 17] - 52 \div 5\\\& && 8(4)^2 + 3 - 52 \div 5\\\& E && Paso \ 3: \ \text{The next step in order of operations is to simplify the numbers with}\\\& && \text{exponents.}\\\& && 8(4)^2+ 3 - 52 \div 5\\\& && 8(4 \cdot 4) + 3 - 5 \cdot 5 \div 5\\\& && 8(16) + 3 - 25 \div 5\\\& M && Paso \ 4: \ \text{Multiply}\\\& && 8(16) + 3 - 25 \div 5\\\& && 128 + 3 - 25 \div 5\\\& D && Paso \ 5: \ \text{Divide}\\\& && 128 + 3 - 25 \div 5\\\& && 128 + 3 - 5\\\& A && Paso \ 6: \ \text{Add}\\\& && 128 + 3 - 5\\\& && 131 - 5\\\& S && Paso \ 6: \ \text{Subtract}\\\& && 131 - 5 = 126$

La respuesta es 126.

También podemos calcular expresiones con variables que tienen más de una variable. Nota que se ha dado un valor diferente para $x$ e $y$ . Simplemente sustituye los valores dados en cada expresión y calcula según la cantidad de la expresión.

Calcula la expresión $4x^3 - (3y \div 9) + 12$ . Considera $x=3$ e $y=9$ .

$& 4x^3 - (3y \div 9) + 12 \ (\text{Substitute the variables})\\\& 4(3)^3 - [(3 \times 9) \div 9] + 12 \ (\text{Parentheses})\\\& 4(3)^3 - [27 \div 9] + 12\\\& 4(3)^3 - 3 + 12 \ (\text{Exponents})\\\& 4(3 \times 3 \times 3) - 3 + 12\\\& 4(27) - 3 + 12 \ (\text{Multiply})\\\& 108 - 3 + 12 \ (\text{Add and then Subtract from left to right})\\\& 105 + 12\\\& 117$

La respuesta es 117.

Cuando tienes expresiones con variables y expresiones numéricas con potencias, puedes usar el orden de las operaciones para calcular las expresiones. Recuerda no frustrarte con el problema si parece complicado. Usa el orden de las operaciones y serás capaz de calcular la expresión.

Ejemplo A

Calcula la expresión $2^3 + 4y + 12$ cuando $y=3$ .

Solución: $32$

Ejemplo B

Calcula la expresión $-5^3 + 7y - 30$ for $y=9$ .

Solución: $-92$

Ejemplo C

Calcula la expresión $6x + 7y + 3^2$ cuando $x=4,y=6$ .

Solución: $75$

Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección. Calcula esta expresión.

$(-11)^2 + 7y^2 + 3x - 19$ for $x=2,y=-1$

Primero, sustituye $x$ e $y$ con los valores dados.

$(-11)^2 + 7(-1)^2 + 3(2) - 19$ cuando $x=2,y=-1$

Ahora calcula las potencias. Esta es nuestra respuesta por el momento.

$121 + 7 + 6 - 19$

$115$

Esta es nuestra respuesta final.

Vocabulario

Expresión numérica: Grupo de números y operaciones que representan una cantidad sin un signo igual.

Expresión variable: Grupo de números, operaciones y variables que representan una cantidad sin un signo igual.

Potencias: Valor de una base y un exponente.

Base: Número sobre el cual trabaja el exponente.

Exponente: Número pequeño que dice cuántas veces hay que multiplicar la base por sí misma.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para practicar.

Calcula la expresión $-12^3 + 7y^2 + 12$ cuando $y=6$ .

Solución

Paso 1: Antes de seguir el orden de las operaciones, sustituye “ $y$ .” por 6.

$-12^3 + 7(6)^2 + 12$

Paso 2: Realiza las operaciones dentro del paréntesis.

$-12^3 + 7(36) + 12$

Paso 3: Realiza las operaciones con exponentes.

$& -12^3 + 7(36) + 12\\\& -1,728 + 7(36) + 12$

Paso 4: Multiplica

$& -1,728 + 7(36) + 12\\\& -1,728 + 252 + 12$

Paso 5: Suma

$-1,728 + 252 + 12 = - 1,464$

La respuesta es -1,464.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Khan Academy Introduction to the Order of Operations

*Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Calcula cada expresión. Recuerda seguir el orden de las operaciones.

$3^2 + [(5 \cdot 2) - 3] - 8 \cdot 2$
$5^2 + (3 + 5) - 6^2 + 2$
$6^3 + 5^2 + 25$
$16(12^3)$
$8^2 - (2(3^3) \div 2) + (16 \cdot 5)$

Instrucciones: Calcula cada expresión sustituyendo con los valores dados en cada expresión. Recuerda seguir el orden de las operaciones.

6. $-2^3 + 7y + 1$ cuando $y=6$ .

7. $-12 + 7x^2 - 8$ cuando $x=6$ .

8. $14 + 7y^2 + 22$ cuando $y=3$ .

9. $18x + 7y + 12$ cuando $x=3,y=6$ .

10. $-6^3 + 7x^2 - 18$ cuando $x=5$ .

11. $45 + 8y + 3^3$ cuando $y=5$ .

12. $-3^3 + 8x -2^2$ cuando $x=7$ .

13. $(-12)^2 + 7y -4^2$ cuando $y=6$ .

14. $-4^3 + 9x + 11$ cuando $x=4$ .

15. $(-7)^2 + 7x^2 + 12^2$ cuando $y=2$ .

16. $-45 + 7^2 - x^3$ cuando $x=4$ .

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