Encontrar el perímetro y el área de cuadrados y rectángulos mediante fórmulas

En esta sección, aprenderás a encontrar el perímetro y el área de cuadrados y rectángulos mediante fórmulas.

Kelly tiene el siguiente problema.

El área de un rectángulo es de 240 pies cuadrados.La longitud de un lado es 15 pies.Escribe y resuelve una ecuación para determinar el ancho de un lado del rectángulo.

¿Sabes cómo hacerlo? Presta atención y aprenderás todo sobre el área y el perímetro.

Orientación

Esta sección es sobre fórmulas. Partamos por la definición de fórmula.

Una fórmula es un método probado en la resolución de problemas específicos.

A estas alturas, en tu clase de matemáticas ya has usado muchas fórmulas para resolver problemas. Ahora veamos algunas de estas fórmulas conocidas. Partamos por analizar los rectángulos, los cuadrados, el área y el perímetro.

El perímetro de una figura es la distancia alrededor de la figura. El perímetro es la suma de todos los lados en un cuadrado o rectángulo. Ya que el rectángulo tiene dos grupos de lados paralelos, la fórmula para determinar el perímetro de un rectángulo es: $2L + 2W$ . $L =$ longitud y $W =$ ancho.

Podemos encontrar el perímetro de este rectángulo sustituyendo las variables que representan la longitud y el ancho por los valores dados.

$2(9) + 2(12) &= \text{Perimeter}\\\18 + 24 &= \text{Perimeter}\\\42 \ inches &= \text{Perimeter}$

El perímetro de este rectángulo es 42 pulgadas.

El área es el total de unidades cuadradas dentro de la figura. El área se encuentra multiplicando $\text{Length} \times \text{Width}$ . La fórmula para encontrar el área de un rectángulo es $L \times W$ .

Podemos usar las dimensiones del rectángulo anterior para encontrar el área de este rectángulo.

$12 \times 9 &= \text{Area}\\\12 \times 9 &= \text{Area}\\\108 \ cm^2 &= \text{Area}$

El área de este rectángulo es $108 \ cm^2$ .

Copia estas dos fórmulas y la nota sobre las unidades cuadradas en tu cuaderno. Usa un dibujo para recordar cada fórmula si es necesario.

También podemos encontrar el perímetro y el área de un cuadrado. Recuerda que un cuadrado tiene cuatro lados iguales, por lo que podemos usar la siguiente fórmula para encontrar el perímetro de un cuadrado, $4s$ .

Un rectángulo tiene un largo de 12 pies y un perímetro de 72 pies. Escribe y resuelve una ecuación para determinar el ancho del rectángulo.

Recuerda: la fórmula para determinar el perímetro de un rectángulo es $2(L) + 2(W)$ . Sustituye las variables con la información dada en el problema para determinar la dimensión que falta. Sabemos que el largo de un lado es de 12 pies. Por lo tanto, pon 12 en el largo. También sabemos que el perímetro total es de 72 pies. Por lo tanto, iguala la fórmula a 72 pies. Ahora, usa la operación inversa para encontrar el ancho desconocido.

$\text{Perimeter} &= 2(L) + 2(W)\\\\text{Perimeter} &= 2(12)+ 2(W)= 72\\\\text{Perimeter} &= 24 + 2W = 72$

Luego necesitamos encontrar el valor del ancho. Es lógico usar la operación inversa y restar 24 de 72.

$2W=48$

Veinticuatro multiplicado por dos es cuarenta y ocho. Esta es nuestra respuesta.

El ancho desconocido es 24 pies.

Ejemplo A

Encuentra el perímetro para el siguiente cuadrado si el largo del lado es 4,5 pulgadas.

Solución: El perímetro del cuadrado es 18 pulgadas.

Ejemplo B

¿Puedes encontrar el área del cuadrado en el Ejemplo A?

Solución: : El área del cuadrado es $20.25 \ in^2$ .

Ejemplo C

Un cuadrado tiene un área de 144 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud de los lados?

Solución: $12$ metros

Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.

Recuerda la fórmula para encontrar el área $L \times W$ . Sustituye con la información dada en el problema. Luego, usa el álgebra para encontrar el ancho desconocido.

$L \times W &= Area\\\15W &= 240$

Para hacerlo, dividimos 240 por 15. Este es un ejemplo de operación inversa.

$W = 16 \ feet$

Podemos corroborar nuestro trabajo sustituyendo el ancho de la ecuación $L \times W = Area$ por 16. .

$15 \times 16 &= \text{Area}\\\15 \times 16 &= 240 \ square \ feet$

El rectángulo es de 15 pies por 16 pies.

Vocabulario

Fórmula: Método probado en la resolución de problemas específicos.

Perimetro: Distancia alrededor de una figura.

Área: Medida del interior de una figura.

Práctica guiada

Aquí tienes un ejemplo para practicar.

Un cuadrado tiene un perímetro de 196 pulgadas. Determina la longitud de un lado del cuadrado.

Solución

Recuerda que un cuadrado tiene cuatro lados iguales Por lo tanto, $4s = 196 \ inches$ . Usa la operación inversa para encontrar “ $s$ .”

$\frac{4s}{4} &= 196\\\s &= 49 \ inches$

Puedes corroborar tu respuesta sustituyendo la variable $4s$ . por 49. 49 es la longitud correcta si tu respuesta es 196 pulgadas.

$4s &= 196\\\4(49) &= 196\\\196 &= 196$

La longitud de un lado del cuadrado es de 49 pulgadas.

Repaso en video

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

Khan Academy Area and Perimeter

Este video solo está disponible en inglés

Práctica

Instrucciones: Encuentra el área y el perímetro de cada cuadrado o rectángulo usando fórmulas y las dimensiones dadas. Cada problema tendrá dos respuestas.

Un cuadrado con una longitud lateral de 5 pulgadas.
Un rectángulo con una longitud de 5 pulgadas y un ancho de 3 pulgadas.
Un rectángulo con una longitud de 8 centímetros y un ancho de 6 centímetros.
Un cuadrado con una longitud lateral de 11 pies.
Un rectángulo con una longitud de 9 pulgadas y un ancho de 4,5 pulgadas.
Un cuadrado con una longitud lateral de 7 pies.
Un rectángulo con una longitud de 12 metros y un ancho de 11 metros.
Un cuadrado con una longitud lateral de 13 metros.
Un rectángulo con una longitud de 15 pies y un ancho de 8 pies.
Un cuadrado con una longitud lateral de 12.5 pies.

Instrucciones: Encuentra la longitud lateral que falta dado el área de cada cuadrado.

$A = 64 \ in^2$
$A = 36 \ in^2$
$A = 81 \ m^2$
$A = 100 \ in^2$
$A = 144 \ ft^2$
$A = 121 \ cm^2$
$A = 4 \ mm^2$

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