Identificar y Aplicar las Propiedades Numéricas en las Operaciones Decimales

En esta sección, identificarás y aplicarás las propiedades de los números en la suma, resta, multiplicación y división de decimales.

¿Sabías que puedes usar las propiedades de la multiplicación y la división para simplificar expresiones numéricas? Analicemos esta situación.

$5(2\cdot 3)\cdot9$

¿Sabes cómo simplificar esto? Pon atención a esta Sección y aprenderás todo sobre las propiedades numéricas en operaciones decimales.

Orientación

¿Recuerdas cómo trabajar con propiedades?

Una propiedad es una regla que aplica a una proposición matemática.

Lo mejor de una propiedad es que la regla ha sido demostrada tanto que siempre es cierta. Las propiedades nos ayudan a entender ciertas formas de proceder en los cálculos matemáticos.

Estas son dos propiedades de la adición que probablemente ya hayas visto antes.

Propiedad Asociativa de la Suma

El orden en que se agrupan los factores no altera el producto: $4.5+(2.1+9.6)=(4.5+2.1)+9.6$

Propiedad Conmutativa de la Suma

El orden de los factores no altera el producto: $6.3+8,7=8.7+6,3$

¿Cuál de las siguientes afirmaciones muestra la Propiedad Conmutativa?

a. $x+9,5=9,5x$

b. $x-9,5=9,5-x$

c. $x+9,5=9,5+x$

Consideremos la alternativa a.

Esta ecuación manifiesta que un número sumado con 9,5 es igual a ese número multiplicado por 9,5. Esto no es correcto.

Consideremos la alternativa b.

Esta ecuación manifiesta que la diferencia entre un número y 9,5 es igual a la diferencia entre 9,5 y un número. Esto no es correcto.

Consideremos la alternativa c.

Esta ecuación manifiesta que la suma de un número y 9,5 es igual a la suma de 9,5 y un número. La Propiedad Conmutativa dice que el orden de los factores no altera el producto, por lo que ésta es la ecuación correcta.

También puedes usar propiedades para ayudarte a simplificar expresiones numéricas.

Esa es una buena pregunta y la mejor manera de entenderla es analizando otro ejercicio. Hagamos eso ahora.

Simplifica: $10.5+(3.2+4.5)$

Puedes usar las propiedades de la adición para re-organizar esta expresión y facilitar su simplificación.

Primero, aplica la propiedad conmutativa.

$10.5+(3.2+4.5)=10.5+(4.5+3.2)$

Luego, aplica la propiedad asociativa.

$10.5+(4.5+3.2)=(10.5+4.5)+3.2$

Ahora puedes usar cálculo mental para resolver fácilmente la suma.

$(10.5+4.5)+3.2=15+3.2=18,2$

La respuesta es 18,2

Para trabajar con la multiplicación y división de decimales, usaremos otras propiedades. Estas son las propiedades.

Propiedad Asociativa de la Multiplicación

El orden en que se agrupan los factores no altera el producto: $4.5\times(2.1\times9.6)=(4.5\times2.1)\times9.6$

Propiedad Conmutativa de la Multiplicación

El orden de los factores no altera el producto: $6,3 \times 8,7=8,7 \times 6,3$

Propiedad Distributiva

El producto de un número y una suma es igual a la suma de los productos individuales de los sumandos y el número: $3,2(1.5+8,9)=(3,2 \cdot 1,5)+(3,2 \cdot 8,9)$

También podemos usar las propiedades para simplificar expresiones variadas.

Simplifica: $2.5(2.1x+4.3y)$

Los sumandos dentro de los paréntesis no pueden combinarse porque se usan dos variables diferentes, por lo que puedes usar la propiedad distributiva para ayudarte a simplificar la expresión.

Aplica la propiedad distributiva: $2.5(2.1x+4.3y)=(2.5 \times 2.1x)+(2.5 \times 4.3y)$

Luego, simplifica: $(2.5 \times 2.1x)+(2.5 \times 4.3y)=5.25x+10.75y$

Esta es nuestra respuesta.

Simplifica cada ejemplo utilizando las propiedades.

Ejemplo A

$6(3 \times 4) \times 7$

Solución: $504$

Ejemplo B

$3.1 + 2.7 + 4.3$

Solución: $10.1$

Ejemplo C

$6.2(4x - 3)$

Solución: $24.8x - 18.6$

Ahora volvamos al dilema al principio de la Sección.

$5(2\cdot 3)\cdot9$

Primero que nada, nótese que aquí podemos usar el orden de las operaciones. Buscamos el producto de los términos dentro de los paréntesis.

$& 2 \times 3 = 6\\\& 5(6) \cdot 9\\\& 30 \cdot 9$

La respuesta es 270.

También podríamos haber solucionado este ejemplo cambiando la agrupación de los términos por medio de la propiedad asociativa. Observa.

$(5 \cdot 2)\cdot 9 \cdot3$

El producto hubiera sido $10 \times 27$ , lo cual es simple de multiplicar.

El producto es 270.

Vocabulario

Propiedad Asociativa de la Suma: Regla que establece que la forma en que se agrupen los números no altera la suma final de tales números.

Propiedad Conmutativa de la Suma: Regla que establece que el orden en que sumes los números no altera la suma final de tales números.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas por tu cuenta.

Simplifica utilizando la propiedad distributiva.

$4.5(2x + 2)$

Solución

Primero, multiplicamos el término afuera del paréntesis con los dos términos al interior del paréntesis.

$4.5(2x) + 4.5(2)$

Ahora, multiplicamos.

$9x + 9$

Esta es nuestra respuesta.

Repaso en Video

*Solo en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy The Distributive Property

Práctica

Instrucciones : Usa las propiedades asociativa y conmutativa de la suma para resolver cada problema.

$(7,2 + 9,1) + 3,2 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$5,4 + 2,1 + 5,4 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$(1,2 + 6,7) + 1,3 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$(4,1 + 9,2) + 9,0 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$(14,11 + 9,2) + 8,0 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

Instrucciones : Usa lo que has aprendido para resolver cada problema.

$(7 \times 9) + 3,2 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$15,4 + 2.1 - 5,4 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$(1,2 \times 6) + 1,3 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$(14,7 \div 2) + 9,0 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$(11,1 + 2) + 18,0 = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

Instrucciones : Usa la propiedad distributiva para simplificar cada expresión.

$3.2(2x+4) = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$5.2(3x - 2)= \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$6.3(4y + 4)= \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$2.2(9a - 1)= \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$
$6.7(8x + 9) = \underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

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