Identificación y Aplicación de las Propiedades Numéricas en Operaciones con Enteros

En esta sección, identificarás y aplicarás las propiedades de los números en operaciones con enteros.

¿Sabías que puedes simplificar una expresión al utilizar una propiedad? Analicemos el siguiente ejercicio.

Travis está haciendo su tarea. Avanzaba muy bien hasta que se topó con este problema. Observa.

$-4(x+7)$

Travis no está seguro de cómo simplificar esta expresión pues el ejercicio no especifica qué valor tiene $x$ . Si Travis aplicara la propiedad distributiva, entonces podría simplificar esta expresión. Echa un vistazo a esta Sección y podrás resolver este problema al final.

Orientación

Hay muchas propiedades, como la propiedad asociativa, la propiedad conmutativa, el elemento neutro aditivo y el inverso aditivo.

Puedes usar estas propiedades para simplificar las expresiones con enteros.

Simplifica la siguiente expresión. Justifica cada paso al identificar la propiedad utilizada.

$(-28+63)+28$

Primero, pensemos este problema. Tiene ganancias y pérdidas.

Utiliza las propiedades para re-organizar la expresión.

La propiedad conmutativa establece que los números pueden sumarse en cualquier orden sin alterar el resultado. Al trabajar con números negativos, mantén el signo negativo junto al número que corresponde. Añadir paréntesis al número negativo puede ayudarte a organizar mejor la expresión.

Aplica la propiedad conmutativa: $(-28+63)+28=(63+(-28))+28$

La propiedad asociativa establece que la forma en que se agrupan los números no altera el resultado.

Aplica la propiedad asociativa: $(63+(-28))+28=63+(-28+28)$

La propiedad del inverso aditivo establece que cualquier número sumado con su opuesto es igual a cero.

Aplica la propiedad del inverso aditivo: $63+(-28+28)=63+0$

La propiedad del neutro aditivo establece que la suma de cualquier número y cero es igual al primer número.

Aplica la propiedad del neutro aditivo: $63+0=63$

Esta es nuestra respuesta.

Exactamente; lo que descubrirás es que es más fácil realizar operaciones con enteros positivos y negativos cuando están agrupados. Si sumas dos enteros negativos, entonces tendrás una respuesta negativa. Si sumas dos positivos, entonces tendrás una respuesta positiva. Solo recuerda en términos de ganancias y pérdidas para ayudarte a mantener los signos en su lugar.

Ya has aprendido varias propiedades de la multiplicación: la propiedad asociativa, la propiedad conmutativa, la propiedad distributiva, el neutro multiplicativo , y el factor cero. Puedes usar estas propiedades para simplificar expresiones con enteros.

Simplifica la siguiente expresión. Justifica cada paso escribiendo la propiedad usada.

$3+(-5)(-9x+6)$

Ya sé que esto parece confuso, pero empecemos analizando que hay realmente en el problema. Puedes ver que hay un grupo de paréntesis con valores al interior. También hay un pequeño problema de suma de enteros fuera del paréntesis.

Ahora piensa en las propiedades que ya conoces. Si las tienes en tu cuaderno, ábrelo para ver las definiciones de estas propiedades. Ahora, resolvamos el ejercicio.

La propiedad distributiva establece que un número multiplicado por una suma es igual a la suma de los productos del primer número multiplicado por cada uno de los sumandos.

Aplica la propiedad distributiva: $3+(-5)(-9x+6)-3=3+(-5)(-9x)+(-5)(6)$

Ahora simplifica la multiplicación: $3+(-5)(-9x)+(-5)(6)=3+45x+(-30)$

La propiedad conmutativa establece que los números pueden sumarse en cualquier orden.

Aplica la propiedad conmutativa: $3+45x+(-30)=45x+3+(-30)$

Finalmente, simplifica la suma: $45x+3+(-30)=45x+(-27)=45x-27$

Nuestra respuesta es $45x-27$ .

Ya que no conocemos el valor de nuestra variable, esto es lo más lejos que podemos llegar al simplificar la expresión. Recuerda que simplificar no significa resolver, solo es reducir la expresión.

Ejemplo A

Simplifica $-4(x+6)$

Solución: $-4x - 24$

Ejemplo B

$(-6)(-3)(4)$

Solución: $72$

Ejemplo C

$-8x + 4x + 3y$

Solución: $-4x + 3y$

Ahora volvamos al problema presentado al inicio de la Sección.

$-4(x+7)$

Primero, Travis tenía que distribuir el cuatro negativo al multiplicarlo con los dos términos dentro del paréntesis.

$-4(x)+-4(7)$

$-4x+(-28)$

Esta es la respuesta.

Vocabulario

Propiedad Asociativa: La forma en que se agrupen los números puede cambiar sin que afecte la suma o diferencia.

Propiedad Conmutativa: El orden en que se suman los números puede cambiar son que afecte la suma o diferencia.

Propiedad del Neutro Aditivo: La suma de cualquier número y cero es igual el primer número.

Propiedad del Inverso Aditivo: La suma de cualquier número y su opuesto es igual a cero.

Propiedad Asociativa: La forma en que se agrupan los números multiplicados no afecta el valor del producto.

Propiedad Conmutativa: El orden en que se multiplican los números no afecta el valor del producto.

Propiedad Distributiva: Un valor fuera de un grupo de paréntesis puede multiplicarse por los valores al interior del paréntesis para encontrar un producto.

Neutro Multiplicativo: Cualquier valor multiplicado por 1 es igual al mismo valor.

Factor Cero: Cualquier valor multiplicado por cero es igual a cero.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas por tu cuenta.

Nombra la propiedad que se presenta aquí.

$4x + -5x + 8y = -5x + 8y + 4x$

Solución

Nótese que no hay paréntesis aquí. Esta expresión no puede distribuir ninguno de sus términos. Los mismos términos están en ambos lados del signo igual. La única diferencia es el orden de los términos.

La Propiedad Conmutativa es nuestra respuesta.

Repaso en Video

*Solo en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Práctica

Instrucciones: Identifica la propiedad expresada a continuación.

1. $3x + 4x + 7y = 7y + 3x + 4x$

2. $-5+7+0=-7+5$

3. $(-6 + 5) + 9 = -6 + (5 + 9)$

4. $-5 + -x + 8y = -x + 5 + 8y$

5. $6(x+y) = 6x + 6y$

6. $-7y(1) = -7y$

7. $x(8+y)=8x+xy$

Instrucciones: Simplifica cada expresión.

8. $4(y - 5) + -3y$

9. $-5(x - 4)$

10. $-4x + 7x + 7 - 3y$

11. $-6(y + 4)$

12. $-3(y - 2) + 2(y + 6)$

13. $8(x + 4) - 3(x +2)$

14. $-9y(3 + 2)$

15. $\frac{1}{2}(6 + 4)$

Prev Next