Como Identificar y Aplicar Propiedades Numéricas en Operaciones con Fracciones

En esta sección, aprenderás a identificar y aplicar las propiedades numéricas en operaciones fraccionarias.

¿Sabes cómo simplificar una expresión fraccionaria usando propiedades? Analicemos este problema.

Simplifica: $\frac{2}{3}\times\left(\frac{2}{7}\times\frac{3}{2}\right)$

Para simplificar esta expresión, debes saber cómo trabajar con propiedades numéricas y fracciones. Esta Sección te mostrará cómo lograrlo sin problemas.

Orientación

Ahora que trabajamos con fracciones, tienes la oportunidad de investigar como las distintas propiedades de la adición y sustracción pueden ayudarnos cuando trabajamos con expresiones fraccionarias.

Estas son algunas propiedades.

Propiedad del Neutro Aditivo

La suma de cualquier número y cero es el mismo número: $\frac{3}{11}+0=\frac{3}{11}$

Propiedad del Inverso Aditivo

La suma de cualquier número y su inverso es cero: $\frac{3}{4}+ \left( - \frac{3}{4}\right)=0$

¿Cuál de las siguientes opciones muestra la Propiedad del Inverso Aditivo?

a. $\frac{x}{y}+0=0$

b. $\frac{x}{y}+0=\frac{x}{y}$

c. $\frac{x}{y}+\left(-\frac{x}{y}\right)=0$

Consideremos la opción a.

Esta ecuación establece que la suma de número y cero es igual a cero. Esto no es necesariamente correcto, a menos que $\frac{x}{y}$ sea también igual a cero.

Consideremos la opción b.

Esta ecuación establece que la suma de un número y cero es igual al primero número. Esto es correcto, pero representa la propiedad del neutro aditivo, no la propiedad del inverso aditivo.

Consideremos la opción c.

Esta ecuación establece que la suma de un número y su inverso es igual a cero. Esto demuestra la propiedad del inverso aditivo, por lo que es la ecuación correcta.

También podemos usar estas propiedades para ayudarnos a simplificar una expresión numérica. Recuerda que una expresión numérica es un grupo de números y operaciones. Ya que estamos trabajando con fracciones, las expresiones numéricas de esta sección estarán compuestas de fracciones.

Simplifica: $\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\right)$

Puedes usar las propiedades de la suma para re-organizar esta expresión y facilitar su simplificación.

Primero, aplica la propiedad conmutativa: $\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{4} + \frac{3}{8}\right)=\frac{1}{8}+\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{4}\right)$

Luego, aplica la propiedad asociativa: $\frac{1}{8}+\left(\frac{3}{8} + \frac{1}{4}\right)=\left ( \frac{1}{8}+\frac{3}{8}\right)+\frac{1}{4}$

Ahora puedes simplificar fácilmente para hallar la suma.

$\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{8}\right)+\frac{1}{4}=\frac{4}{8}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

La respuesta es $\frac{3}{4}$ .

Utilizar las propiedades para reorganizar las fracciones puede ayudarnos a trabajar con ellas. Nótese que agrupamos los comunes denominadores al reorganizar, lo que simplificó nuestro trabajo.

Ahora, veamos como las propiedades de la multiplicación y la división pueden ayudarnos al trabajar con fracciones. Hasta ahora, has aprendido la Propiedad Conmutativa, la Propiedad Asociativa y la Propiedad Distributiva.

Elemento Neutro Multiplicativo

El producto de cualquier número y uno es el primer número: $\frac{3}{11}\times 1=\frac{3}{11}$

Factor Cero

El producto de cero y cualquier número resulta en cero: $\frac{4}{7}\times 0=0$

Inverso Multiplicativo

El producto de cualquier de cualquier número y su reciproco es uno: $\frac{3}{4}\times\frac{4}{3}=1$

¿Cuál de las siguientes expresiones muestra la Propiedad del Inverso Multiplicado?

a. $\frac{x}{y}\times 0=\frac{x}{y}$

b. $\frac{x}{y}\times \frac{y}{x}=0$

c. $\frac{x}{y}\times \frac{y}{x}=1$

Consideremos la opción a.

Esta ecuación establece que el producto de un número y cero es igual ese número. Esto no es correcto.

Consideremos la opción b.

Esta ecuación establece que el producto de un número y su recíproco es igual a cero. Esto no es correcto.

Consideremos la opción c.

Esta ecuación establece que el producto de un número y su recíproco es igual a uno. Esto representa la propiedad del inverso multiplicativo, por lo que ésta es la ecuación correcta.

Toma unos minutos para escribir estas propiedades en tu cuaderno. Asegúrate de incluir un ejemplo de cada propiedad.

También puedes usar las propiedades para ayudarte a simplificar expresiones numéricas.

Además, podemos usar las propiedades cuando trabajamos con variables. Observa este ejercicio.

$\frac{2}{3}\times\left(a \times \frac{3}{2}\right)$

Primero, podemos aplicar la propiedad conmutativa: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \times a$

Ahora aplicamos la propiedad del inverso multiplicativo: $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} =1$

Nuestra expresión simplificada es $a$ .

Si tuviéramos un valor que sustituyera a $a$ , entonces ese valor sería nuestra respuesta.

Ejemplo A

Nombra la propiedad: $\frac{3}{8} \times 0$

Solución: Factor Cero

Ejemplo B

Nombra la propiedad: $\frac{5}{6} \times \frac{6}{5}$

Solución: Inverso Multiplicativo

Ejemplo C

Simplifica: $\frac{3}{4} (b \times \frac{4}{3})$

Solución: $a$

Ahora volvamos al problema presentado al inicio de la Sección.

Simplifica: $\frac{2}{3}\times\left(\frac{2}{7}\times\frac{3}{2}\right)$

Puedes usar las propiedades de la multiplicación para reorganizar esta expresión y facilitar su simplificación.

Primero, aplica la propiedad conmutativa: $\frac{2}{3}\times\left(\frac{2}{7}\times\frac{3}{2}\right)=\frac{2}{3} \times \left(\frac{3}{2} \times \frac{2}{7}\right)$

Luego, aplica la propiedad asociativa: $\frac{2}{3}\times\left(\frac{3}{2}\times\frac{2}{7}\right)=\left(\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\right) \times \frac{2}{7}$

Después, aplica la propiedad del inverso multiplicativo: $\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{2}\right)\times\frac{2}{7}=1\times\frac{2}{7}$

Finalmente, aplica la propiedad del elemento neutro multiplicativo: $1 \times \frac{2}{7}=\frac{2}{7}$

Esta es nuestra respuesta.

Vocabulario

Propiedad del Neutro Aditivo: Cualquier número sumado con cero es igual al mismo número.

Propiedad del Inverso Aditivo: Cualquier número sumado con su opuesto o inverso es igual a 0.

Elemento Neutro Multiplicativo: Cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número.

Factor Cero: Cualquier número multiplicado por 0 es igual a cero.

Inverso Multiplicativo: Cualquier número multiplicado por su reciproco es igual a 1.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas por tu cuenta.

Simplifica: $\frac{4}{5} + \frac{1}{2} + x$

Solución

Primero, hallamos un común denominador para poder sumar las fracciones. El mínimo común denominador de 5 y 2 es 10. Reescribamos ambas fracciones en base diez.

$\frac{8}{10} + \frac{5}{10} + x$

Ahora podemos sumar las fracciones.

$\frac{13}{10} + x$

Cambiemos la fracción impropia a un número mixto.

$1 \frac{3}{10} + x$

Esta es nuestra expresión simplificada.

Repaso en Video

*Solo en inglés

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Práctica

Instrucciones : Identifica cada propiedad en las expresiones siguientes.

1. $\frac{3}{4} + 0 = \frac{3}{4}$

2. $\frac{3}{4} + -\frac{3}{4} = 0$

3. $\frac{6}{7} \times 0 = 0$

4. $\frac{5}{8} \times 0 = 0$

5. $\frac{6}{7} \times \frac{7}{6} = 1$

6. $\frac{3}{4} + x = x + \frac{3}{4}$

7. $\frac{1}{4} + y = y + \frac{1}{4}$

8. $\frac{1}{2} \times (x + 3)= \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}(3)$

Instrucciones : Simplifica cada expresión.

9. $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + x$

10. $\frac{6}{7} \times \frac{1}{3} \times x$

11. $2 \times \frac{4}{8}x$

12. $3x \times \frac{6}{8}$

13. $\frac{4}{5} + \frac{1}{2} + \frac{6}{10}$

14. $\frac{6}{10} - \frac{1}{3}$

15. $\frac{1}{2} \times 3x$

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