Formas Equivalentes de Números Racionales

En esta sección, encontrarás las formas equivalentes de los números racionales.

Kelly y Mallory están comparando la cantidad de cajas de borradores que cada uno ha vendido. Kelly trabaja en la tienda un día y Mallory trabaja en la tienda al día siguiente. Ellos decidieron escribir un acertijo sobre sus ventas y dárselo a Trevor para que lo deduzca. Luego de que Mallory termina de trabajar, cuando Trevor llega a la tienda al día siguiente, encuentra este acertijo.

Mallory vendió 4 cajas de borradores más que tres cuartos de lo que vendió Kelly. Si Mallory vendió 13 cajas, ¿cuantas cajas vendió Kelly?

Trevor está confundido. Sabe que debe haber una variable porque el número de cajas que vendió Kelly es desconocido. También sabe que debe escribir una ecuación y que esta ecuación tendrá un número racional: tres-cuartos.

Trevor se pone a trabajar.

Usar los números racionales es una habilidad que necesitarás dominar a medida que te acerque a los niveles más avanzados de matemáticas. Para resolver este problema tendrás que entender los números racionales. Al final de esta Sección, podrás ayudar a Trevor con este problema.

Orientación

Ya has aprendido sobre las distintas clases de números. Has aprendido sobre los decimales, las fracciones y los números enteros y naturales- Ahora vamos a investigar los números racionales.

¿Qué es un número racional?

Un número racional es un número que puede escribirse en forma fraccionaria.

Buena pregunta: significa que puede escribirse como una fracción, no necesariamente que ya sea una fracción.

Pensemos primero en las fracciones. Una fracción es un número racional porque está escrita en forma fraccionaria. Los números racionales también pueden ser positivos o negativos. Imagina que has perdido una mitad. Luego, ese número sería negativo.

$\frac{-1}{2} \ and \ \frac{1}{2}$

Ambos son números racionales.

¿Qué otros números pueden escribirse en forma fraccionaria y, por lo tanto, son números racionales?

Bueno, pensemos en los enteros. Recuerda que los números enteros es el conjunto de los números naturales y sus opuestos. Podemos escribir cualquier entero como una fracción con denominador 1. Esto hace que todo entero sea racional.

$-4 &= \frac{-4}{1}\\\13 &= \frac{13}{1}$

Estos enteros también son números racionales.

¿Qué hay de los decimales?

Un decimal está vinculado a una fracción. La mayoría de los decimales pueden escribirse como fracciones. Cuando entiendas como convertir un decimal a fracción y una fracción a decimal, podrás determinar si el decimal puede o no ser un número racional.

¿Es 0,34 un número racional?

Si vemos este decimal, ¿cuál es su valor? Es de 34 centenas. Podemos escribir este decimal como una fracción con denominador 100.

$.34 = \frac{34}{100}$

Este es un número racional. Los decimales terminales también son números racionales.

Hagamos otro ejercicio.

¿Es 0,3434343434 un número racional?

Este es un ejercicio complejo, ya que tenemos un decimal repetitivo. Sin embargo, ya que este decimal tiene un fin, podemos hallar su fracción equivalente. Todos los decimales repetitivos son también números racionales.

¿Cuáles decimales no son números racionales?

Los decimales que no tienen fin no son números racionales. Por tanto, podemos considerarlos como números irracionales. Un ejemplo de un número irracional es Pi. Generalmente decimos que Pi es igual a 3,14; este número de hecho tiene más números que alargan y alargan el número más allá.

Pi o 3,14... . Estos valores no son números racionales.

Toma unos minutos para escribir estos apuntes en tu cuaderno.

También podemos convertir los números racionales en otras formas diferentes.

¿Qué decimal es equivalente a la fracción $\frac{7}{8}$ ?

Divide para encontrar el decimal equivalente.

$7 \div 8=0.875$

El decimal 0,875 es equivalente a $\frac{7}{8}$ .

Para convertir de decimal a fracción, coloca los números del decimal en el valor posicional que corresponda. Por ejemplo, para convertir nuevamente 0,875 a una fracción, cuenta los espacios decimales. Hay tres espacios decimales, por lo que habrá tres ceros en el denominador.

$0.875=\frac{875}{1000}$

Ahora simplifica la fracción a su forma irreductible.

$\frac{875}{1000}=\frac{175}{200}=\frac{35}{40}=\frac{7}{8}$

¿Qué fracción es equivalente al decimal 0,3125?

Coloca los números del decimal en el valor posicional que corresponda. Cuenta los espacios decimales. Hay cuatro espacios decimales, por lo que habrá cuatro ceros en el denominador.

$0,3125=\frac{3125}{10000}$

Ahora simplifica la fracción a su forma irreductible.

$\frac{3125}{10000}=\frac{125}{400}=\frac{5}{16}$

La fracción $\frac{5}{16}$ es equivalente a 0,3125.

Muy buena pregunta. Ya que un porcentaje también representa una parte de un todo, los porcentajes también pueden ser números racionales. Podemos convertir un porcentaje en un decimal y también en una fracción. Recuerda que un porcentaje se calcula en base a 100.

¿Qué cantidad fraccionaria es 30%? ¿Y cuál es su equivalente decimal?

Podemos empezar sabiendo que 30% significa 30 de 100. Ahora podemos escribirla como una fracción y como un decimal.

$30\% = \frac{30}{100}=.30$

Los porcentajes que fueron convertidos en decimales y en fracciones también pueden considerarse números racionales.

Convierte cada cifra en un porcentaje o una fracción.

Ejemplo A

$.67$

Solución: $67\%$

Ejemplo B

$45\%$

Solución: $\frac{45}{100} = \frac{9}{20}$

Ejemplo C

$0,185$

Solución: $18,5\%$

Ahora volvamos al problema presentado al inicio de la Sección.

Primero, debes escribir una ecuación. Empecemos desmenuzando cada parte de la ecuación.

$x =$ Las cajas de Kelly

$+ 4 =$ Las cuatro cajas extra que Mallory vendió

$\frac{3}{4} =$ tres cuartos de las cajas de Kelly

$13 =$ la cantidad que Mallory vendió

Esta es la ecuación.

$\frac{3}{4} x+4=13$

Ahora podemos resolverla.

Empecemos restando cuatro a ambos lados. Esto tendrá mucho sentido cuando simplifiquemos.

$\frac{3}{4} x=9$

Luego, queremos aislar la variable, por lo que podemos multiplicar por el reciproco. Esta es la Propiedad del Inverso Multiplicativo. Todo número que se multiplique por su inverso o reciproco es igual a 1.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} x & =9 \cdot \frac{4}{3}\\\x & = \frac{36}{3}=12$

Ahora sabemos que Kelly vendió 12 cajas y que Mallory vendió 13 cajas.

Vocabulario

Número Racional: Número que puede escribirse en forma fraccionaria.

Entero: Conjunto de los números naturales y sus opuestos.

Porcentaje: Número que representa una parte de 100.

Decimal Terminal: Decimal que tiene fin, aun cuando tenga muchos dígitos.

Decimal Repetitivo: Decimal que tiene fin aunque tenga muchos dígitos repetidos.

Número Irracional: Decimal que no tiene fin; Pi o 3,14... es un ejemplo.

Práctica Guiada

Aquí hay un ejercicio para que lo resuelvas por tu cuenta.

¿Es 0,35678921 un número racional?

Solución

No es un decimal repetitivo, sino que un decimal terminal. Un decimal terminal tiene un final. Siempre que tenga final, será un número decimal.

Repaso en Video

*Solo en inglés

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy Identifying Rational Numbers

Práctica

Instrucciones: Identifica si estos números son números racionales o no lo son. Escribe sí o no como respuesta. Luego, identifica la forma del número: entero, decimal, decimal repetitivo, fracción, decimal terminal o número irracional

$.456$
$\frac{2}{3}$
$- 45$
$567$
$- 8,970$
$.3434343434$
$.234\ldots$
$.234567$
$-.876$
$-\frac{2}{7}$

Instrucciones: Escribe cada número racional como decimal y como porcentaje.

$\frac{4}{5}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{14}{50}$

$\frac{12}{100}$

$\frac{6}{25}$

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